重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题（复习讲义）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）

重难点培优05复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题

目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）

01知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1

02题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3

题型一复数加减运算的几何意义（★★★）...........................................................................................3

题型二复数的乘方运算（★★★★★）...................................................................................................4

题型三复数范围内方程的根（★★★★）...............................................................................................5

题型四复数中的新定义问题（★★★★★）...........................................................................................6

03实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................7

检测Ⅰ组重难知识巩固................................................................................................................................7

检测Ⅱ组创新能力提升................................................................................................................................8

一、复数代数形式的加减法运算的几何意义

1、复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作

z1abiz2cdiOZ1OZ2OZ1OZ2

平行四边形，则，即：

OZOZ1OZ2(a,b)(c,d)(ac,bd)

z(ac)(bd)i，即对角线OZ表示的向量OZ就是与复数(ac)(bd)i对应的向量.所以：复数

的加法可以按照向量的加法来进行.

2、复数减法的几何意义

复数向量

z2z1Z1Z2

3、|z1z2|(z1,z2C)的几何意义

在复平面内,设复数z1abi，z2cdi（a,b,c,dR）对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d),则

22又复数zz(abi)(cdi)(ac)(bd)i则

|Z1Z2|(ac)(bd).12.

22故|ZZ||zz|，即|zz|表示复数z,z在复平面内对应的点之间的

|z1z2|(ac)(bd),12121212

距离.

二、实系数一元二次方程

1、实系数一元二次方程ax2bxc0(a,b,cR,a0)中的b24ac为根的判别式，那么

bb24ac

（1）0方程有两个不相等的实根；

2a

b

（2）0方程有两个相等的实根；

2a

b4acb2i

（3）0方程有两个共轭虚根，

2a

求解复数集上的方程的方法：

①设zxyi(x,yR)化归为实数方程来解决．

②把z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．

③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．

2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

（1）当b24ac0时，方程的两个实根满足韦达定理

bc

xx，xx。

12a12a

（）当2时，方程的两个共轭虚数根、，则

2b4ac0x1x2

b

xxxx2Rex，

12111a

2

22

2b4acbc

xxxxx

12111

2a2aa

题型一复数加减运算的几何意义

【技巧通法·提分快招】

复数的几何意义及应用

（1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即.

（2）由于复�数、点、向量之�间建立了��一一对应的关系�，=因�+此�可i把�,复�∈数�、向⇔量�与�解,�析⇔几何��联系在一起，解题

时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

1．（23-24高三下·河南郑州·月考）复数65i与34i分别表示向量OA与OB，则表示向量BA的复数为

（）

A．39iB．28iC．9iD．9i

2．若复数z满足z1i12i，则z对应的点x,y，满足方程（）

2222

A．x1y15B．x1y15

2222

C．x1y15D．x1y15

3．（2025·福建漳州·一模）已知复数z112i，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且点Z1

与点Z2关于直线yx对称，则z1z2（）

A．2B．3C．5D．5

4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）设复数z在复平面内对应的点为Za,b（a，bR），

则下列选项正确的有（）

A．zz2aB．zza2b2

C．若z11，则点Z的轨迹的长度为πD．若z1z14，则点Z的轨迹为椭圆

5．（24-25高三下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量OA对应的复数z112i,OA绕点O逆时针旋转90后

对应的复数为z2，则z1z2.

6．（23-24高三下·山西长治·期末）已知复数z满足z1，则z25i的取值范围是．

≤

7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数z1满足|z11i|2，复数z2满足z2z21i，

则z1z2的最小值为．

题型二复数的乘方运算

【技巧通法·提分快招】

虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：

i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，

4n＋14n4n

从而对于任何n∈N＋，都有i＝i·i＝(i)·i＝i，

同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.

4n＋14n＋24n＋34n＋4

这就是说，如果n∈N＋，那么有i＝i，i＝－1，i＝－i，i＝1.

1－i1＋i1

由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.

1＋i1－ii

5

3i1

1．（24-25高三上·河南周口·期中）在xi2x（其中i是虚数单位）的展开式中，2的系数为（）

xx

A．39iB．39iC．40iD．40

172024

2．（24-25高三下·江苏常州·月考）设复数zi，则z的个位数字是（）

22

A．2B．4C．6D．8

1i

3．（24-25高三上·江西·期末）若复数z，则2z2023z2024=

1i

4．关于复数z1,z2有以下四个说法：

①z1z2z1z2②z1z2z1z2

nn*

③z1z1nN④z1z1z1z1

其中正确的序号为.

5．（2024·吉林长春·一模）若(3i)99xyi，则x2y.

题型三复数范围内方程的根

【技巧通法·提分快招】

求解复数集上的方程的方法

①设zxyi(x,yR)化归为实数方程来解决．

②把z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．

③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．

1．（2025·江西·二模）已知22i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2bxc0的一个根，则（）

A．b4，c8B．b4，c8

C．b4，c8D．b4，c8

2．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程3x22x10的一个复数根，则z（）

1326

A．B．C．D．

3333

2ππ

3．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数zcosisin和复数z为方程2x2bxc0b,cR的两根，

1332

则下列说法正确的是（）

A．bc1B．z1z21

23

C．z2也为该方程的根D．z1与z2也为方程x1的根

4．已知复数z是方程x2x10的一个根，则z31等于（）

1333

A．2B．0C．iD．i

2222

5．在复数范围内，方程x25x60的解的个数为（）

A．2B．4C．6D．8

32

6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程axbxcxd0在复数集内有3个根x1,x2,x3，

bcd32

则x1x2x3，x1x2x1x3x2x3，x1x2x3．设x1,x2,x3是方程x2xx10的3个根，则

aaa

111

222（）

x1x2x3

A．4B．3C．3D．4

题型四复数中的新定义问题

abzi

1．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算adbc，则满足0（i为虚数单位）的复数z在复

cd1i2i

平面内对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数zabi（a，bR，z为其共轭复数），定义：zabi.

