4.4 一次函数的应用（第2课时）教学设计

2/2第四章一次函数4一次函数的应用（第2课时）一、学习任务分析“一次函数的应用”是北师大版初中数学八年级（上册）第四章第四节的内容，经过前面的学习，学生对一次函数已经有了“数”与“形”两方面的认识。本节旨在运用一次函数解决简单的实际问题，共安排了3课时。第1课时侧重于借助一次函数表达式解决一些简单的实际问题；后两课时侧重于借助一次函数图象解决简单的实际问题。本节课为该节的第2课时，主要解决仅涉及一个一次函数的实际问题，并从“数”与“形”两个方面理解一次函数与一元一次方程的关系。教学重点在于引导学生如何利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题，发展学生用数形结合思想解决问题的能力，发展几何直观。二、学生起点分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已学习并掌握了一次函数的基本概念、性质及图象。同时，经过前一课时的学习，学生已初步经历了借助函数表达式解决简单实际问题的过程。然而，学生直接利用图象中的信息解决实际问题的意识还比较薄弱，利用图象分析问题、解决问题的能力也有待加强。本节课通过图象的形式呈现两个问题情境，引导学生通过观察图象，分析并获取有效信息，进而逐步解决问题。在此过程中，发展学生利用函数图象分析、解决实际问题的能力，发展几何直观。学生的活动经验基础：在学习前期相关知识的过程中，学生已经借助真实情境认识了一次函数及其图象，具备了从简单实际问题中抽象出函数模型、从函数图象中获取信息及借助这些信息分析和解决问题的能力。同时，学生已经经历了很多合作学习的过程，积累了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流能力。然而，学生认识事物还不够全面、系统，因此还需借助具体实例来进一步提升学生这方面的能力。三、教学目标1.通过观察函数图象获取有效信息，进而利用这些信息解决简单的实际问题。2.经历运用一次函数图象解决实际问题的过程，增强用数形结合的思想解决问题的能力，发展几何直观。3.在解决问题的过程中，初步体会方程与函数的联系。教学重点：利用一次函数图象解决简单的实际问题。教学难点：利用一次函数图象解决简单的实际问题。四、教学过程设计【第一环节】复习旧知1.活动内容通过观察一次函数的图象可以获得哪些信息？2.活动目的此环节旨在引导学生复习旧知，其中蕴含了后续学习的关键内容，为学生利用图象分析问题、解决问题做好铺垫。特别地，若学生提到了一次函数图象与坐标轴的交点等内容，则为后续探究一次函数与一元一次方程的关系创设了情境。3.注意事项本环节要给予学生充分的独立思考时间，若学生未能全面地提取有关一次函数图象的相关信息，教师需要及时关注学生对一次函数图象的理解水平，并提供针对性指导。学生通过交流讨论，逐步完善认知，完成本节课所需的知识储备。【第二环节】探究思考1.活动内容活动1：利用函数图象解决问题。某辆摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（单位：L）与该摩托车行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：（1）油箱最多可储油多少升？（2）一箱油可供该摩托车行驶多少千米？（3）该摩托车每行驶100km消耗多少升油？（4）油箱中的剩余油量小于1L时，该摩托车将自动报警。加满油行驶多少千米后，该摩托车将自动报警？例1由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，蓄水量V（单位：万m3）与干旱持续时间t（单位：天）之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题：（1）干旱开始时该水库的蓄水量是多少？（2）干旱持续10天，该水库的蓄水量是多少？干旱持续23天呢？（3）该水库蓄水量小于400万m3时，将发出严重干旱警报。干旱持续约多少天将发出严重干旱警报？尝试·思考按照例1呈现的规律，预计干旱持续多少天该水库将干涸？你是怎么做的？2.活动目的学生已经经历若干借助一次函数解决实际问题的过程，但其直接利用图象信息解决实际问题的意识还比较薄弱，利用图象分析问题、解决问题的能力也有待加强。为此，活动1创设了基于图象的问题情境，引导学生通过观察图象，分析并获取有效信息，逐步解决有关问题，在此过程中，发展学生的几何直观，培养学生的数形结合的思想。3.注意事项在活动1的探究过程中，需关注学生的参与程度和表现出来的思维水平。在具体问题解决的过程中，应鼓励学生从多角度进行思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励。利用函数图象解决问题的数学方法具有多样性：可以直接观察图象获取所求点的坐标，从而作出相应的解答；也可以观察一些易得点的坐标，进而推演出所求的量；或者依据一些易于观察的点确定函数表达式，再利用代数法求解。