高考数学考点拾分培优讲义-第15讲 如何“补漏去杂”求曲线的方程

第15讲如何“补漏去杂”求曲线的方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系．求曲线的轨迹方程是高考必考内容，是解析几何教学中的常规专题，教学中老师也会提醒要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程，称之为“补漏去杂”．究竟如何“补漏去杂”，一般就“蜻蜓点水，一笔带过”，特别是出现在解答题或者填空题中，往往不少学生一头雾水，在不断犯错与纠错中挣扎．本专题结合各种隐含条件，明确约束方向，总结如何“补漏去杂”的方法.供同仁求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系．求曲线的轨迹方程是高考必考内容，是解析几何教学中的常规专题，教学中老师也会提醒要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程，称之为“补漏去杂”．究竟如何“补漏去杂”，一般就“蜻蜓点水，一笔带过”，特别是出现在解答题或者填空题中，往往不少学生一头雾水，在不断犯错与纠错中挣扎．本专题结合各种隐含条件，明确约束方向，总结如何“补漏去杂”的方法.供同仁们教学参考，学生备战2024高考的培优专题.隐含条件一隐含条件一数学概念的内涵与外延钻研数学数学概念的内涵与外延，蕴含约束条件，常见的有以下数学概念：（钻研数学数学概念的内涵与外延，蕴含约束条件，常见的有以下数学概念：（1）动点直线的斜率：隐含存在斜率，则两点式表示是分母不为0，动点与定点不重合；（2）直线的截距：隐含是实数，防止“望文生义”误理解为距离；（3）三角形：隐含三点不共线；（4）三角形的中线、角平分线、高线：隐含是线段；（5）三角形的重心：隐含在三角形的内部.【典例1】已知直线方程为，，若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.解析：由题得中.令有,故在轴上的截距为.令有.故在轴上的截距为.故,故或.当时,化简得,当时,化简得故直线的方程为或【典例2】(2019课标Ⅱ,21,改编)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-12.记M的轨迹为曲线C，求C的方程,并说明C是什么曲线解析：由题设得yx+2·yx-2=-12,化简得x24+y22=1(|x|≠2),所以C为中心【典例3】已知△ABC中,AB=2,且sinA(1-2cosB)+sinB(1-2cosA)=0,以边AB的中垂线为x轴,以AB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,求动点C的轨迹方程.

解析：由题意sinA(1-2cosB)+sinB(1-2cosA)=0,得sinA+sinB=2sinC；BC+AC=2AB>AB,故动点C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆的一部分(去掉与y轴的交点），方程为y24+【典例4】设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．解析：设△ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝4a，,y2＝4ax，))消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.∵G(x，y)为△ABC的重心，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋x1＋x2,3)＝\f(x0＋12a,3)，,y＝\f(y0＋y1＋y2,3)＝\f(y0＋4a,3)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－12a，,y0＝3y－4a.))又点C(x0，y0)在抛物线上，∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4a,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4a,3)(x－4a)．又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2eq\r(5))a，∴△ABC的重心的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4a,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4a,3)(x－4a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6±\f(2\r(5),3)))a)).能力达标训练1.已知△ABC的周长为12,B(0,-2),C(0,2),则顶点A的轨迹方程为()A.x212+y216=1(x≠0) B.x212+y216=1(y≠0)C.x2解析：A2.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若eq\o(BP,\s\up7(―→))＝2eq\o(PA,\s\up7(―→))，且eq\o(OQ,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝1，则点P的轨迹方程是()A.eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)B.eq\f(3,2)x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)C．3x2－eq\f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)D．3x2＋eq\f(3,2)y2＝1(x＞0，y＞0)解析：设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由eq\o(BP,\s\up7(―→))＝2eq\o(PA,\s\up7(―→))，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝eq\f(3,2)x＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由eq\o(OQ,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝eq\f(3,2)x，b＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．3.已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是()A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋y2＝1(x≠0)D．y＝(x≠±1)解析：设，则，，化为，故选B.4.双曲线的左、右焦点为，，为右支上的动点（非顶点），为的内心.当变化时，的轨迹为（）A．直线的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．无法确定解析：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2＝2a．由圆的切线性质PF1﹣PF2＝F1M﹣F2N＝F1Q﹣F2Q＝2a，∵F1Q+F2Q＝F1F2＝2c，∴F1Q＝a+c，F2Q＝c﹣a，∴OQ＝OF2﹣QF2＝c﹣（c﹣a）＝a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选：A．【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义,注意切线长相等的应用5.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0；②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数，∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6，∴此时所求的直线方程为x-y+6=0；即答案为2x+y=0，或x-y=6=0.6.过点P（1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.解析：试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为y=kx，代入点P（1，2）可得k=2，故方程为y=2x当直线不过原点时，可设直线的方程为xa代入点P（1，2）可得a=3，故方程为x3+y综上可得所求直线的方程为：2x-y=0或x+y-3=0.