2025年大学《数学与应用数学》专业题库- 数学在肝病研究中的应用

2025年大学《数学与应用数学》专业题库——数学在肝病研究中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设$S$是由微分方程$\frac{dy}{dx}+y=f$是定义在$\mathbb{R}$上的已知连续函数。证明集合$S$关于函数的加法和数乘运算构成一个向量空间。二、考虑如下微分方程初值问题：$$\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{10}x+5\sin(t),\quadx(0)=0.$$1.求解此初值问题。2.分析当$t\to\infty$时，解$x(t)$的行为。三、假设某项研究中，收集了关于肝癌患者年龄（岁）$x$和肿瘤大小（cm）$y$的数据，经分析认为$y$对$x$的回归模型为$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$，其中$\epsilon\simN$。假设观测得到$\bar{x}=50$,$\bar{y}=15$,$S_{xx}=400$,$S_{xy}=600$。请计算回归系数$\beta_1$的最小二乘估计值，并解释其意义。四、考虑常微分方程组：$$\frac{dx}{dt}=y,\quad\frac{dy}{dt}=-x-\frac{4}{3}y+\sin(t).$$1.求该方程组的通解。2.讨论该方程组是否存在稳定解，并简述理由。五、设$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$和$B=\begin{pmatrix}4&0\\1&5\end{pmatrix}$。计算矩阵$A$的特征值和特征向量，并判断矩阵$A$是否可对角化。若可对角化，求出可逆矩阵$P$和对角矩阵$D$，使得$A=PDP^{-1}$。六、在一项抗肝纤维化药物的临床试验中，将患者随机分为两组：治疗组接受药物治疗，对照组接受安慰剂。观察指标为治疗后肝纤维化程度评分。假设评分近似服从正态分布，治疗组样本量$n_1=30$,平均评分$\bar{x}_1=8$,标准差$s_1=2$；对照组样本量$n_2=30$,平均评分$\bar{x}_2=10$,标准差$s_2=3$。试用统计方法检验该药物是否具有显著降低肝纤维化评分的效果（假设两组方差相等）。请写出所使用的统计量，并说明检验步骤（包括确定显著性水平$\alpha$,计算统计量值,查表或给出临界值/p值范围,得出结论）。七、建立一个简单的数学模型来描述肝细胞在受到损伤后的再生过程。假设健康肝细胞数量$H$满足以下关系：$$\frac{dH}{dt}=r_HH-aHD,\quad\frac{dD}{dt}=-r_HH+aHD-dD,$$其中$r_H$是健康肝细胞的自然增长率，$a$是损伤肝细胞转化为健康肝细胞的速率，$d$是受损肝细胞的自然死亡速率。请分析该模型的平衡点，并讨论各参数对平衡点稳定性的影响。试卷答案一、证明:首先验证加法封闭性。设$y_1(x),y_2(x)\inS$，则存在$f_1(x),f_2(x)\inC(\mathbb{R})$使得$\frac{dy_1}{dx}+y_1=f_1(x)$且$\frac{dy_2}{dx}+y_2=f_2(x)$。令$y_3(x)=y_1(x)+y_2(x)$，则$$\frac{dy_3}{dx}+y_3=\left(\frac{dy_1}{dx}+y_1\right)+\left(\frac{dy_2}{dx}+y_2\right)=f_1(x)+f_2(x).$$因为$f_1(x)+f_2(x)\inC(\mathbb{R})$，所以$y_3(x)\inS$，加法封闭性成立。接着验证数乘封闭性。设$y(x)\inS$，$c\in\mathbb{R}$，则存在$f(x)\inC(\mathbb{R})$使得$\frac{dy}{dx}+y=f(x)$。令$y_4(x)=cy(x)$，则$$\frac{dy_4}{dx}+y_4=c\frac{dy}{dx}+cy=c(f(x)-y(x))+cy=cf(x).$$因为$cf(x)\inC(\mathbb{R})$，所以$y_4(x)\inS$，数乘封闭性成立。最后，$S$包含零向量（令$y(x)=0$，则$\frac{d0}{dx}+0=0=f(x)$，只要$f(x)=0$，$y(x)=0$就在$S$中）。向量空间的其他八条公理（如零向量加法单位元、负向量、分配律等）都满足（例如，加法单位元是满足$\frac{dy}{dx}+y=0$的函数$y(x)=0$）。因此，$S$构成向量空间。二、解:1.这是一个一阶线性非齐次微分方程。对应的齐次方程为$\frac{dx}{dt}+\frac{1}{10}x=0$，其通解为$x_h(t)=Ce^{-\frac{t}{10}}$。非齐次方程的特解形式设为$x_p(t)=A\sin(t)+B\cos(t)$。代入原方程：$$\frac{dx_p}{dt}=A\cos(t)-B\sin(t),$$$$-\frac{1}{10}x_p+5\sin(t)=-\frac{1}{10}(A\sin(t)+B\cos(t))+5\sin(t)=\left(5-\frac{A}{10}\right)\sin(t)-\frac{B}{10}\cos(t).$$令其等于右端$5\sin(t)$，比较系数得：$$5-\frac{A}{10}=5\impliesA=0,$$$$-\frac{B}{10}=0\impliesB=0.$$此处特解形式错误，应设为$x_p(t)=t(A\sin(t)+B\cos(t))$。代入原方程：$$\frac{dx_p}{dt}=A\sin(t)+B\cos(t)+t(A\cos(t)-B\sin(t)),$$$$-\frac{1}{10}x_p+5\sin(t)=-\frac{1}{10}(t(A\sin(t)+B\cos(t)))+5\sin(t).$$比较$\sin(t)$系数:$A+tA=5-\frac{tB}{10}\impliesA=5,A=0$矛盾。重新设特解为$x_p(t)=A\sin(t)+B\cos(t)$，代入：$$A\cos(t)-B\sin(t)-\frac{1}{10}(A\sin(t)+B\cos(t))=5\sin(t),$$$$(A-\frac{B}{10})\cos(t)+(-B-\frac{A}{10})\sin(t)=5\sin(t).