2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学建模在实践中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学建模在实践中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述数学建模的主要步骤及其在解决实际问题中的作用。二、某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3元，每单位产品B的利润为2元。生产每单位产品A需要消耗劳动力2个单位，消耗原材料3个单位；生产每单位产品B需要消耗劳动力3个单位，消耗原材料2个单位。公司每周可用的劳动力总量为150个单位，原材料总量为180个单位。请建立此问题的线性规划模型，目标是为公司制定一个利润最大的生产计划。三、已知某城市人口增长服从Logistic模型。假设该城市当前人口为50万，最大人口容量估计为200万，人口增长率在当前水平下为每年10%。请建立该城市人口增长的微分方程模型，并求解该模型，预测10年后该城市的人口数量。四、假设某商场销售一种商品，其需求量（单位：件）与价格（单位：元）之间的关系近似为线性关系，具体为：需求量D（元）=1000-10P，其中P为价格。商场的成本函数（单位：元）为C（件）=50D+2000。请建立该商场的利润函数，并确定使利润最大化的价格和最大利润。五、某投资者有10000元资金，计划投资两种风险不同的股票A和B。股票A的预期年回报率为12%，风险系数为0.1；股票B的预期年回报率为18%，风险系数为0.2。投资者希望投资组合的预期年回报率不低于14%，且风险系数不超过0.15。请建立此问题的线性规划模型，帮助投资者确定投资于股票A和股票B的资金额，使投资组合的风险最小。六、考虑一个简单的供应链问题。某产品由供应商A生产，然后运往仓库W，再从仓库W运往客户C。供应商A到仓库W的运输成本为每单位10元，运输能力为每天100单位；仓库W到客户C的运输成本为每单位15元，运输能力为每天80单位。供应商A的供应能力为每天120单位，客户C的需求量为每天90单位。请建立此问题的线性规划模型，确定一个满足需求且总运输成本最小的运输方案（即确定从A到W的运输量，从W到C的运输量）。七、假设某公司需要决定是否投资一个新项目。如果投资，需要初始投资1000万元，预计在接下来三年内每年年末可获得收益300万元。如果不投资，则没有成本和收益。请用决策树的方法分析，在期望值准则下，该公司是否应该投资此项目？（假设贴现率为10%）八、为了评估两种教学方法A和B的效果，随机选取了60名学生进行实验，其中30名采用方法A，30名采用方法B。一段时间后，对这60名学生进行测试，成绩如下（省略具体数据）。请设计一个研究方案，利用恰当的统计方法比较这两种教学方法的效果是否显著存在差异。简述你的研究思路和可能使用的分析方法。试卷答案一、数学建模是将现实世界中的实际问题抽象、简化并转化为数学语言描述的过程，通过建立数学模型来分析问题、解决问题或预测未来趋势。其主要步骤通常包括：1）问题理解与界定：明确建模目的，收集相关信息，界定问题范围和约束条件；2）模型假设：根据实际情况，对问题进行简化，提出合理的数学假设；3）模型建立：选择合适的数学工具和方法，将问题转化为数学模型（如方程、不等式、优化模型等）；4）模型求解：运用数学方法或计算机技术求解模型，得到数学解；5）模型检验：将模型解回代入实际问题，检验其合理性和有效性，与实际情况进行比较；6）模型应用与修正：若模型检验通过，则可应用于实际问题，并根据实际情况反馈对模型进行修正和完善。数学建模在解决实际问题时，能够提供量化的分析工具，帮助决策者更科学、更系统地理解问题，做出更合理的决策。二、设每周生产产品A的数量为x单位，生产产品B的数量为y单位。则该问题的线性规划模型如下：目标函数：最大化Z=3x+2y约束条件：1.劳动力约束：2x+3y≤1502.原材料约束：3x+2y≤1803.非负约束：x≥0,y≥0三、根据Logistic模型，人口增长速率与当前人口数及最大人口容量有关。设人口数量为P(t)，最大容量为K=200万，当前人口为P(0)=50万，增长率在当前水平下为r=10%/年=0.1/年。Logistic微分方程模型为：dP/dt=rP(1-P/K)。代入参数得：dP/dt=0.1*P*(1-P/200)。求解该微分方程，初始条件为P(0)=50，得到人口数量随时间变化的表达式：P(t)=200/(1+3*exp(-0.1t))。预测10年后人口数量，即计算P(10)：P(10)=200/(1+3*exp(-1))。四、需求量D=1000-10P。利润函数L=总收入-总成本。总收入=P*D=P*(1000-10P)=1000P-10P^2。总成本C(D)=50D+2000=50(1000-10P)+2000=50000-500P。利润函数L(P)=(1000P-10P^2)-(50000-500P)=-10P^2+1500P-50000。为使利润最大化，对L(P)求导并令其等于0：dL/dP=-20P+1500=0，解得P=75。此时最大利润L_max=-10(75)^2+1500(75)-50000。五、设投资于股票A的资金额为x元，投资于股票B的资金额为y元。则该问题的线性规划模型如下：目标函数：最小化Z=0.1x+0.2y约束条件：1.资金总额约束：x+y=100002.预期回报率约束：0.12x+0.18y≥0.14*100003.风险系数约束：0.1x+0.2y≤0.15*100004.非负约束：x≥0,y≥0六、设从供应商A到仓库W的运输量为x单位，从仓库W到客户C的运输量为y单位。则该问题的线性规划模型如下：目标函数：最小化Z=10x+15y约束条件：1.供应商A供应能力约束：x≤1202.从A到W运输量与从W到C运输量的关系：y=x3.仓库W到客户C运输能力约束：y≤804.非负约束：x≥0,y≥0七、构建决策树：*节点A：代表投资决策（分支1：投资，分支2：不投资）。*分支1（投资）：结果1.1（收益300万/年，持续3年）；成本1000万。净现值NPV=-1000+300/(1+0.1)+300/(1+0.1)^2+300/(1+0.1)^3。*分支2（不投资）：结果2（无收益）。计算分支1的净现值：NPV=-1000+300/1.1+300/1.21+300/1.331。比较两个分支的期望值（此处即净现值），选择期望值较大的方案。若NPV>0，则应投资。八、研究方案设计：1.数据收集：获取30名采用方法A和30名采用方法B学生的测试成绩数据。2.数据预处理：检查数据是否存在缺失或异常值，进行必要的处理。3.假设检验：提出零假设H0（两种方法效果无显著差异）和备择假设H1（两种方法效果有显著差异）。4.方法选择：由于涉及两组数据的均值比较，且样本量相等（或接近），可以考虑使用独立样本t检验（如果成绩服从正态分布且方差相等）或Welch'st检验（如果方差不等）。如果成绩数据不符合正态分布，可以考虑使用非参数检验方法，如Mann-WhitneyU检验。5.统计分析：使用统计软件（如SPSS,R,Python等）执行选定的检验方法，计