江苏省无锡市经开区2024-2025学年八上期中数学试题（解析版）

年秋学期期中考试试卷八年级数学本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1.下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：C．2.下列说法中正确的是（）A.两个面积相等的图形，一定是全等图形 B.两个等边三角形是全等图形C.两个全等图形的面积一定相等 D.若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【答案】C【解析】【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误；C、两个全等图形的面积一定相等，正确；D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟记全等图形的判定和性质进行判断．3.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A.梯形 B.直角三角形 C.角 D.平行四边形【答案】C【解析】【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，依据定义即可作出判断．【详解】A、梯形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；B、直角三角形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意；C、角一定是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故选项符合题意；D、平行四边形不是轴对称图形，故选项不符合题意．故选C．4.的平方根是（）A. B.4 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根概念是解决此题的关键．先求算术平方根，再求平方根即可得解．【详解】解：，4的平方根是，的平方根是，故选：D．5.如图，，若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：B．6.如图，在中，平分，则的面积为（）A.7 B.10 C.12 D.14【答案】A【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：过点作于点，如图：∵平分，∴，∵，∴，故选：A．7.如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（）A.15 B.18 C.20 D.22【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解；【详解】解：∵，∴，∵是的平分线，∴，∴，∴，又∵，∴的周长，故选：C．8.如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A.35 B.40 C.50 D.60【答案】C【解析】【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．【详解】解：如上图，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，∴AB=AC=2AD=70，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，∴QD=DQ′=15（cm），∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)∵BP=20（cm），∴AP=AB-BP=70-20=50（cm）∴AP=AQ′=50（cm），∵∠A=60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′=PA=50（cm），∴PE+QE的最小值为50cm．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．9.如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键．【详解】解：①∵和的平分线相交于点，，，∴，故①符合题意；②过作于点，于点，如图：和的平分线相交于点，∴点在的平分线上，，，故②符合题意；③∵，∴，∵分别是与的平分线，，∴，∴，∴，如图，在上取一点，使，连接，∵是的角平分线，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③符合题意；故选：D．10.如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11.新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______．【答案】20231425【解析】【分析】本题考查了镜面对称的性质；根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案．【详解】解：他的学号为20231425，故答案为：20231425．12.已知一个正数的平方根是和，则__．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的平方根有两个且互为相反数，所以，求出a的值即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：5．13.如图，四边形≌四边形，则的大小是_______．【答案】##95度【解析】【分析】此题主要考查了全等图形，四边形内角和定理．利用全等图形的定义可得，然后再利用四边形内角和为可得答案．【详解】解：四边形四边形，，，故答案为：．14.如图，交于点F，则的度数是_______°．【答案】50【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等，三角形的外角等于两个不相邻的内角和是解题关键．设与交于点O，根据全等三角形的性质可知，结合题意即得出，最后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：如图，设与交于点O，∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：50．15.已知一张三角形纸片（如图①），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的点E处，折痕为，点D在边上（如图②）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图③）．原三角形纸片中，的大小为______．【答案】72【解析】【分析】根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解答．【详解】设，根据翻折不变性可知，，∵，∴，∵，∴，∴，即，故答案为72．【点睛】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会转化角的关系并用方程的思想思考问题．16.如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是_______cm．【答案】8【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答．【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，∴，∵的周长为，∴，∴的周长为，∴，即，∴，即∴．故答案为：8．17.如图，在以为斜边的两个直角和中，，，，则________．【答案】120°##120度【解析】【分析】取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD＝60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数．【详解】解：取AB的中点F，连接CF，DF，如图所示：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF＝DF=，又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD＝AB，∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC＋∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，∴∠ABE＋∠BAE＝∠BFD＋∠AFC＝（∠BFD＋∠AFC）＝×120°＝60°，∴△ABE中，∠AEB＝180°−60°＝120°．故答案：120°．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD．18.如图，为等边的高，M、N分别为线段，上的动点，且，当取得最小值时，___________．【答案】【解析】【分析】作，使，连接交于点F，连接，则，可证，从而得证，于是，，当点N与点F重合时，取最小值；【详解】解：作，使，连接交于点F，连接，∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，当点N与点F重合时，，取最小值，则取最小值，此时，，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形外角性质、两点之间线段最短，添加合适的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根的定义是解此题的关键．（1）将方程变形为，再利用平方根解方程即可得解；（2）将方程变形为，再利用立方根解方程即可得解．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∴或；【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．20.计算：（1）；（2）【答案】（1）8；（2）6．【解析】【分析】（1）根据二次根式的混合运算、立方根、绝对值、算术平方根运算法则即可求解；（2）根据乘方、立方根、算术平方根运算法则即可求解．【小问1详解】解：【小问2详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、乘方、绝对值、实数的混合运算；熟练掌握其运算法则是解题的关键．21.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．【答案】证明见解析．【解析】【分析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．【详解】∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；∴BC=EF，∴BC﹣CE=EF﹣CE，即BE=CF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质．22.如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上．（1）画出关于直线的轴对称图形；（2）若正方形网格的单位长度为1，求的面积．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据轴对称的性质，找得到点，再依次连接得，即可作答．（2）运用割补法进行列式计算，即可作答．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：依题意，的面积23.三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”．（1），，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；（2）若三个数，m，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值．【答案】（1），，这三个数是“完美组合数”，理由见解析（2）m的值是【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，新定义运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算，并注意进行分类讨论．（1）根据“完美组合数”的定义进行判断即可；（2）分两种情况进行讨论，①当时，②当时，分别求出m的值即可．小问1详解】解：，，这三个数“完美组合数”，理由如下：∵，，，∴，，这三个数是“完美组合数”；【小问2详解】解：∵，∴分两种情况讨论：①当时，，∴；②当时，，∴（不符合题意，舍之）；综上，m的值是．24.如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．（1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半；（2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．【答案】（1）或（2）点Q的运动速度为或【解析】【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．（1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可；（2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可．【小问1详解】解：∵在中，，∴，∴．分类讨论：①当点P上时，不存在；②当点P在上时，此时，如图，∴，∴；③当点P在上时，此时，如图，∵的面积等于面积的一半，∴，∴，∴．综上可知当或时，的面积等于面积的一半；【小问2详解】解：∵，∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时．设点Q的运动速度为，①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图，∵，∴，，∴，，解得：，，∴此时点Q的运动速度为；②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图，∵，∴，，∴，，解得：，，∴此时点Q的运动速度为．综上可知点Q的运动速度为或．25.如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接．（1）当点C在线段上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____；②如图2，若点C不与点D重合，请证明：；（2）当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．【答案】（1）①补全图形见解析，；②见解析（2）【解析】【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．（1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形性质可得结论；②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案；（2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可．【小问1详解】①解：补全图形如图1所示，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：；②证明：如图2，在上截取，连接，∵，，，∴是等边三角形，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接，由（1）知，，，∵，∴；当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接，由（1）知，，，∵，∴．26.定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点．（1）如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______；（2）如图2，已知，分别以为