$$比较系数:$$A-\frac{B}{10}=0\impliesA=\frac{B}{10},$$$$-B-\frac{A}{10}=5\implies-B-\frac{B}{100}=5\implies-\frac{101B}{100}=5\impliesB=-\frac{500}{101},$$$$A=\frac{-500}{1010}=-\frac{50}{101}.$$所以特解为$x_p(t)=-\frac{50}{101}\sin(t)-\frac{500}{101}\cos(t)$。通解为$x(t)=x_h(t)+x_p(t)=Ce^{-\frac{t}{10}}-\frac{50}{101}\sin(t)-\frac{500}{101}\cos(t)$。代入初值$x(0)=0$:$$0=Ce^{0}-\frac{50}{101}(0)-\frac{500}{101}(1)\impliesC=\frac{500}{101}.$$所以解为$x(t)=\frac{500}{101}e^{-\frac{t}{10}}-\frac{50}{101}\sin(t)-\frac{500}{101}\cos(t)$。2.当$t\to\infty$时，$e^{-\frac{t}{10}}\to0$。$\sin(t)$和$\cos(t)$在$[-1,1]$间振荡。因此，$x(t)$的极限不存在，但其振幅$\sqrt{\left(-\frac{50}{101}\right)^2+\left(-\frac{500}{101}\right)^2}=\frac{50\sqrt{10001}}{101}$是有限的。解$x(t)$在一个有限的振幅内围绕零点振荡衰减。三、解:回归系数$\beta_1$的最小二乘估计为$\hat{\beta}_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$。代入数据:$\hat{\beta}_1=\frac{600}{400}=1.5$。其意义是：根据观测数据，肝癌患者年龄每增加一岁，其肿瘤大小预计平均增加1.5cm。四、解:1.将方程组写为矩阵形式$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}+\mathbf{f}(t)$，其中$\mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$,$A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\frac{4}{3}\end{pmatrix}$,$\mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}$。首先求对应的齐次方程$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}$的通解。求$A$的特征值$\lambda$：$$\det(A-\lambdaI)=\det\begin{pmatrix}-\lambda&1\\-1&-\frac{4}{3}-\lambda\end{pmatrix}=\lambda\left(\frac{4}{3}+\lambda\right)-1=\lambda^2+\frac{4}{3}\lambda-1=0.$$解得$\lambda_1=-2$,$\lambda_2=\frac{1}{3}$。对于$\lambda_1=-2$，解$(A+2I)\mathbf{v}=0$:$$\begin{pmatrix}2&1\\-1&\frac{2}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=0\implies2v_1+v_2=0\impliesv_2=-2v_1.$$取$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$。对应特征向量为$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$。齐次解为$c_1e^{-2t}\mathbf{v}_1=c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$。对于$\lambda_2=\frac{1}{3}$，解$(A-\frac{1}{3}I)\mathbf{v}=0$:$$\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}&1\\-1&-\frac{7}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=0\implies-\frac{1}{3}v_1+v_2=0\impliesv_1=3v_2.$$取$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$。对应特征向量为$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$。齐次解为$c_2e^{\frac{t}{3}}\mathbf{v}_2=c_2e^{\frac{t}{3}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$。齐次通解为$\mathbf{u}_h(t)=c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+c_2e^{\frac{t}{3}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$。求非齐次特解，使用常数变易法或待定系数法。观察$\mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}$形式，设特解为$\mathbf{u}_p(t)=\begin{pmatrix}u_{p1}(t)\\u_{p2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cos(t)+b\sin(t)\\c\cos(t)+d\sin(t)\end{pmatrix}$。