重难点培优05 复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题（复习讲义）2026年高考数学一轮复习讲练测（解析版）

重难点培优05复数中的几何意义、乘方、复数方程及新定义问题

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01知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1

02题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3

题型一复数加减运算的几何意义（★★★）...........................................................................................3

题型二复数的乘方运算（★★★★★）...................................................................................................6

题型三复数范围内方程的根（★★★★）...............................................................................................9

题型四复数中的新定义问题（★★★★★）..........................................................................................11

03实战检测・分层突破验成效........................................................................................................16

检测Ⅰ组重难知识巩固................................................................................................................................16

检测Ⅱ组创新能力提升...............................................................................................................................21

一、复数代数形式的加减法运算的几何意义

1、复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作

z1abiz2cdiOZ1OZ2OZ1OZ2

平行四边形，则，即：

OZOZ1OZ2(a,b)(c,d)(ac,bd)

z(ac)(bd)i，即对角线OZ表示的向量OZ就是与复数(ac)(bd)i对应的向量.所以：复数

的加法可以按照向量的加法来进行.

2、复数减法的几何意义

复数向量

z2z1Z1Z2

3、|z1z2|(z1,z2C)的几何意义

在复平面内,设复数z1abi，z2cdi（a,b,c,dR）对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d),则

22又复数zz(abi)(cdi)(ac)(bd)i则

|Z1Z2|(ac)(bd).12.

22故|ZZ||zz|，即|zz|表示复数z,z在复平面内对应的点之间的

|z1z2|(ac)(bd),12121212

距离.

二、实系数一元二次方程

1、实系数一元二次方程ax2bxc0(a,b,cR,a0)中的b24ac为根的判别式，那么

bb24ac

（1）0方程有两个不相等的实根；

2a

b

（2）0方程有两个相等的实根；

2a

b4acb2i

（3）0方程有两个共轭虚根，

2a

求解复数集上的方程的方法：

①设zxyi(x,yR)化归为实数方程来解决．

②把z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．

③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．

2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

（1）当b24ac0时，方程的两个实根满足韦达定理

bc

xx，xx。

12a12a

（）当2时，方程的两个共轭虚数根、，则

2b4ac0x1x2

b

xxxx2Rex，

12111a

2

22

2b4acbc

xxxxx

12111

2a2aa

题型一复数加减运算的几何意义

【技巧通法·提分快招】

复数的几何意义及应用

（1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即.

（2）由于复�数、点、向量之�间建立了��一一对应的关系�，=因�+此�可i把�,复�∈数�、向⇔量�与�解,�析⇔几何��联系在一起，解题

时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

1．（23-24高三下·河南郑州·月考）复数65i与34i分别表示向量OA与OB，则表示向量BA的复数为

（）

A．39iB．28iC．9iD．9i

【答案】D

【分析】根据BAOAOB及向量的复数表示，运算得到答案.

【详解】复数65i与34i分别表示向量OA与OB，

因为BAOAOB，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i.

故选：D.

2．若复数z满足z1i12i，则z对应的点x,y，满足方程（）

2222

A．x1y15B．x1y15

2222

C．x1y15D．x1y15

【答案】B

【分析】利用复数的模长公式化简可得答案.

【详解】由题意可得zxyix,yR，则z1ix1y1i，

22222

由z1i12i可得x1y1122，即x1y15.

故选：B.

3．（2025·福建漳州·一模）已知复数z112i，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且点Z1

与点Z2关于直线yx对称，则z1z2（）

A．2B．3C．5D．5

【答案】A

【分析】先根据复数几何意义得Z1坐标，再根据对称得到Z2坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点

间距离公式得结果.

【详解】因为z112i，所以点Z1(1,2).

因为点Z1与点Z2关于直线yx对称，所以Z2(2,1).

22

所以z1z2Z1Z2(12)(21)2.

故选:A.

4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）设复数z在复平面内对应的点为Za,b（a，bR），

则下列选项正确的有（）

A．zz2aB．zza2b2

C．若z11，则点Z的轨迹的长度为πD．若z1z14，则点Z的轨迹为椭圆

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出复数z，再结合复数运算及几何意义逐项判断.

【详解】依题意，zabi,a,bR，

对于A，zabi，则zz2a，A正确；

对于B，zz(abi)(abi)a2b2，B正确；

对于C，z11表示点Z与点(1,0)的距离为1，其轨迹是以点(1,0)为圆心1为半径的圆，

则点Z的轨迹的长度为2π，C错误；

对于D，z1z14表示点Z与定点(1,0),(1,0)的距离和为4（大于两定点间距离）

则点Z的轨迹为椭圆，D正确.

故选：ABD

5．（24-25高三下·安徽滁州·期中）在复平面内，向量OA对应的复数z112i,OA绕点O逆时针旋转90后

对应的复数为z2，则z1z2.

【答案】10

【分析】利用模相等和对应向量垂直列方程组求出z2，然后计算可得.

【详解】由题意可设z2abi(a0,b0),z2对应的向量为a,b,z1对应的向量为1,2，

由旋转性质得z2和z1模相等，且它们对应的向量垂直，

a2b25,a2,

则解得

a2b0,b1,

z22i,z1z212i2i3i,z1z210.

故答案为：10

6．（23-24高三下·山西长治·期末）已知复数z满足z1，则z25i的取值范围是．

【答案】2,4

【分析】利用复数的几何意义，将z25i转化为点2,5到圆上的距离问题，进而利用圆心0,0到

点2,5距离可得z25i的取值范围.

【详解】z1表示z对应的点Z1是以原点O为圆心，半径r1的圆上的点,

z25iz25i的几何意义表示圆O上的点Z1和Z22,5之间的距离，

2

于是，z25i的最大值为2，

OZ2r020514

2

最小值为2，

OZ2r020512

所以z25i的取值范围是2,4.

故答案为：2,4.

≤

7．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数z1满足|z11i|2，复数z2满足z2z21i，

则z1z2的最小值为．

21

【答案】/2

22

【分析】设z1a1b1i，a1,b1R，z2a2b2i，a2,b2R，由题设易得z1对应的点a1,b1的轨迹是以1,1

为圆心，以r2为半径的圆面（包括边界）内，z2对应的点a2,b2是直线xy10上一点，进而结合

圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可.

【详解】设z1a1b1i，a1,b1R，

则z11ia1b1i1ia11b11i，

由≤，得22，

|z11i|2a11b112

22

即a11b112，

则复数z1对应的点a1,b1的轨迹是以1,1为圆心，以r2为半径的圆面（包括边界）内，

设z2a2b2i，a2,b2R，则z21i=a2b2i1ia21b21i，

由zz1i，得2222，

22a2b2a21b21

整理得，a2b210，

则复数z2对应的点a2,b2是直线xy10上一点，

又z1z2a1b1ia2b2ia1a2b1b2i，

所以22表示点a,b与点a,b之间的距离，

z1z2a1a2b1b21122

11132

因为圆心1,1到直线xy10的距离为d，

22

322

所以z1z2的最小值为dr2.

22

2

故答案为：.

2

题型二复数的乘方运算

【技巧通法·提分快招】

虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：

i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，

4n＋14n4n

从而对于任何n∈N＋，都有i＝i·i＝(i)·i＝i，

同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.

4n＋14n＋24n＋34n＋4

这就是说，如果n∈N＋，那么有i＝i，i＝－1，i＝－i，i＝1.

1－i1＋i1

由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i.

1＋i1－ii

5

3i1

1．（24-25高三上·河南周口·期中）在xi2x（其中i是虚数单位）的展开式中，2的系数为（）

xx

A．39iB．39iC．40iD．40

【答案】C

【分析】根据二项展开式中通项的特征即可求解.

5k3

i5ki5k

【详解】由二项式定理得，的通项公式为kk5kk2，

2xTk1C52xC52ix

xx

3531

由5-k=-得，k5，由5-k=得k3，

2222

5511

∴50522，32322，

T6C52ixixT4C52ix40ix

11

51

22

3

∵22，i40ix40x，

xixix

∴1的系数为

x240i.

故选：C.

172024

2．（24-25高三下·江苏常州·月考）设复数zi，则z的个位数字是（）

22

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

20244256n

【分析】根据条件，得z2，再利用2nN的个位数以4为周期，即可求解.

22

2024

17172024

【详解】因为，则，又202410244256，

ziz2zz222

2222

因为212,22224,23248,242816，

2516232,2623264,27264128,282128256,，

则2nnN的个位数以4为周期，所以z2024的个位数字是6，

故选：C.

1i

3．（24-25高三上·江西·期末）若复数z，则2z2023z2024=

1i

【答案】5

【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果.