故答案为：考点：直线的截距式方程．7.过点且在轴上截距是在轴上截距的两倍的直线的方程为．解析：截距都为零时直线过原点，斜率为，直线为，当截距不为零时，设方程为，代入点得，所以方程为8.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－eq\f(1,3).则动点P的轨迹方程为________________．解析：因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得eq\f(y－1,x＋1)·eq\f(y＋1,x－1)＝－eq\f(1,3)，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．9.已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________________．解析：设A(x，y)，由题意可知Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2))).∵|CD|＝3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－5))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．10.已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且顶点A，B的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA＝eq\f(5,4)sinC，则C点的轨迹方程为________________．解析：由sinB＋sinA＝eq\f(5,4)sinC可知b＋a＝eq\f(5,4)c＝10，则|AC|＋|BC|＝10＞8＝|AB|，∴满足椭圆定义．令椭圆方程为eq\f(x2,a′2)＋eq\f(y2,b′2)＝1，则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(x≠±5)．11.双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程．解析：设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴，∴已知双曲线两焦点为，∵存在，∴；由三角形重心坐标公式有，即．∵，∴．已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有，即所求重心的轨迹方程为：．12.如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M，求曲线M的方程．解析：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝3，所以曲线M的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0).13.如图所示，抛物线E：y2＝2x与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M，求动点M的轨迹方程．解析：抛物线E：y2＝2x，设Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),2)，y1))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),2)，y2))，y1≠0，y2≠0.切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y\o\al(2,1),2)))，代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－kyeq\o\al(2,1)＝0，由Δ＝0，解得k＝eq\f(1,y1)，∴l1的方程为y＝eq\f(1,y1)x＋eq\f(y1,2)，同理l2的方程为y＝eq\f(1,y2)x＋eq\f(y2,2).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,y1)x＋\f(y1,2)，,y＝\f(1,y2)x＋\f(y2,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2).))易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝8，x0∈[2,2eq\r(2)]，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x0x＋y0y＝8，))得x0y2＋2y0y－16＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(2y0,x0)，,y1·y2＝－\f(16,x0).))代入eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))可得M(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(8,x0)，,y＝－\f(y0,x0)，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(8,x)，,y0＝\f(8y,x)，))代入xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝8，并化简，得eq\f(x2,8)－y2＝1.考虑到x0∈[2,2eq\r(2)]，知x∈[－4，－2eq\r(2)]，∴动点M的轨迹方程为eq\f(x2,8)－y2＝1，x∈[－4，－2eq\r(2)]．隐含条件二隐含条件二二圆锥曲线的定义名师导航=1\*GB3①名师导航=1\*GB3①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若，则点在以为直径的圆上；确定方程的要素：圆心坐标，半径②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹；确定方程的要素：距离和，定点距离③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支；确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹；确定方程的要素：焦准距：.若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程.15.已知点是曲线上任意一点，点到点的距离与到直线轴的距离之差为1，求曲线的方程.解析：设，则当时，，所以，当x>0时化简得；当时，由题意得，所以曲线的方程为：或.【典例6】△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是____________．解析：如图，令内切圆与三边的切点分别为D，E，F，可知|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BE|＝8－2＝6<|AB|＝10.1(x>3)．故填eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．【典例7】已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________．解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.又|MA|＝|MB|，所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2＜|C1C2|＝6，|MC2|＞|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C1，C2为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，a＝1.又c＝3，所以b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．故填x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．【典例8】(2016全国新课标Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；解析：圆A整理为(x＋1)2＋y2＝16，A坐标(－1，0)，如图，∵BE∥AC，则∠C＝∠EBD，由AC＝AD，则∠D＝∠C，∴∠EBD＝∠D，则EB＝ED，∴AE＋EB＝AE＋ED＝AD＝4.