高考数学考点拾分培优讲义-第8讲 常常被你忽视的定积分

第8讲常常被你忽视的定积分定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用函数的奇偶性求求积分,不会用面积法求积分,对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确，以定积分为载体，与其他数学知识综合．下面对这几类典型问题进行扼要剖析,供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.定积分是高考数学理科试卷常考问题,一般以客观题形式出现,主要考查求定积分及利用定积分求曲边多边形的面积,难度是中等或中等以下,在高考试题中属于得分题,但由于教材中定积分的内容比较少,安排的课时比较少,教学中对其重视不够,致使相当一部分同学对定积分概念及几何意义理解不清,在基础试题上失分,实在可惜.总结近几年高考试卷定积分失分情况主要有以下几种类型：求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错,不会用函数的奇偶性求求积分,不会用面积法求积分,对定积分几何意义理解不清致误或求解方法不正确，以定积分为载体，与其他数学知识综合．下面对这几类典型问题进行扼要剖析,供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.题型一题型一求对被积函数与原函数关系不清或求原函数出错名师导航要求定积分首先要要求出被积函数的原函数名师导航要求定积分首先要要求出被积函数的原函数,为此对高中阶段我们需要掌握的函数如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、五个特殊的幂函数、三角函数、对勾函数等要会求其定积分．当被积函数比较复杂,看不出原函数时,我们可以先化简,再积分.【典例1】(直接求原函数）【人教新课标A版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值解析：【典例2】(先化简，再求原函数）=（）A．B．C．D．解析：,故选C．【典例3】(先求积分边界）二项式的展开式中，含项的系数为，则（）A． B． C．1 D．解析：二项式的展开式的通项为令，根据题意含项的系数.选C【典例4】(求被积函数的解析式）已知,则实数的值为（）A．B．C．D．解析：根据题意有,解得故选B．能力达标训练1.已知，则的值为（）A．B．C．D．解析：.2.（）A．B．C．D．解析：由题意得.3.()A．0B．C．D．解析：．选B．4.（2014·陕西高考真题（理））定积分的值为()A． B． C． D．解析：=.故选C.5.（2014·江西高考真题（理））若,则（）A． B． C． D．解析：设，故选B．6.若，，，则（）A．B．C．D．解析：，，故选D.7.【2015高考，理13】.解析：.题型二题型二奇偶性与定积分名师导航名师导航奇函数与偶函数在对称区间上的定积分（简称：“偶倍奇零”，秒杀选填）（1）若为偶函数，且在关于原点对称的区间上连续,则；（2）若为奇函数，且在关于原点对称的区间上连续,则。【典例5】计算（）A． B．0 C．1 D．-1解析：因为在上为奇函数，所以.故选：B能力达标训练8._______．解析：由于的被积函数是奇函数，而积分区间关于原点对称.故答案为：0.9.___________．解析：【答案】1题型三题型三用面积法求积分常被遗忘的定积分名师导航名师导航当被积函数的原函数不易求出，常利用定积分的几何意义求定积分,高中阶段一些被积函数是二次根式的一般用面积法去求,求的时候注意取值区间.【典例6】定积分的值为（）A．B．C．D．解析：法一换元求原函数法，令,则则故应选C．法二换元挖掘被积函数的几何意义法，四分之一的圆面【典例7】．解析：,表示的几何意义是以为圆心,1为半径,四分之一圆的面积为,,能力达标训练10.定积分的值为（）A．B．C．D．解析：【答案】A11.（）．A． B． C． D．解析：由题意，，如图：的大小相当于是以为圆心，以1为半径的圆的面积的，故其值为，，所以，，所以本题选D.12.（）A． B．8 C． D．解析：由，根据定积分的几何意义可得表示以原点为圆心，半径为2的上半圆的面积所以，又由所以.故选：D.13.（2021·高二月考（理））___________.解析：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．故答案为：.14.（2022·高二期中（理））___________.【答案】；【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式求解.【解析】，由定积分的几何意义可知等于半径为的半圆的面积，即，，所以.故答案为：15.（2021·高二期中（理））已知函数，则＝_______．解析：令它表示单位圆在第一象限的个圆，因为表示个圆的面积所以.所以.故答案为：．16.________解析：因，而，，应填答案．题型四题型四利用定积分求平面图形面积问题名师导航（名师导航（1）利用定积分求平面图形面积的步骤：①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．（2）已知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．【典例8】求曲线与所围成的图形的面积，正确的是()A．B．C．D．解析：如图所示故选A.【典例9】由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（）A． B． C． D．解析：如图，由直线，，曲线及轴所围图形的面积：.故选：A【典例10】已知函数的图象如图所示，x轴与曲线相切于原点，所围成的区域(阴影)面积为.（1）求的解析式；（2）求函数在区间上的值域.解析：（1）由得，，由得，∴，令，得或，由图知，即，则易知图中所围成的区城(阴影)面积为，即，从而得，∴.（2）由（1）知，令，解得或，由题，的变化情况如下表：01+0-0+单调递增极大值0单调递减极小值单调递增①当时，在上单调递减，所以，即；②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即；③当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即，综上可知：当时，值域为；当时，值域为；当时，值域为.能力达标训练17.函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解析：所求面积为．18.（2011·全国高考真题（理））由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．6解析：由题意，曲线，直线及y轴所围成的图形如图阴影部分所示：联立方程，可得点，因此曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为：．故选：C．20.（2015·天津高考真题（理）改编）曲线与直线围成图形的面积为（）A． B． C． D．9解析：由直线与曲线，解得或，所以直线与曲线的交点为和，因此，直线与曲线所围成的封闭图形的面积是.故选：C.21.曲线与直线围成的封闭图形的面积为______．解析：由，可得或，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积，故答案为：．22.如图，阴影部分是由曲线和及轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.解析：曲线和圆的在第一象限的交点为，

则直线OA的方程为：，

如图，则直线OA与抛物线所围成的面积，

又扇形AOB圆心角为，则扇形AOB的面积，

所以阴影部分的面积.故答案为.23.曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________．解析：设阴影部分面积为S，由题意得两个图象的交点为，.故答案为:.24.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为__________．解析：令，解得（舎）或．25.如图，所求面积为由y＝﹣x2+2x+1，y＝x，x＝1，x＝0围成封闭图形的面积为_____.解析：画出图象如下图所示，则封闭图形的面积为.．26.（2021·全国高二单元测试）函数，与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为______.解析：由题意知，所成平面图形如下图阴影部分所示，∴27.（2022·全国高二单元测试）曲线y＝sinx与直线所围成图形的面积是________.解析：由题意和定积分的意义可得所求面积，28.（2012·上海高考真题（理））已知函数的图象是折线段ABC，若中A(0,0)，B(,1)，C(1,0).函数的图象与x轴围成的图形的面积为.解析：依题意,当时,f(x)=2x,当时,f(x)=−2x+2，，的图象与x轴围成的图形的面积为，故答案为题型五题型五定积分与几何概率结合名师导航名师导航与几何概率相交汇问题：解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应几何概率公式进行计算.【典例11】如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】A；【分析】先设出切点，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果.【解析】设切点，所以切线方程，又因为过原点所以解得，所以点P因为与轴在围成的面积是则阴影部分的面积为，而矩形的面积为故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为故选A【典例12】曲线及围成的平面区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为___________.解析：由得或，所以阴影部分的面积为，，所以质点落在阴影部分区域的概率为，故答案为：.能力达标训练29.设直线与轴交于点，与曲线交于点，为原点，记线段，及曲线围成的区域为．在内随机取一个点，已知点取在内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．解析：联立，解得．则曲边梯形的面积为，∵在内随机取一个点，点取在内的概率等于，∴点P取在阴影部分的概率等于，∴图中阴影部分的面积为．故选：B．30.（2012·福建高考真题（理））如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【答案】C；【解析】试题分析：由三角形面积为，，所以阴影部分面积为，所求概率为31.（2010新课标）设为区间上的连续函数，且恒有，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组个）区间上的均匀随机数和，由此得到N个点，再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．解析：由题意可知得，故积分的近似值为．32.（2015·福建高考真题（理））如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于___________．【解析】试题分析：此点取自阴影部分的概率为：.35.如图，在边长为1的正方形内随机取一点，则此点恰好取自曲线下方与正方形所围成阴影部分的概率为______.解析：正方形的面积为：，阴影部分的面积为，所以此点恰好取自曲线下方与正方形所围成阴影部分的概率为.故答案为：题型六题型六定积分在物理学应用名师导航（名师导航（1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即.（2）变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功..【典例13】（2022·高三三模（理））一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A． B． C． D．解析：令v（t）=0得，3t2−4t−32=0，解得t=4(舍去)．汽车的刹车距离是故选：C【典例14】一物体在力（x的单位：m，F的单位：N）的作用，沿着于力F相同的方向，从处运动到处，力F(x)所做的功是（

）A．16N B．64N C．40N D．52N解析：由题可得（N）.故选：C.【典例15】把一个带＋q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F＝k(其中k为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r＝a处移动到r＝b(a<b)处，则电场力对它所作的功为________．A．k－kB．kC．kD．k+k解析：.故选A.能力达标训练36.汽车以v=(3t+2)m/s做变速运动时,在第1s至第2s之间的1s内经过的路程是()A.5m B.112m C.6m D.13解析：s=37.已知自由落体运动的速度，则自由落体运动从到所走过的路程为（）A．1g B． C． D．解析：因为自由落体运动的速度，所以路程，故选：B38.（2021·全国高二单元测试）变速直线运动的物体的速度为，初始时所在位置为，则当秒末它所在位置为（）A．B．C．D．解析：由题意，可得物体的位移为定积分，所以当秒末它所在位置为．故选：B.39.一物体在力(单位：)的作用下沿与相同的方向，从处运动到(单位：)处，则力做