活动1结束后，应引导学生总结利用函数图象获取信息的方法：（1）理解横、纵坐标分别表示的实际意义；（2）分析已知条件，在图象中找准对应点，获取所需信息，从而解决问题；（3）将“数”转化为“形”，由“形”定“数”。例1和“尝试·思考”既是对学生是否掌握利用函数图象获取信息的评价任务，也是引出活动2探究一次函数与一元一次方程之间关系的重要环节。【第三环节】归纳发现1.活动内容活动2：探究一次函数与一元一次方程之间的关系。思考·交流结合例1想一想，一元一次方程－20x＋1200＝0与一次函数y＝－20x＋1200有什么联系？一般地，一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b有什么联系？与同伴进行交流。一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx＋b＝0的解。从图象上看，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解。2.活动目的从学生的认知点出发，以解决具体问题为驱动，引导学生在求解一次函数图象与x轴交点的过程中，根据函数值建立一元一次方程的解与相应函数图象之间的对应关系，提升学生利用数形结合思想解决实际问题的能力。数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。数与形的紧密结合和灵活运用，能有效培养学生的几何直观素养、数学抽象能力以及数学建模意识。“数”与“形”实质上是数学问题应用与解决的两个不同维度，两者的结合使抽象与具象这两条思维路径实现有效对接。通过数式与图形之间的信息转化，能够更加便捷、高效地解决数学问题。3.注意事项在探究一元一次方程与一次函数的关联时，可以设计递进式“问题串”，引导学生建立一元一次方程的解与一次函数图象之间的联系，将知识进行关联。从“数”到“形”，从特殊到一般，将方法进行迁移，由浅入深，层层递进，让“联系”的观点逐渐经验化、理性化、科学化。教师再适时进行追问，引导学生辨析自省，培养其根据问题情境选择合适解法的能力，从而引发学生进行深度探究，促进其深度学习。在总结一次函数与一元一次方程之间的关系时，若学生概括的语句不够完整或有不足之处时，教师可以组织讨论活动引导学生进行完善或修正，让学生经历数学知识“由粗糙到精致”的生成过程。【第四环节】运用巩固1.活动内容如图，某植物栽种后经过t天的高度为ycm，l表示y与t之间的关系。根据图象回答下列问题：（1）该植物刚栽种时有多高？（2）该植物栽种后经过10天的高度为多少？经过4天呢？（3）写出l对应的函数表达式y＝kt＋b，其中k和b的实际意义分别是什么？（4）该植物何时长到8cm？（5）按照图中呈现的规律，预计该植物栽种后经过几天长到17cm？2.活动目的通过“运用巩固”中的简单实际问题完成对学生本节课知识掌握情况的评价。3.注意事项本环节情境中的5个问题层层递进，问题（1）和问题（2）是先定自变量，再看因变量；在问题（3）中，学生会进一步发现k和b在实际问题中的特定含义，帮助学生从图象上看出k和b的值，也为学生结合k和b的实际意义确定一次函数表达式奠定基础；问题（4）和问题（5）是先定因变量，再定自变量。本环节的题目有一定难度，文字量较多，如果学生的基础较差，可以换成教材第102页的第5题，文字信息会减少一些，也能达到检测评价的目的。【第五环节】课堂小结1.活动内容总结本节课的收获，形成结构化认知。（1）本节课你学习了哪些知识？（2）本节课研究的过程和思想方法是怎样的？（3）运用今天的学习经验，今后还可以研究什么内容？2.活动目的通过问题（1）和问题（2），让学生经历知识、方法和路径的再建构，培养学生的总结概括能力。通过问题（3）激发学生的探索欲，引发学生思考，为今后运用本节课的学习经验研究其他函数、方程作铺垫。通过课堂小结不仅可以提升学生的思维能力，还可以让学生的认知框架更完整、更系统。3.注意事项在课堂小结环节中，部分学生总结概括能力较低，暂时无法完整地形成知识与方法的再建构，但如果能准确地答出本节课的知识内容，教师也要给出肯定的评价并加以鼓励。问题（3）具有一定的难度，但不管从单元整体建构角度，还是从类比思想的培养来看，对于学生都是非常重要的，若学生觉得非常困难，可以开展小组讨论，教师深入小组内发现问题，并及时给予帮助。【第六环节】布置作业1.活动内容必做题：习题4.4第3，4，5题。选做题：习题4.4第6题。2.活动目的课后作业是对课堂知识的检测、巩固和提升。根据学情，在作业设计上，进行了必做题与选做题的安排。五、教学反思1.重点突出，展开有序，具有生成性通过问题串的形式，对重点内容进行探讨，从利用一次函数图象解决实际问题出发，逐步过渡到探究一次函数与一元一次方程之间的关系。在此过程中，帮助学生建立数形结合的思想，发展学生的几何直观。在教师的合理引导下，让学生参与到知识的产生及发展过程中。问题串的设计环环相扣，步步深入，发挥了数学的育人价值，培养学生的理性思维和科学精神。2.教学中保障了“教—学—评”一致性首先通过研读课标、分析学情、理解教材，并据此确立本节课的教学目标；基于教学目标有针对性地设计学习活动与评价任务；最终