4.2 认识一次函数（第3课时）教学设计

2/2第四章一次函数2认识一次函数（第3课时）一、学习任务分析本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”第二节的第3课时。在前两个课时中，学生已通过丰富的生活实例理解了“均匀”变化的概念，能够从实际情境中抽象出函数模型，写出简单的一次函数表达式，理解了一次函数和正比例函数的概念。本节课作为“认识一次函数”的第3课时，旨在让学生进一步体会一次函数与现实生活的联系，感知一次函数模型的应用，更好地实现由意义理解到自主建构的飞跃，发展学生的应用意识，初步形成用函数观点认识现实世界的意识与能力。本课时的学习为后续学习一次函数的图象和应用奠定基础，也为后续学习反比例函数、二次函数等复杂函数打下坚实的基础。二、学情分析学生的知识技能基础：学生已经掌握了变量、函数的基本概念，对一次函数的概念有了初步的了解，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，理解并掌握了一次函数和正比例函数的概念。学生的活动经验基础：通过前两个课时对一次函数的学习，学生已初步体会到其在解决实际问题中的重要性，并对其应用产生了浓厚的兴趣。此外，学生在过去的学习中积累了大量的合作学习经验，具有良好的团队协作和交流沟通能力。三、教学目标1.经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，丰富数学活动经验，体会模型思想，发展抽象思维能力。2.通过对方案选择和分段计费等问题的探索，进一步体会一次函数与现实生活的联系，提升对一次函数概念的理解，提高分析和解决问题的能力，发展应用意识。3.在解决问题的过程中初步体会函数思想，初步形成用函数观点认识现实世界的能力与意识。教学重点：从实际问题中抽象出一次函数模型。教学难点：从实际问题中抽象出一次函数模型。四、教学过程设计【第一环节】复习旧知，梳理脉络1.活动内容通过之前的学习，你对一次函数有哪些认识呢？2.活动目的在前两个课时中，学生已通过丰富的生活实例理解了“均匀”变化的概念，能够从实际情境中抽象出函数模型，正确表述y与x之间的关系，并准确判断是否为一次函数。此外，学生还能初步感知k，b对一次函数y=kx+b的影响等。本节课作为“认识一次函数”的第3课时，旨在让学生进一步体会一次函数与现实生活中的联系及其应用价值。因此，此环节的重点是系统回顾和整理前两个课时的内容，为本课时的进一步探索奠定基础。3.注意事项学生独立思考并在班级内分享自己的理解，共同补充和完善对一次函数的理解。复习可以帮助学生将之前零散的知识点系统化，形成完整的知识结构。【第二环节】创设情境，建构新知1.活动内容某单位需租一辆45座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司。甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米15元。乙公司的计费标准：除了每千米10元的里程费外，另有服务费200元（不足1km按1km计算）。（1）假设该单位用车里程为30km，你建议租用哪家公司的客车？（2）假设该单位用车里程为52km，你建议租用哪家公司的客车？（3）用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同？2.活动目的本环节旨在通过实际问题引导学生自主构建一次函数模型，体会一次函数在解决实际问题中的应用价值，初步感知函数思想和模型思想，为后面探索分段计费问题奠定基础。问题（1）和问题（2）让学生体验从实际问题中抽象出函数模型的过程，建立车费与里程数的一次函数表达式，运用一次函数模型解决问题。教师还可以设计一些追问，比如“写出的一次函数关系式中k和b所代表的实际意义是什么？”深化学生对一次函数的理解。在问题（3）中，学生可能有两种思考方式，一是根据题意的“收费相等”建立等量关系；二是利用一次函数关系式来求解问题，进一步理解一次函数与方程之间的联系。在问题（3）完成后，也可以进行追问，比如“用车里程为多少千米时，会建议选择甲公司？”目的在于让学生从数的角度感受里程数和车费两个变量之间的关系，初步感受函数思想。3.注意事项在实际教学中，本环节学生可能还停留在用算术方法或者代数式来解决问题，不太习惯用一次函数解决问题。在解决问题的过程中，鼓励学生从不同的角度分析问题，逐步引导学生从实际问题中抽象出一次函数模型，体会函数思想在解决实际问题中的重要作用。若学生接受度比较好，在本环节完成后还可以进一步追问：该单位选择哪一家公司支付的车费较少？请你帮助给出选择的方案。这个追问可以作为课堂的补充。让学生初步感受一次函数与不等式的关系。【第三环节】方法迁移，深化理解1.活动内容例1为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费。下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准：计费档户年用水量x/m3单价/（元/m3）第一档0＜x≤2203.45第二档220＜x≤3004.83第三档x＞3005.83（1）当220＜x≤300时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式；（2）某户一年用水量是250m3，求该户这一年的水费；（3）某户去年一年的水费是1000.5元，求该户去年一年的用水量。（当师生共同解决完上述问题后，教师可以引导学生尝试思考以下问题）尝试·思考（1）在例1中，当x＞300时，你能写出水费y（单位：元）与用水量x之间的关系式吗？