广西壮族自治区河池市十校联考2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025年秋季学期⾼⼆年级校联体第次联考注意答题前先将⾃⼰的姓名准考证号填写在试卷和答题卡并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．请按题号顺序在答题卡上各题⽬的答题区域内作答写在试卷草稿纸和答题卡上的⾮答题区域均⽆效．选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并本卷主要考查内容：选择性必修第⼀册第⼀章~第⼆章⼀单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，⼀项是符合题⽬要求已知空间向量与共线，则 A.- B. C.- D.已知直线与，则与之间的距离为 A. B. C. D.下列说法中正确的是 任何向量都可以作为基向若是直线的⽅向向量，则也是直线的⽅向向在空间直⻆坐标系中，是坐标平⾯的⼀个法向若直线平⾯，则直线的⽅向向量平⾏于平⾯的法向若直线的倾斜⻆是直线的倾斜⻆的两倍，则实数 B. C. D.如图，已知四棱 平 ，底 是矩形， ，， 圆关于原点对称的曲线的⽅程为 A B.C. D.已知，两直线，若， 最⼩值 A B. C. D.如图，正⽅ 的棱⻓为6，点为的中点，点为底⾯上的动点，满⾜的点的轨迹⻓度为 A B. C. D.已知向 ，则下列结论正确的是 B. 已知实数满⾜，则下列选项正确的是 的最⼤的最⼤的最⼩的最⼩如图1，已知⻓⽅形中，为的中点，将沿折起，使得⾯平⾯，如图2所示，在四棱锥中，下列选项正确的是 和所成⻆点到直线的距离若点为线段上的动点，且的余弦值为，已知圆与圆有三条公切线， 已知向量，，，若，，共⾯，则x等 若直线与曲线有4个交点，则的取值范围 已 的三个顶 求边上的中线所在直线的⼀般式⽅程求边上的⾼所在直线的斜截式⽅程如图，在平⾏六⾯体中，以顶点为端点的三条棱⻓都是2，且它们彼此的夹⻆都求的值求如图，在四棱锥中，底⾯是边⻓为1的正⽅形，的体积为证明：直线平⾯求直线与平⾯所成⻆的正切值已知以点为圆⼼的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于当时，求直线的⽅程求证：为定值如图，在直四棱柱中，底⾯四边形为等腰梯形，（1）证明： 求平 与平 夹⻆的取值范围2025年秋季学期⾼⼆年级校联体第次联考注意答题前先将⾃⼰的姓名准考证号填写在试卷和答题卡并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．请按题号顺序在答题卡上各题⽬的答题区域内作答写在试卷草稿纸和答题卡上的⾮答题区域均⽆效．选择题⽤2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂⿊；⾮选择题⽤⿊⾊签字笔在答题卡上考试结束后，请将试卷和答题卡⼀并本卷主要考查内容：选择性必修第⼀册第⼀章~第⼆章⼀单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，⼀项是符合题⽬要求共线，A.-【答案】B.C.-D.【解【分析】利⽤空间向量共线的坐标表示计算即可【详解】因为空间向量与共线 故选已知直 ，则与之间的距离为 A. B. C. D.【答案】【解【分析】先通过计算得出两直线的平⾏关系，再利⽤两平⾏直线间的距离公式计算求【详解 直线直线的⽅程即为，直线的⽅程为，，设两条平⾏线间的距离故选下列说法中正确的是 任何向量都可以作为基向若是直线的⽅向向量，则也是直线的⽅向向在空间直⻆坐标系中，是坐标平⾯的⼀个法向若直线平⾯，则直线的⽅向向量平⾏于平⾯的法向【答案】【解【分析】根据零向量、基向量、直线⽅向向量、平⾯法向量的性质和定义依次判断各项的正误，即可得【详解】对于A，⾮零向量才能 基向量，故A错误对于B，若，则，不是直线的⽅向向量，故B错误；故不是坐标平⾯的⼀个法向量，故C错误对于D，若直线平⾯，则直线的⽅向向量平⾏于平⾯的法向量，故D正确4.的倾斜⻆是直 的倾斜⻆的两倍，则实数 【答案】【解的斜 ，设对应的倾斜⻆为， ，⼜的倾斜⻆，，使⽤⼆倍⻆的正切公式求解即可【详解】因为的，设对应的倾斜⻆为， 由题意可得，的倾故其，解 故选 【答案】【解【分析】结合题意，根据向量的线性运算即可求解【详解 所 所所以所故选圆关于原点对称的曲线的⽅程为 A. B.C. D.【答案】【解【分析】由圆的⼀般式的判定条件可求出；再利⽤两圆关于点对称，等价于两圆的圆⼼关于点对称，径不变，可求出所求圆的⽅程.【详解】由表示⼀个圆，因此需满⾜圆的判别条件：和的系数即，得⽅程解得或当时，⽅ 配⽅得，不表示实圆当时，⽅程为两圆关于点对称，等价于两圆的圆⼼关于点 故选7.已，两，， 的最⼩值 A.B.【答案】【解【分析】根据直线的位置关系列⽅程得关系，再根据基本不等式1的代换求解最值即可【详解】两直线 ， ，可 因为，所 当且仅当， 等号成⽴， 的最⼩值 故选如图，正⽅体的棱⻓为6，点为的中点，点为底⾯上的动点，⾜的点的轨迹⻓度为 B. C. D.