2025年大学《数理基础科学》专业题库- 数学凸优化方法在机器学习中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——数学凸优化方法在机器学习中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分）1.下列函数中，在定义域内不是凸函数的是？A.f(x)=x^2B.f(x)=e^xC.f(x)=-ln(x)D.f(x)=|x|2.凸优化问题f(x)≤0在x*处的局部最优解，如果f(x*)<0，则x*是？A.全球最优解B.局部最优解C.强局部最优解D.可行解3.下列不等式成立，则集合C是凸集？A.∀x,y∈C,λx+(1-λ)y∈C,0<λ<1B.∀x∈C,λx∈C,0<λ<1C.∀x,y∈C,x+y∈CD.∀x,y∈C,||x|-|y||∈C4.梯度下降法的基本思想是沿着函数的哪个方向更新参数？A.梯度方向B.梯度反方向C.海森矩阵特征向量方向D.随机方向5.对于二次函数f(x)=1/2x^TQx+c^Tx，其中Q为正定矩阵，其最小值点在哪里？A.Q的零空间B.Q的特征向量C.Q的逆矩阵Q^(-1)D.Q的中心6.牛顿法在每一步找到的是？A.局部最优解B.等值线上的点C.二次近似的最优解D.梯度为零的点7.L1正则化和L2正则化的主要区别是什么？A.L1正则化关注解的稀疏性，L2正则化关注解的平滑性B.L1正则化关注解的平滑性，L2正则化关注解的稀疏性C.L1正则化只适用于线性模型，L2正则化只适用于非线性模型D.L1正则化只适用于逻辑回归，L2正则化只适用于支持向量机8.在机器学习中，凸优化方法主要解决什么问题？A.模型选择B.参数估计C.特征工程D.数据预处理9.支持向量机（SVM）的目标函数是凸优化问题吗？A.是B.否C.有时是，有时不是D.无法确定10.以下哪个是凸优化方法在机器学习中的典型应用？A.决策树构建B.神经网络训练C.K-means聚类D.主成分分析二、填空题（每空2分，共10分）1.函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的凸包是________。2.梯度下降法的收敛速度取决于学习率________和函数的________。3.海森矩阵在x*处是半正定的，则f(x)在x*处是________。4.在逻辑回归中，目标函数通常是最小化交叉熵损失函数和________项之和。5.凸优化问题的一种重要方法是________法，它利用二阶导数信息来加速收敛。三、计算题（每题10分，共30分）1.考虑函数f(x)=x^4-4x^2+4。证明f(x)是一个凸函数，并求其在区间[-2,2]上的最小值。2.使用梯度下降法求解函数f(x)=x^2+2x+1的最小值，初始点为x(0)=0，学习率λ=0.1，迭代两次。3.考虑以下凸优化问题：minx^2+y^2s.t.x+y=1,x≥0,y≥0求该问题的最优解。四、简答题（每题10分，共20分）1.简述梯度下降法和牛顿法的优缺点。2.解释L1正则化和L2正则化如何帮助防止过拟合，并说明它们各自的优缺点。五、综合应用题（20分）考虑一个二元分类问题，特征向量为x=(x1,x2,...,xn)，标签为y∈{+1,-1}。使用支持向量机（SVM）进行分类，其目标函数为：min1/2||w||^2+C∑_{i=1}^mξ_is.t.y_i(w^Tx_i+b)≥1-ξ_i,ξ_i≥0其中w是权重向量，b是偏置项，C是正则化参数，m是样本数量，ξ_i是松弛变量。解释该目标函数的含义，并说明如何通过调整C的值来平衡分类精度和模型复杂度。试卷答案一、选择题1.D2.C3.A4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.B二、填空题1.[0,1]×[0,1]2.学习率，函数的曲率3.局部最小值4.L2正则化（或正则化）5.牛顿三、计算题1.证明：f''(x)=12x^2-8=4(x^2-2)。当x∈[-√2,√2]时，f''(x)≥0，故f(x)在该区间内是凸函数。在区间[-2,2]上，f(x)在x=±√2处取得最小值f(±√2)=0。2.第一次迭代：x(1)=x(0)-λ∇f(x(0))=0-0.1(2x(0)+2)=-0.2。第二次迭代：x(2)=x(1)-λ∇f(x(1))=-0.2-0.1(2(-0.2)+2)=-0.2-0.1(1.6)=-0.8。最小值近似为x=-0.8，f(x)=(-0.8)^2+2(-0.8)+1=0.64-1.6+1=-0.96。3.由x+y=1得y=1-x。代入目标函数得f(x)=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1。求导f'(x)=4x-2，令f'(x)=0得x=1/2。由于x≥0,y≥0，且x+y=1，最优解为x=1/2,y=1/2。四、简答题1.梯度下降法：优点是简单易实现，计算量小；缺点是收敛速度可能较慢，需要选择合适的学习率，容易陷入局部最优。牛顿法：优点是收敛速度通常比梯度下降法快，尤其是在接近最优解时；缺点是计算海森矩阵及其逆矩阵的计算量大，且海森矩阵可能不正定。2.L1正则化通过惩罚绝对值大小，将一些不重要的特征系数压缩为0，实现特征选择，从而防止过拟合。L2正则化通过惩罚平方和大小，将特征系数缩小但不至于完全为0，使模型更平滑，从而防止过拟合。L1的优点是结果更稀疏，缺点是可能忽略一些有用信息。L2的优点是能保留更多信息，缺点是可能得到所有系数都不为0的结果。五、综合应用题目标函数中1/2||w||^2是分类间隔的最大化部分，C∑_{i=1}^mξ_i是对误分类样本的惩罚，C控制了