（2）像例1这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？2.活动目的例1以“分档计费”为核心，学生将探索分段函数关系式的表达，理解分段的意义，并利用函数关系式解决实际问题，体会函数思想和模型思想，提高问题解决的能力。通过设置3个小问逐层展开，由数到式，从特殊到一般。鼓励学生基于之前的经验，自主探索并建构函数模型来解决问题。问题（1），要求学生写出分段函数的表达式，实现从具体到抽象的思维转换，加深对水费与用水量两个变量之间关系的理解；问题（2），已知用水量求水费，首先让学生明确需要关注自变量的取值范围在哪一段，然后利用一次函数解析式解决问题；问题（3），已知水费反推用水量，解决的方法不唯一，可以首先让学生判断当水费是1000.5元时，对应的自变量可能在哪一段，培养学生分类讨论和逆向思维能力。在“尝试·思考”环节，通过两个追问深化学生对分段函数的理解。追问（1）旨在巩固并内化新知，让学生在更复杂的情境下写出函数表达式；追问（2）引导学生思考分段计费的现实意义和价值，理解其在节约资源方面的重要作用，并将此概念拓展到生活中的其他场景，实现数学教育的育人价值。3.注意事项此环节可以小组合作，学生充分思考、表达，逐步理解并掌握分段计费问题的解决思路与策略，能构建分段函数模型解决问题。在写分段函数的关系式时，若学生不能准确把握分段函数的意义或不能准确表达用水量和水费之间的关系式时，教师可以让学生充分经历由数到式的过程，鼓励学生发表自己的观点。在实际教学中，教师也可以根据学生情况做调整，可以不提分段函数这一概念，只让学生理解分档计费的方式和意义即可。若学生对于一次函数和分档计费的原理理解较深入，问题3也可以省略“当220＜x≤300时”的条件，直接提出问题：写出水费y（单位：元）与x之间的关系式。解决问题时，学生需要进行分类讨论，这种灵活的教学方式也是一种变式教学。在分段函数教学过程中，需重点强调分段函数的意义，确保学生明确每个分段中自变量取值范围的准确性与完整性，即需满足“不重不漏”的原则。【第四环节】课堂练习，巩固知识1.活动内容（1）某电信公司手机的A类收费标准如下：月租费12元，另外，每分钟通话的费用0.2元。B类收费标准如下：月租费0元，每分钟通话的费用0.25元。①若每月平均通话时间为300min，选择___类收费方式更省钱；②若本月的话费为62元，则采用___类收费标准的通话时间长；③请根据A类收费标准，写出话费y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的关系式。（2）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用。下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：计费档户年用气量x/m3单价/（元/m3）第一档0＜x≤3002.73第二档300＜x≤6003.28第三档x＞6003.82①当300＜x≤600时，写出燃气费y（单位：元）与x之间的关系式；②某户一年用气量是400m3，求该户这一年的燃气费；③某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量。2.活动目的此环节旨在帮助学生巩固和运用所学的知识和方法，掌握一次函数的应用。3.注意事项先让学生独立完成，然后在全班分享自己的解题方法和思路。通过学生互评，教师点评的方式，进一步加深学生对分段函数的理解和应用。教师应关注学生在解题过程中可能遇到的困难，并及时给予指导和帮助。【第五环节】课堂总结，反思升华1.活动内容（1）本节课你有哪些收获？还有什么困惑？请从知识、思想方法、研究经验等方面谈谈。（2）我们已知函数有三种表达方式，对于一次函数，你认为我们接下来可能深入研究什么内容？2.活动目的通过问题（1）的引导，使学生能够系统地回顾和整理本节课的学习内容，将新学到的知识整合到自己的知识体系中。通过设置问题（2）激发学生对一次函数研究的整体框架进行思考。引导学生结合函数的三种表达形式（表格法、图象法、关系式法）思考：后续可以从哪些角度深入研究一次函数？以此帮助学生明确学习方向，构建对一次函数的整体认知。3.注意事项鼓励学生采用多样化的表达方式，引导学生经历方案选择、分档计费等问题的探索过程，分享对一次函数的应用形成的新认识，进而加深对本节课内容的理解。鼓励学生进行自我评价，增强他们的学习自主性，进一步提升学生的语言表达能力。五、教学设计反思1.针对不同群体的差异化设计在本课时的教学中，教师致力于让学生从实际问题中抽象出一次函数，并运用一次函数来解决问题。对于不同学习基础和能力的学生群体，鼓励教师根据学生的实际情况进行灵活调整，真正落实差异化教学的理念。考虑到小学阶段已经初步认识了“分档计费”的计费规则，若学生对于一次函数和分档计费的原理理解较深入，例1讲解时可以省略“当220＜x≤300时”的条件，直接提出问题：写出水费y（单位：元）与x之间的关系式。若学生对于一次函数的理解不够深入，教师可以通过设计一系列引导问题，帮助学生逐步分析并解决实际问题。同时，对于例1的“尝试·思考”部分，教师可以根据学生熟悉的生活场景，列举生动的情境，以帮助学生更直观地理解分档计费的意义。2.着眼学生能力的发展性评价本课时，学生通过解决实际问题的过程，初步体会了函数思想，并逐步形成用函数观点认识现实世界的意识。但是，学生能力的发展是一个渐进且持续的过程。因此，在教学中，教师应鼓励学生不断丰富探索方式、表达方式和解决问题的方法，提高学生学数学、用数学的信心。在未来的教学中，教师可以设计更多具有探究性的问题，鼓励学生自主探究和探索如何运用函数思想去分析和解决实际问题。3.结合教学实际的个性化调整为了更有效地实施差异化教学和