2025年全国卷3理数试题及答案

2025年全国卷3理数试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅答案：A2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.R答案：B3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角B的大小是A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D4.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则该数列的前n项和S_n等于A.n(n+1)B.n^2C.n(n-1)D.n^2+1答案：B5.若复数z满足z^2=1，则z的取值是A.1B.-1C.iD.-i答案：A6.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则其最小正周期是A.πB.2πC.π/2D.3π/2答案：A7.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线3x+4y-12=0的距离是A.|3x+4y-12|B.12/(5√2)C.12/(3^2+4^2)D.12/(3^2-4^2)答案：B8.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.重合答案：A9.若函数f(x)=x^3-3x+1，则其在区间[-2,2]上的最大值是A.3B.5C.7D.9答案：C10.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的模长是A.√10B.√13C.√14D.√15答案：C二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在定义域内单调递增的是A.y=x^2B.y=2^xC.y=ln(x)D.y=1/x答案：BC2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的取值范围是A.15°B.30°C.45°D.60°答案：AB3.已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则该数列的前n项和S_n等于A.3^n-1B.3(3^n-1)/2C.2(3^n-1)/2D.2(3^n+1)/2答案：BC4.若复数z满足|z|=1，则z的取值可以是A.1B.-1C.iD.-i答案：ABCD5.已知函数f(x)=cos(2x-π/4)，则其图像关于A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线x=π/4对称答案：AD6.在直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离是A.√(x^2+y^2)B.|x|C.|y|D.√(x^2-y^2)答案：AC7.已知圆O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则圆O与直线l的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.重合答案：AB8.若函数f(x)=x^2-4x+3，则其在区间[1,3]上的最小值是A.-1B.0C.1D.3答案：AB9.已知向量a=(2,1)，b=(-1,3)，则向量a·b等于A.-1B.1C.5D.7答案：C10.已知向量a=(1,0)，b=(0,1)，则向量a+b的坐标是A.(1,0)B.(0,1)C.(1,1)D.(0,0)答案：C三、判断题（每题2分，共10题）1.集合A={x|x^2=1}和集合B={1,-1}是相等的。答案：正确2.函数f(x)=tan(x)在区间(0,π/2)上单调递增。答案：正确3.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则角A是直角。答案：正确4.等差数列的前n项和S_n总是大于首项a_1。答案：错误5.若复数z满足z^2=-1，则z的取值是i。答案：错误6.函数f(x)=sin(2x)的最小正周期是π。答案：正确7.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线y=x的距离是|y-x|/√2。答案：正确8.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l一定相交。答案：正确9.若函数f(x)=x^3，则其在区间[-1,1]上的最大值是1。答案：错误10.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a+b=(4,6)。答案：正确四、简答题（每题5分，共4题）1.已知函数f(x)=x^2-2x+3，求其在区间[1,3]上的最大值和最小值。答案：首先求导数f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。计算f(1)=2，f(3)=6，所以最大值是6，最小值是2。2.已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求该数列的前10项和S_10。答案：S_10=10(1+19)/2=100。3.已知向量a=(2,3)，b=(-1,4)，求向量a·b和向量a+b的模长。答案：a·b=2(-1)+34=10，|a+b|=√(1^2+7^2)=√50=5√2。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，求圆心到直线3x+4y-12=0的距离。答案：距离d=|31+42-12|/√(3^2+4^2)=|3+8-12|/5=1。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值。答案：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-14，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。所以在[-2,-1]和[1,2]上单调递增，在[-1,1]上单调递减。极小值是-2，极大值是2。2.讨论复数z=a+bi（a,b∈R）的模长|z|的性质。答案：|z|=√(a^2+b^2)，模长总是非负数，当且仅当a=b=0时模长为0。模长满足三角不等式|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|。3.讨论向量a=(1,2)和向量b=(3,4)的线性组合能否表示向量c=(5,6)。答案：设c=λa+μb，即(5,6)=λ(1,2)+μ(3,4)，解得