2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级上学期开学考数学试卷(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省中山市纪雅学校九年级上学期开学考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.已知函数是二次函数，则m的取值范围为（

）A. B. C. D.任意实数3.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（

）A. B.2 C. D.64.将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为()A. B. C. D.5.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（

）A. B.

C. D.6.若方程的两个实数根为、，则的值为（

）A.7 B.3 C.－5 D.97.已知是二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（

）A. B. C. D.8.函数与的图象可能是（

）A. B.

C. D.9.如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（

）个．A.1 B.2 C.3 D.410.如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（）

A.(-2， 0) B.(-3， 0) C.(-4， 0) D.(-5， 0)二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.将一元二次方程化成一般式为

．12.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值

.13.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=

．14.二次函数的图象如图所示，则函数值时的取值范围是

．

15.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（﹣1，0），则以下结论：①abc>0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤2a+b=0；⑥a+b≥m（am+b）（m为实数）；其中正确的有

（填序号）

三、计算题：本大题共1小题，共6分。16.解方程：(1)．(2)．四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．(1)求该二次函数表达式；(2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围．18.(本小题8分)在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，求空白区域的宽度．

19.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若此方程的两个根都为整数，求整数a的值．20.(本小题8分)

浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？21.(本小题8分)如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，

(1)如果P、Q同时出发，几秒后，可使△PBQ的面积为8平方厘米？(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．22.(本小题8分)【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．(1)请用含有x的代数式表示的长；(2)花园的面积能否为？若能，求出x的值，若不能，请说明理由；(3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？23.(本小题8分)综合与实践：根据以下素材，分析问题，探索解决问题．如何设计建造花园？提出问题某高端酒店准备打造一个面积为的长方形花园，现有墙长，篱笆长的（全部用于建造花园），设计公司为酒店提供了两种方案，请通过计算帮助酒店作出合理决策．决策依据长方形的宽与长的长度之比越接近黄金比越美观，黄金比约为0.6．方案一如图，选取境的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成．方案二如图，将墙全部借用，并在墙的延长线上拓展，构成长方形，其中和都由篱笆构成．问题解决（1）求方某一中在墙上借用的的长度．（2）求方案二中的长．（3）根据计算结果，请为该酒店作出合理的决策

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】3或﹣5

13.【答案】-4

14.【答案】

15.【答案】②⑤⑥

16.【答案】【小题1】解：∵，∴，∴或，解得；【小题2】解：∵，∴，∴或，解得．

17.【答案】【小题1】解：∵二次函数图象的顶点坐标为，∴设二次函数表达式为，把代入，得，解得，所以二次函数表达式为；【小题2】∵，抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围．

18.【答案】解：设空白区域的宽度为，由题意得：解得：，（不符合题意，舍去），答：空白区域的宽度为．

19.【答案】【小题1】证明：∵m>0，△=[-2（m-1）]2-4m（m-2）=4m2-8m+4-4m2+8m=4>0，∴此方程总有两个不等实根；【小题2】，，．∵方程的根均为整数，∴．

20.【答案】【小题1】解:依题意得,销售量＝150－10(x－30)＝－10x＋450,则w＝(x－25)(－10x＋450)＝－10x2＋700x－11250,【小题2】w＝－10x2＋700x－11250＝－10(x－35)2＋1000,∵－10＜0,∴函数图象开口向下,w有最大值,当x＝35时,w最大＝1000元,故当单价为35元时,每天的利润最大为1000元．

21.【答案】【小题1】解：设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：（6-x）•2x=8，解得x1=2，x2=4，经检验，x1，x2均符合题意，故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；【小题2】不能，理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：S△ABC=×6×8=24，（6﹣y）•2y=12，

y2﹣6y+12=0，∵△=b2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分.

22.【答案】【小题1】解：，∴【小题2】在点P与，的距离分别是和，，，，解得：，（不合题意，舍去），所以花园的面积可等于，此时x的值为12；【小题3】解：在点P与，的距离分别是和，，面积S与x的函数解析式为：，抛物线的开口向下，对称轴为当时，S随x的增大而增大当时，S取到最大值为：，即当时，花园面