【答案】【解【分析】建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，利⽤坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果【详解】分别 为轴，轴，轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，，由，所故选已知向 ，则下列结论正确的是 B.C. D.【答案】【解【分析】选项A，由坐标运算，先求出，从⽽求出；选项B，利⽤向量的数量积坐标运算求出；选项C，由坐标运算，求出和，从⽽得解；选项D，利⽤标运算，求出和，使⽤公 求解即可【详解】选项 ，故选项A正确选项B，，故选项B正确选项C，则与不垂直，故选项C错误； ，故选项D正确.故选已知实数满⾜，则下列选项正确的是 的最⼤的最⼤值 的最⼩的最⼩【答案】【解【分析】由表示圆上的点到定点距离的平⽅可得其最⼤值为可判断A项，由表示圆上的点与点的连线的斜率，设，由圆⼼到直线⼀点到直 的距离 倍，结合圆上任意⼀点到直 的距离的最⼩值（为圆⼼C到直的距离，进⽽可判断C项，对于D,，结⻆函数的图像与性质求解即可【详解】因所以C的圆，半径为对于A表示圆上的 到定距离的平⽅，如图所所以的最⼤值为，故A项错误对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示设，即 所 的最⼤值 ，故B项正确对于C项，表示圆上任意⼀点到直线的距离的倍，如图⼜圆⼼C到直线的距离所以的最⼩值为，故C项错误.对于D项，因，所所以 时的最⼩故选中的中点折平，如2所示，中，下列选项正确的是和所成⻆点到直 的距离若点为线段上的动点，且的余弦值为，【答案】【解【分析】建⽴空间直⻆坐标系，应⽤向量法逐项判断因为平⾯平⾯，平⾯平⾯，平所以平⾯以为原点，分别以过与垂直、平⾏的直线为轴、轴，以所在直线为轴建⽴空间直⻆坐标系，如图对于，所对于，所成，⼜，所对于，的对于D：设， 所 ，设平 的法向量 ， ，令， 设⼆⾯ ⼤⼩为， 已知圆与圆有三条公切线， 【答【解【分析】⾸先判断两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系，列式求解【详解】圆的圆⼼为，半径为圆，圆⼼，半径为，因为两圆有3条公切线，所以两圆相外切，所以，所以，已知向量，，，若，，共⾯，则x等 【答案】【解【分析】根据给定条件，利⽤空间共⾯向量定理求解作答 于是得，因 ，解得若直线与曲线有4个交点，则的取值范围 【答【解【分析先确定直线恒过的定点然后根据两点斜率公式及直线斜率的变化规律直线与抛物的位置关系，数形结合求解即可.【详解】直线恒过 且斜率存在的动直线，做出的图像，如 ，所 .解 舍 已知的三个顶点求边上的中线所在直线的⼀般式⽅程求边上的⾼所在直线的斜截式⽅程【答【解【分析（1）先求出边的中点，再由点斜式⽅程求直线⽅程即得，最后化成⼀般式⽅程（2利⽤两直线的垂直斜率之积等于求得边上的⾼的斜率再由点斜式⽅程求直线⽅程最后成斜截式⽅程即得.【⼩问1详解设边的中点为，由已知得，所以，所以边上的中线所在直线的⼀般式⽅程为【⼩问2详解如图，在平⾏六⾯体中，以顶点为端点的三条棱⻓都是2，且它们彼此的夹⻆都 的值求【答【解【分析（1）根据平⾏六⾯体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹⻆，再通过向量加减法，结合向量的数量积计算；（2）先⽤已知向量分别表示，再求出以及和，进⽽求解【⼩问1详解平⾏六⾯体所有棱⻓均为2，的模均为2，夹⻆均为，为与的中【⼩问2详解如图，在四棱锥中，底⾯是边⻓为1的正⽅形，的体积为证明：直线平⾯求直线与平⾯所成⻆的正切值【答（1）⻅解析【解【分析（1）根据线⾯垂直判定定理得出平⾯，利⽤向量法证明线⾯平⾏即可（2）利⽤向量法求出线⾯夹⻆的正弦值，进⽽【⼩问1详解因为四边是正⽅形，所平，所平 平，所，平 所以平⾯，所以两两垂直故以点为原点，直 分别为轴，轴，轴建⽴空间直⻆坐标系，如图所示因，所，因 ，所以点为的中点的法向量 ，令，则，所⼜，⼜平⾯，所以直线平⾯【⼩问2详解由（1）可知平 的法向 所 所已知以点为圆⼼的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于 时，求直线的⽅程（2）求为定值【答（2）证明⻅解析【解【分析（1）求出圆的⽅程，根据，得，分斜率存在和不存在两种情况求解即可 ，利⽤两点间距离公式列式化简即可，若直线斜率不存在求得，计算即可得证【⼩问1详解设圆的半径为 所以圆的⽅程为设圆⼼到直线的距离为，则 ，即①当直线与轴垂直时，易知符合题意②当直线与轴不垂直时，设直线的⽅程为，即 ，得 因为，所以点在圆内设，若直线斜率存在，设直线的⽅程为 ，化简得所 因为同理可得所以因 所以若直线斜率不存在时，则，则，综上，为定值，定值为如图，在直四棱柱中，底⾯四边形为等腰梯形，（1）证明：若直线与平所成⻆的正弦值为为线段上⼀点求到平⾯距离；求平⾯与平⾯夹⻆的取值范围【答（1）证明⻅解【解【分析（1）设，⽤余弦定理，列出⽅程求得，的中点，连接，得到分别证利⽤线⾯垂直的判定定理证得平，即可证得（2）以为原点，建⽴空间直⻆坐标系，设，求得和平⾯的法向量，结合向量的夹⻆公式，列出⽅程求得，再利⽤向量的距离（3）设，分【⼩问