所以E的轨迹为一个椭圆，方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，(y≠0)．能力达标训练1.已知定义域为的函数，又当时，14.设点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（）A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.射线解析：圆的标准方程为，如图所示，设圆心坐标为，满足题意的点为点，由题意有：，则，设，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线.本题选择D选项.15.动点P为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于椭圆顶点A(a,0)，B(－a,0)的一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F1P，F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的()A．抛物线B.椭圆C．双曲线的右支 D．一条直线解析：如图，设切点分别为E，D，G，由切线长相等可得|F1E|＝|F1G|，|F2D|＝|F2G|，|PD|＝|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|＋|PF2|＝|F1P|＋|PD|＋|DF2|＝|F1E|＋|DF2|＝2a，即|F1E|＋|GF2|＝2a，也即|F1G|＋|GF2|＝2a，故点G与点A重合，所以点M的横坐标是x＝a，即点M的轨迹是一条直线(除去A点)，故选D.16.已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)、B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F，过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．【2-4】已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．17.在△ABC中，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|eq\o(BD,\s\up16(→))|－|eq\o(CD,\s\up16(→))|＝2eq\r(2)，则顶点A的轨迹方程为________．解析：以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2eq\r(2).∴点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝eq\r(2)，c＝2，∴b＝eq\r(2).∴轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x>eq\r(2))．18.已知点到x轴的距离比它到点(0,1)的距离小12，则点满足的方程是______________．解析：设，则．若时，则，两边平方并整理得x2=4y；若时，则，两边平方并整理得x=0．故答案为：x2=4y或者x=0（y<0)【点评】本题考查轨迹方程的求法，需注意分类讨论，属于一般题．隐含条件三隐含条件三几何图形的位置关系名师导航关注动点运动的位置，如x名师导航关注动点运动的位置，如x轴上方，y轴正半轴等；隐含曲线的位置关系判定.【典例9】(2013课标Ⅰ,20,改编)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．【典例10】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．解析：如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M||MF|－|MB|＝2}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为eq\r(x2＋y－22)－y＝2，①将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，化简得y＝eq\f(1,8)x2.因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y＝eq\f(1,8)x2(x≠0)．【典例11】如图，动圆C1：x2＋y2＝t2(1＜t＜3)与椭圆C2：eq\f(x2,9)＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．解析：由椭圆C2：eq\f(x2,9)＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)．设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝eq\f(y0,x0＋3)(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝eq\f(－y0,x0－3)(x－3)．②由①②相乘得y2＝eq\f(－y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－9)(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(x\o\al(2,0),9).④将④代入③得eq\f(x2,9)－y2＝1(x＜－3，y＜0)．因此点M的轨迹方程为eq\f(x2,9)－y2＝1(x＜－3，y＜0)．能力达标训练19.在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|，eq\o(GM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，则顶点C的轨迹为()A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)解析：设C(x，y)(y≠0)，由eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0可知G为△ABC的重心，得Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)，\f(y,3))).又|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|，即M为△ABC的外心，所以点M|MA|，所以x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y,3)))eq\s\up12(2)＝4＋eq\f(y2,9)，化简得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,12)＝1(y≠0)．所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．故选B.20.若经过坐标原点的直线与圆相交于不同的两点，则弦的中点的轨迹方程为_______.解析：设当直线l的方程为，与圆联立方程组,消去y可得：，由,可得.由韦达定理,可得，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：,其中.故答案为：.21.已知点A,B分别是射线l1:y=x(x≥0),l2:y=-x(x≥0)上的动点,O为坐标原点,且△OAB的面积为定值2,则线段AB中点M的轨迹方程为.