则对任意的复数zabi，有下列命题：p1：|z||z||z|；p2：zz0；p3：zzzz；p4：若b0，

z

则为纯虚数.其中正确的命题个数为（）

z

A．1B．2C．3D．4

3．定义复数的大小关系：已知复数z1a1b1i，z2a2b2i，a1，a2，b1，b2R．若a1a2或（a1a2且

zz2

b1b2），称z1z2．若a1a2且b1b2，称12．其余情形均为z1z2．复数u，v，w分别满足：uu10，

2

31，，则下列各式一定错误的是（）

vw11

2

A．uwvB．uvwC．vuwD．wuv

4．（2025·青海海南·模拟预测）（多选题）定义复数运算：z1z2z1z2z11z2．若z0z3i，

且z0i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A．z的虚部为iB．z的模为2

C．z1iD．z在复平面内对应的点位于第二象限

5．（2025·山东·模拟预测）（多选题）定义Dzzab，Dz1,z2||z1z2||.其中复数zabi（a、bR，

i是虚数单位），z1，z2C，则下列命题中，真命题有（）

A．对任意zC，都有Dz0

B．若z是复数z的共轭复数，则DzDz恒成立

、

C．若Dz1Dz2z1z2C，则z1z2

、z、

D．对任意z12z3C，结论Dz1,z3Dz1,z2Dz2,z3恒成立

6．一般地，（多选题）对于复数zabi（i为虚数单位，a，bR），在平面直角坐标系中，设

zOZrr0，经过点Z的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知arcos，brsin，因

此zrcosisin，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所

研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合02π的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足

z1r，r0,1，Rez为z的实部，为z的辐角的主值，则（）

A．z2024i的最大值为r2025

B．z2024i的最小值为2025r

C．cos1r2

112

D．Re1r

zRez

检测Ⅰ组重难知识巩固

yx

1．在复平面内，复数z1,z2对应的点关于直线对称，若z12i，则z213i（）

A．29B．5C．5D．1

2

2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2x20的两个根分别为x1，x2，则x12x2（）

A．1B．5C．7D．10

1

3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知集合A{z|zin,nN}，则A的元素个数为（）

in

A．1B．2C．3D．4

2

4．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选题）已知z1,z2为方程x10x400的根，则（）

A．z1z210B．z1z210

zz

C．z1z2D．12

5．（2024·重庆·三模）（多选题）已知复数z12i，复数z满足zz11，复数z的共轭复数为z，则（）

2024

A．z121B．z1i(R)的最小值为2

C．z1z13D．z的最大值为51

6．（2024·河北沧州·一模）（多选题）在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个

定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，

于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，

在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示复数

的“大小”，例如：[12i]5，[12i]5，[1]1，[3]3，[12i]5，则下列说法正确的是（）

A．[z]1在复平面内表示一个圆

B．若zC，则方程[z]21无解

C．若z1,z2为虚数，且z1z2，则z1z20

D．复平面内，复数z对应的点在直线yx4上，则|[z]|最小值为22

7．（2024·云南曲靖·二模）已知xC，若x2x10，则1x.

8．（2024·广东广州·模拟预测）复数z12i3i22022i20212023i2022的虚部为.

9．（2025·贵州遵义·模拟预测）在复平面上，复数z对应的点为Z，且复数z满足的方程为

z2z225．

(1)判断点Z的轨迹是什么曲线？并说明理由；

2

(2)记点Z的轨迹为曲线E，Pz是E上任意一点，定义变换R:wz，变换后的点Ww形成曲线E1，再

将曲线E1沿向量m1,0平移得到曲线E2．

（i）求曲线E2在平面直角坐标系下的方程；

,,

（ii）已知A4,0，B10，设过点B10的直线l与曲线E2交于P，Q两点（异于点A），三角形APQ的

外心为N．设直线l的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，求k1k2的值．

检测Ⅱ组创新能力提升

2π2π

1．（2024·广东广州·模拟预测）已知复数zcosisin，则z1z21z20221（）

20232023

A．2022B．2023C．2022D．2023

nn1

2．已知Pzanzan1za1za0an0,aiR,i0,1,,n是定义在复数集上的n次实系数多项式

（n是正整数），给出下列两个命题：

①如果虚数z是Pz的根，即Pz0，那么z也是Pz的根，即Pz0；

②Pz可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积；

则下列说法正确的是（）

A．命题①②都是真命题B．命题①②都是假命题

C．命题①是真命题，命题②是假命题D．命题①是假命题，命题②是真命题

3．（2024·湖北襄阳·二模）（多选题）已知复数z1,z2满足z14iz15i，z212i2（i为虚数单位），

22

x1,x2是方程2x3axaa0(aR)在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（）