1i(1i)2

【详解】由zi，

1i(1i)(1i)

20232024

所以2z2023z20242i2023i202412i，故2zz5.

故答案为：5

4．关于复数z1,z2有以下四个说法：

①z1z2z1z2②z1z2z1z2

nn*

③z1z1nN④z1z1z1z1

其中正确的序号为.

【答案】②④

【分析】举特殊值代入可判断A、C，设z1abi，z2cdia,b,c,dR代入化简可判断B，设

z1abia,bR代入化简可判断D.

【详解】对于①，取z11i，z21i，则z1z222，z1z22，

故z1z2z1z2，①错误．

对于②，设z1abi，z2cdia,b,c,dR，则z1z2acbdi，z1z2acbdi，

z1abi，z2cdi，则z1z2acbdi，所以z1z2z1z2，故②正确．

222

对于③，不妨取z11i，n2，则z11i2i，z12，z12，

22nn*

所以z1z1，故z1z1nN不恒成立，③错误．

22

对于④，设z1abia,bR，则z1abi，所以z1z1ab，

22

所以z1z1abiabiabz1z1，④正确．

故答案为：②④．

5．（2024·吉林长春·一模）若(3i)99xyi，则x2y.

【答案】2100

【分析】利用复数的运算法则求解.

3

31

【详解】由于，

ii

22

9933

3

993131

则(3i)2i299i299i33299i32i=299i

2222

所以x0，y299，即x2y2100.

故答案为：2100.

31

【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若zi，则z3i；

22

13

若i，则31，2，120.

22

题型三复数范围内方程的根

【技巧通法·提分快招】

求解复数集上的方程的方法

①设zxyi(x,yR)化归为实数方程来解决．

②把z看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．

③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．

1．（2025·江西·二模）已知22i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2bxc0的一个根，则（）

A．b4，c8B．b4，c8

C．b4，c8D．b4，c8

【答案】C

【分析】根据虚根成对原理22i也是方程的一个根，利用韦达定理计算可得.

【详解】因为22i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2bxc0的一个根，

所以22i也是方程的一个根，

22i22ib

则，所以b4，c8.

22i22ic

故选：C

2．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程3x22x10的一个复数根，则z（）

1326

A．B．C．D．

3333

【答案】B

【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.

【详解】由题，因为44380，所以z和z是方程3x22x10的两个根，

1213

所以zz，即z，所以z.

333

故选：B.

2ππ

3．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数zcosisin和复数z为方程2x2bxc0b,cR的两根，

1332

则下列说法正确的是（）

A．bc1B．z1z21

23

C．z2也为该方程的根D．z1与z2也为方程x1的根

【答案】D

【分析】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出z1,z2，再利用韦达定理求出b,c，可判

断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用x31x1x2x10判断D选项.

13

【详解】由题可得，复数zi，

122

13

又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则zi，

222

13131313

则，zzii1，

z1z2ii112

22222222

bc

则由韦达定理可知zz1，zz1，

122122

所以bc2，故A,B错误；

2

1313

又2，则z2z且z2z，故错误；

z2ii2122C

2222

2

由于bc2，则z1与z2为方程xx10的两根，

323

因为x1x1xx10，则z1与z2也为方程x1的根，故D正确.

故选：D．

4．已知复数z是方程x2x10的一个根，则z31等于（）

1333

A．2B．0C．iD．i

2222

【答案】A

【分析】根据条件可得z2z1，z2z1，代入z31可得结果.

【详解】∵复数z是方程x2x10的一个根，

∴z2z10，故z2z1，z2z1，

∴z31z2z1z1z1z2z1112.

故选：A．

5．在复数范围内，方程x25x60的解的个数为（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

【分析】设xabia,bR，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得a,b，即可得解.

2

【详解】设xabia,bR，那么原方程即为abi5a2b260，

a2b25a2b260,a2,a3,a0,

得故或或

2ab0,b0,b0,b1.

所以x2,x3,xi，故方程x25x60的解的个数为6.

故选：C

32

6．（24-25高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程axbxcxd0在复数集内有3个根x1,x2,x3，

bcd32

则x1x2x3，x1x2x1x3x2x3，x1x2x3．设x1,x2,x3是方程x2xx10的3个根，则

aaa

111

222（）

x1x2x3

A．4B．3C．3D．4

【答案】B

【分析】根据给定条件，列式代入计算即得.

x1x2x32

32

【详解】由x1,x2,x3是方程x2xx10的3个根，得x1x2x1x3x2x31，

x1x2x31

111x2x2x2x2x2x2

2331122222

所以222222(x1x2x1x3x2x3)2(x1x2x3x1x2x3x1x2x3)

x1x2x3x1x2x3

12x1x2x3(x1x2x3)12123.