解析：由题意可设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其中x1>0,x2>0,则因为△OAB的面积为定值2,所以S△OAB=OA·OB=(x1)(x2)=x1x2=2.①2-②2得x2-y2=x1x2,而x1x2=2,所以x2-y2=2.由于x1>0,x2>0,所以x>0,即所求点M的轨迹方程为x2-y2=2(x>0).答案:x2-y2=2(x>0)22.设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且；当点P在y轴上运动时，则N点的轨迹C的方程是________．解析：∵，故P为MN中点，又∵，P在y轴上，F为（1，0），故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（－x，0），P（0，），（x>0），∴，又∵，即∴．23.设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解析：解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)，直线AB的方程为x=my+a由OM⊥AB，得m=－，由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2，所以，故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法二设OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得∴AB的方程为，过定点N（4p,0），由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外），故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法三设M(x,y)(x≠0)，OA的方程为，代入y2=4px得则OB的方程为，代入y2=4px得由OM⊥AB，得：M既在以OA为直径的圆：……①上，又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），①+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．24.已知两点A(2,0)，B(－2,0)，直线l经过点B且与x轴垂直，点C是l上异于点B的动点，直线BP垂直线段OC并交线段AC于点P，记点P的轨迹为曲线Γ，求曲线Γ的方程．解析：(1)设C(－2，m)(m≠0)，则kOC＝－eq\f(m,2)，kAC＝－eq\f(m,4)，所以kBP＝eq\f(2,m)，所以直线BP的方程为y＝eq\f(2,m)(x＋2)．直线AC的方程为y＝－eq\f(m,4)(x－2)，设P(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝\f(2,m)x0＋2，,y0＝－\f(m,4)x0－2))得eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝1，所以曲线Γ的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1(y≠0)．25.已知定点、，动点在线段上，且、均为等边三角形（、均在轴上方），是线段的中点，求点的轨迹.解析：设，则，如图，则，因为、均为等边三角形，所以，因为是线段的中点，设为，则，，所以的轨迹为.26.P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．解析：（1）设，则由知：点在圆上点的轨迹的方程为：轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（2）设，由题意知的斜率存在设，代入得：则，解得：设，，则四边形为平行四边形又∴，消去得：顶点的轨迹方程为隐含条件四隐含条件四数学表达式与几何图形的等价性名师导航化简数学表达式求曲线时，一定要先约束原始表达式有意义，进而约束曲线方程名师导航化简数学表达式求曲线时，一定要先约束原始表达式有意义，进而约束曲线方程【典例12】已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x+)(y+)=0(B)(x)(y)=0(C)(x+)(y)=0(D)(x)(y+)=0解析：圆的一般方程．分析：图形是单位圆在x轴下侧和y轴右侧的2部分构成的，先求出单位圆在x轴下侧的部分的方程，再求出单位圆在y轴右侧的部分的方程，和在一起就是图形的方程．解：图形是单位圆在x轴下侧和y轴右侧的2部分构成的，单位圆在x轴下侧的部分的方程为：y+=0，单位圆在y轴右侧的部分的方程为：x-=0．故答案选D．【典例13】|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲线是()A．抛物线 B．一个圆C．两个圆 D．两个半圆解析：原方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|y|－1≥0，,1－（x－1）2≥0，,（|y|－1）2＝1－（x－1）2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥1，,（x－1）2＋（y－1）2＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤－1，,（x－1）2＋（y＋1）2＝1.))所以原方程表示(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)和(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)两个半圆．故选D.能力达标训练29.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析：D30.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（）．A． B．C． D．解析：因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；B选项，等价于或，又表示折线的全部，故错误；C选项，等价于或，∴表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，表示双曲线-，符合题中的图象，故C正确.D选项，等价于或，表示折线在双曲线外部（包含有原点）的部分，和表示双曲线在x轴下方的部分，故错误.故选C.31.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线C．两个点 D．以上答案都不对解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,xy－1＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))32.方程表示的曲线是（）A．一个椭圆和一条直线B．一个椭圆和一条射线C．一个椭圆D．一条直线解析：由题意可化为或∵不成立，∴，∴方程表示的曲线是一条直线．故选D．【点评】本题考查曲线与方程，需要注意方程等价变形，属于基础题．33.方程表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条线段与半圆C．一条射线与一段劣弧D．一条线段与一段劣弧解析：试题分析：∵，∴或，∴或．故选D．34.方程(2x＋3y－1)(eq\r(x－3)－1)＝0表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线解析：原方程可化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－1＝0，,x－3≥0))或eq\r(x－3)－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.35.方程所表示的曲线的图形是（） B．C．D．解析：因为方程，所以可得或，即或，且，所以曲线为直线与圆在直线的右边部分构成，故选：D.【点评】本题主要考查了方程与曲线的概念及直线与圆的方程，属于中档题.36.方程所表示的曲线的长度是（）A． B． C． D．解析：因为方程，所以,所以或将原式变形可得，所以曲线为两个半圆,半径为所以曲线的长度为，故选:B【点评】本题考查了曲线与方程的关系,根据方程判断曲线的形状,注意函数值域,属于基础题.隐含条件五隐含条件五空间图形的范围限制名师导航空间图形的动点轨迹，一般遵循名师导航空间图形的动点轨迹，一般遵循化空间问题为平面问题，注意空间几何体有范围约束，故所求轨迹也必须对应约束.【典例14】给定正三棱锥，点M为底面正内(含边界)一点，且M到三个侧面,的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为()A．椭圆的一部分B．一条线段C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解析：根据M到三个侧面,的距离依次成等差数列可设距离分别为，正三棱锥各个侧面面积为S,体积为V则化简可得,即为常数，作平面平面,且平面与平面的距离为,则平面与底面的交线即为点M的轨迹，可知M为一条线段，故选:B【典例15】点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为________．解析：正方体的内切球的半径，由题意，取的中点，连接，则，，∴平面，∴动点的轨迹就是平面与内切球的球面相交得到的小圆，∵正方体的棱长是，∴到平面的距离为，截面圆的半径，所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长.故答案为【点评】本题考查了学生的空间想象力，求出点M的轨迹是关键，属于中档题．能力达标训练37.四棱锥P-ABCD中，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD