第2章 实数 单元测试5（解析版）

2/2第二章实数·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在数轴上手掌处表示的数可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查实数与数轴的对应关系以及无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．【详解】解：根据题意得：在数轴上手掌处表示的数大于和小于，∵，∴，故C，D选项不符合题意；∴，故A选项不符合题意；B选项符合题意；故选：B．2．下列说法中正确的有（

）A．4的平方根是 B．的算术平方根是C．负数没有立方根 D．带根号的数都是无理数【答案】A【分析】本题考查平方根，立方根和无理数，根据平方根、算术平方根、立方根及无理数的定义逐一判断各选项的正误即可．【详解】A、4的平方根是，正确；B、的算术平方根是3，错误；C、负数也有立方根，负数的立方根仍为负数，如的立方根是，错误，D、带根号的数都是无理数，错误，例如为有理数，故带根号的数不一定是无理数．故选：A．3．若是整数，则正整数n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值．【详解】解：∵，∴，∴，∵是整数，且n是整数，则是完全平方数，∴n的最小值为：6．故选：D．4．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的运算根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．【详解】解：A.，所以A选项不符合题意；B.，所以B选项不符合题意；C.，所以C选项不符合题意；D.，所以D选项符合题意；故选：D5．下列各根式中，是同类二次根式的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】本题考查同类二次根式的概念，判断同类二次根式需化简为最简二次根式后比较被开方数，对各选项逐一判断即可．【详解】A、已是最简，，所以A选项不是同类二次根式；B、已是最简，，化简后被开方数均为2，所以B选项是同类二次根式；C、，，被开方数分别为和，所以C选项不是同类二次根式；D、和被开方数不同，所以D选项不是同类二次根式；故选：B．6．有下列实数：，，，0，，，0.31（31循环），0.1010010001…（每两个1之间多一个0），其中无理数的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．首先计算立方根，然后根据无理数的定义，分别进行判断，即可得到答案．【详解】，∴其中无理数有，，0.1010010001…（每两个1之间多一个0），共3个．故选：C．7．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵∴∴．故选A．8．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．【详解】解：的算术平方根是，∵是有理数，∴取立方根为，∵是有理数，∴取算术平方根为，∵是无理数，∴．故选：A．9．规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查算术平方根及立方根，根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可．【详解】解：若是“最美实数”，则有或，若，解得，若，解得，综上，a的值为或，故选：D．10．用表示不超过的最大整数，例如：．已知，，则（）A．4 B．2 C．-4 D．2【答案】A【分析】本题考查新定义、无理数的估算，二次根式的混合运算，先估算出，根据题中新定义规定可求得和，进而求出的值，然后代入计算可得答案．【详解】解：∵，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．比较大小：．【答案】>【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，∴．故答案为：>．12．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为．【答案】2【分析】本题考查了同类二次根式的定义，同类二次根式的被开方数相等，据此列出方程求解．【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式，，解得，故答案为：2．13．如图，正方形的面积为，点表示的数为，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点（点在点的左侧），则点表示的数为．【答案】/【分析】根据正方形的面积公式求出，从而求出，设点表示的数为，然后根据两点间的距离公式列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．【详解】解：由题意可知：，正方形的面积为，，设点表示的数为，，解得：，点表示的数为：，故答案为：．14．如图，从一个大正方形中裁去两个面积分别为和的小正方形，已知，则留下的阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查了平方差公式的应用，二次根式的运算，由图可知阴影部分是两个长为，宽为的长方形，利用平方差公式求出的值即可求解，正确识图是解题的关键．【详解】解：由图可知，阴影部分是两个长为，宽为的长方形，∴阴影部分的面积，故答案为：．15．有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为．【答案】2【分析】本题主要考查了实数的运算，无理数的估算，三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此可得，再证明即可得到答案．【详解】解：由三角形的三边关系可知，，即．∵，∴，，且，∴，∴，为整数，的值为2，故答案为：2．16．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则；若与都是“完美实数”，则的平方根为．【答案】或0或【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键．根据算术平方根，立方根的计算方法求解即可．【详解】解：一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”，∵的算术平方根是，的立方根是，∴这个实数可以是，∴当时，，当时，，∴或；若与都是“完美实数”，∴或或或，解得，或或或，∴对应的或或或，∴对应的平方根为或或或，综上所述，的平方根为或；故答案为：①或；②或．解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．计算：(1)；(2)【答案】(1)；(2)【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．先化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；先算乘除，化为最简二次根式后再算加减．【详解】（1）解：；（2）解：18．（1）计算：（2）解方程：．【答案】（1）4；（2）或【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的混合运算、利用平方根解方程，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得；（2）先将方程变形为，再利用平方根解方程即可得．【详解】解：（1）原式．（2），，，，或，或．19．把下列各数填入相应的集合内（填序号）．①，②，③，④，⑤，⑤0，⑦，⑧（每相邻两个1之间0的个数逐次加．(1)无理数集合{

…}；(2)分数集合{

…}；(3)负实数集合{

…}．【答案】(1)②③⑦⑧(2)①④(3)①②⑤⑦【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键．（1）无理数是无限不循环小数，据此可得答案；（2）分数是有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案；（3）负实数是小于0的无理数和有理数的统称，据此可得答案．【详解】（1）解：，无理数集合{②③⑦⑧}；（2）解：分数集合{①④}；（3）解：负实数集合{①②⑤⑦}．20．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是3．(1)直接写出：，；(2)求的平方根；(3)若的整数部分是，小数部分是，求的值．【答案】(1)1，3(2)(3)【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）根据立方根、算术平方根的定义即可求解；（2）根据平方根的定义即可求解；（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．【详解】（1）解：∵且的立方根是它本身，，∵的算术平方根是3，∴，，故答案为：1，3．（2），，的平方根为．（3），，，，的整数部分为1，小数部分为，，则的值为．21．请观察图形并分析下列各式，然后解答问题．

……(1)请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：，；(2)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？(3)求出的值．【答案】(1)，(2)它是第32个三角形(3)【分析】本题考查了勾股定理，图形的规律探索，二次根式的性质，二次根式的乘法，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理和三角形的面积求解即可；（2）根据（1）中的规律计算即可；（3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案．【详解】（1）解：根据题中反映的规律可得：，则；故答案为：n；；（2）解：，一个三角形的面积是，，∴，故它是第32个三角形；（3）解：=．22．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形．(1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由．(2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长．【答案】(1)此三角形是奇异三角形，理由见解析；(2)或或【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）可证明，据此可得结论；（2）设第三边为x，分边长为4的边是最长边和边长为x的边是最长边两种情况，根据奇异三角形的定义建立方程求解即可．【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下：∵，∴，∴此三角形是奇异三角形；（2）解：设第三边为x，当边长为4的边是最长边时，∵是奇异三角形，∴或，解得或（舍去）；或（舍去）；当边长为x的边是最长边时，∵是奇异三角形，∴，解得或（舍去）；综上所述，第三边的长为或或．23．我们知道，因此，像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以上各小题．(1)计算：；(2)比较：与的大小；(3)化简：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．（1）分子、分母同时乘以，进行分母有理化即可求解；（2）根据材料提示，先根据分母有理化化简，再将两数作差进行比较即可；（3）根据材料提示，分别进行分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：∴；（3）解：．24．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：______；(2)写出第个等式：______；（用含的等式表示）(3)根据上面的结论计算：【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键．（1）结合第1至第4个等式，即可得出答案；（2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案；（3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案．【详解】（1）解：根据题意，可得；故答案为：；（2）根据题意，可得第个等式：；故答案为：；（3）原式．25．定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根．(1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由；(2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的