故选：B

题型四复数中的新定义问题

abzi

1．（2024·甘肃兰州·二模）定义运算adbc，则满足0（i为虚数单位）的复数z在复

cd1i2i

平面内对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【分析】由已知运算和复数的运算化简即可.

【详解】由题意可得2izi1i0，

i1iii1i11

即zi，

2i2ii22

11

所以复数z在复平面内对应的点为,，在第二象限，

22

故选：B.

2．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数zabi（a，bR，z为其共轭复数），定义：zabi.

则对任意的复数zabi，有下列命题：p1：|z||z||z|；p2：zz0；p3：zzzz；p4：若b0，

z

则为纯虚数.其中正确的命题个数为（）

z

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】A选项，利用复数模长公式计算出|z||z||z|；

B选项，利用复数加法法则计算得到zz0；

C选项，利用复数乘法法则计算得到zzzz；

za2b22abiz

D选项，利用复数除法法则计算得到，当b0，此时不一定是纯虚数.

za2b2a2b2z

【详解】zabi，zabi，zabi，

22

则|z|a2b2，|z|a2ba2b2，|z|ab2a2b2，

故|z||z||z|，p1正确；

zzabi+abi0，p2正确；

zzabiabia2b2i2a2b2，

zzabiabib2i2a2a2b2，

则zzzz，p3错误；

zabiabiabia22abib2i2a2b22abia2b22abi

，

zabiabiabia2b2i2a2b2a2b2a2b2

z

若b0，且a0，此时1为实数，

z

故p4错误；

故选：B

3．定义复数的大小关系：已知复数z1a1b1i，z2a2b2i，a1，a2，b1，b2R．若a1a2或（a1a2且

2

b1b2），称z1z2．若a1a2且b1b2，称z1z2．其余情形均为z1z2．复数u，v，w分别满足：uu10，

2

31，，则下列各式一定错误的是（）

vw11

2

A．uwvB．uvwC．vuwD．wuv

【答案】B

【分析】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可.

【详解】设复数uabia,bR，若b0，则uaR，则a2a10无解，

所以a,bR,b0，将uabi代入u2u10，可得，

22

a2b22abiabi10，即aba12a1bi0，

1

22a

aba10213

所以，解得，所以ui，

2a1b0322

b

2

2

314233

又因为，

v1

242

设wxyix,yR，所以w1(x1)2y21，

所以(x1)2y21，所以复数wxyi对应的点在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上，

所以2x0,1y1，从而v最大，故B错误；

1313

若x，y，则wi，

2222

13131313

所以当ui，wi或ui，wi

22222222

时uw，则vuw，C正确；

1

若x0，此时uw，则uwv，A正确；

2

1

若x，此时uw，则vuw，D正确；

2

故选：B.

4．（2025·青海海南·模拟预测）（多选题）定义复数运算：z1z2z1z2z11z2．若z0z3i，

且z0i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A．z的虚部为iB．z的模为2

C．z1iD．z在复平面内对应的点位于第二象限

【答案】BCD

【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到z1i，再对各个选项

逐一分析判断，即可求解.

【详解】设zabi,a,bR，由题意知iabi1iabi3i，

a2b3

即a2bbi3i，则，解得a1,b1，所以z1i，

b1

对于选项A，因为z1i的虚部为1，所以A错误；

对于选项B，因为z(1)2122，所以B正确；

对于选项C，因为z1i，故C正确，

对于选项D，因数z1i在复平面内对应的点1,1在第二象限，所以D正确，

故选：BCD.

5．（2025·山东·模拟预测）（多选题）定义Dzzab，Dz1,z2||z1z2||.其中复数zabi（a、bR，

i是虚数单位），z1，z2C，则下列命题中，真命题有（）

A．对任意zC，都有Dz0

B．若z是复数z的共轭复数，则DzDz恒成立

、

C．若Dz1Dz2z1z2C，则z1z2

、z、

D．对任意z12z3C，结论Dz1,z3Dz1,z2Dz2,z3恒成立

【答案】BD

【分析】根据题中所给定义，结合复数的运算法则，逐一分析判断，即可得答案.

【详解】对于A，根据定义，当z0时，Dz0，故A错误；

对于B，由题意得zabi，所以DzDzab，故B正确；

、

对于C，若Dz1Dz2z1z2C，则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到z1z2，

故C错误；

对于D，设z1abi，z2cdi，z3mni，则Dz1,z3z1z3ambniambn，

Dz1,z2z1z2acbdiacbd，

Dz2,z3z2z3cmcnicmdn，

又amaccmaccm，bnbddnbddn，

所以ambnaccmbddn，

即Dz1,z3Dz1,z2Dz2,z3，故D正确.

故选：BD.

6．（多选题）一般地，对于复数zabi（i为虚数单位，a，bR），在平面直角坐标系中，设

zOZrr0，经过点Z的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知arcos，brsin，因

此zrcosisin，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所

研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合02π的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足

z1r，r0,1，Rez为z的实部，为z的辐角的主值，则（）

A．z2024i的最大值为r2025

B．z2024i的最小值为2025r

C．cos1r2

112

D．Re1r

zRez

【答案】ABD

【分析】根据复数的几何意义确定点Z的轨迹，结合z2024i的几何意义确定其最大值，判断A，求

z2024i的最小值判断B，由图象确定的范围，结合余弦函数性质证明cos1r2，判断C，结合复

数运算及cos1r2，判断D.

【详解】因为z1r，r0,1，复数z在复平面的对应的点为Z,

所以点Z在以1,0为圆心、以r为半径的圆上或圆内.

对于选项A，B，由复数的几何意义可得z2024i表示点Z与0,2024的距离，

又点0,2024到点1,0的距离为2025，

所以z2024i的最大值为r2025，A正确，

z2024i的最小值为2025r，B正确，

对于C，过点O作以C1,0为圆心，r为半径的圆的切线，设切点为A,B，

设AOC0，则00或2π02π，

2

所以coscos0，所以cos1r，所以C错误.

1x12

对于D，设zxyix,yR，有Recos（其中是z的辐角的主值），

zx2y2x

1121212

由于2，所以Recos1r1r，所以D正确.

cos1rzxxRez

故选：ABD.

检测Ⅰ组重难知识巩固

yx

1．在复平面内，复数z1,z2对应的点关于直线对称，若z12i，则z213i（）

A．29B．5C．5D．1

【答案】C

yx

【分析】由z1,z2关于直线对称求出z2，再根据复数模的定义计算即可．

【详解】因为z12i，所以其对应点为2,1，

2,1关于直线yx对称的点为1,2，则z212i，

所以22，

z213i12i13i2i215

故选：C．

2

2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2x20的两个根分别为x1，x2，则x12x2（）

A．1B．5C．7D．10

【答案】D

【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.

2

【详解】根据题意可得x11i2，

x1i，即x1i，

当x11i，x21i时，x12x23i，

22，

x12x21310

当x11i，x21i时，x12x23i，

22，

x12x21310

综上，x12x210.

故选：D.

n1

3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知集合A{z|zi,nN}，则A的元素个数为（）

in

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.

11

【详解】当n1时，ziii0，当n2时，zi2112，

ii2

111

当n3时，zi3i0，当n4时，zi4112，

i3ii4

1111

当n5时，zi5iii0，当n6时，zi6i2112，

i5ii6i2

11111

当n7时，zi7i3i0，当n8时，zi8i4112，

i7i3ii8i4

L，可知以上四种情况循环，故集合A{0,2,2}，A的元素个数为3.

故选：C

2

4．（2024·宁夏吴忠·一模）（多选题）已知z1,z2为方程x10x400的根，则（）

A．z1z210B．z1z210

zz

C．z1z2D．12

【答案】ACD

【分析】设z1abi,z2cdi，根据复数与一元二次方程根的关系，可得a,b,c,d的关系，即可求得对应

a,b,c,d的值，逐项分析即可得结论.

【详解】设z1abi,z2cdi，

22

因为z1,z2为方程x10x400的根，且Δ104400，则b0,d0，

所以z1z2acbdi10,z1z2acbdbcadi40，即

ac10,bd0,acbd40,bcad0，

解得ac5,bd15或ac5,bd15，

所以，则；

z1abi5bi,z25di5biz1z2

22

22，所以zz，故正确，错误

z1515210,z251521012ACDB.

故选：ACD.