代入非齐次方程组：$$\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}(a\cos(t)+b\sin(t))+\begin{pmatrix}1\\-\frac{4}{3}\end{pmatrix}(c\cos(t)+d\sin(t))+\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}.$$$$\begin{pmatrix}c\cos(t)+d\sin(t)\\-(a+c)\cos(t)+(b-d-\frac{4}{3}c)\sin(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}.$$比较系数:$$c=0,\quadd=0,$$$$-(a+c)=0\impliesa=0,$$$$b-d-\frac{4}{3}c=1\impliesb=1.$$所以特解为$\mathbf{u}_p(t)=\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}$。通解为$\mathbf{u}(t)=\mathbf{u}_h(t)+\mathbf{u}_p(t)=c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+c_2e^{\frac{t}{3}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}$。2.平衡点是方程组$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}+\mathbf{f}(t)=\mathbf{0}$的解，即求解$A\mathbf{u}+\mathbf{f}(t)=\mathbf{0}$。由于$\mathbf{f}(t)=\begin{pmatrix}0\\\sin(t)\end{pmatrix}\neq\mathbf{0}$，该方程组无零解。因此，该方程组没有平衡点。讨论稳定性通常针对平衡点，由于本系统无平衡点，稳定性分析在此无直接意义。但可以分析零解（即$\mathbf{u}(t)=\mathbf{0}$）的稳定性。零解对应的齐次方程$\frac{d\mathbf{u}}{dt}=A\mathbf{u}$的解为线性组合$c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}+c_2e^{\frac{t}{3}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$。由于存在特征值$\lambda_2=\frac{1}{3}>0$，零解是不稳定的（它随时间指数增长）。五、解:1.计算特征多项式$\det(A-\lambdaI)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\0&3-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)-0=(1-\lambda)(3-\lambda)$。特征值为$\lambda_1=1$,$\lambda_2=3$。对于$\lambda_1=1$，解$(A-I)\mathbf{v}_1=0$:$$\begin{pmatrix}0&2\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{11}\\v_{12}\end{pmatrix}=0\implies2v_{12}=0\impliesv_{12}=0,\,v_{11}\text{任意}.$$取$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$。特征向量为$\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$。对于$\lambda_2=3$，解$(A-3I)\mathbf{v}_2=0$:$$\begin{pmatrix}-2&2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}=0\implies-2v_{21}+2v_{22}=0\impliesv_{21}=v_{22}.$$取$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$。特征向量为$\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$。2.由于$A$是$2\times2$矩阵，且有两个不同的特征值，因此$A$可对角化。令$P=\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$。计算$P^{-1}$:$$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}.$$验证:$AP=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&3\end{pmatrix}$,$$PD=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\0&3\end{pmatrix}.$$$$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}=D.$$因此，$A=PDP^{-1}$，其中$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$,$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}$。六、解:检验药物是否显著降低肝纤维化评分，即检验治疗组平均评分是否显著低于对照组平均评分。这是一个关于两个独立正态总体均值差的检验，且方差相等。假设:$H_0:\mu_1=\mu_2$(药物无显著效果，两组平均评分相等)；$H_1:\mu_1<\mu_2$(药物显著降低评分，治疗组平均评分低于对照组)。采用双样本t检验（方差相等）。统计量计算：样本均值:$\bar{x}_1=8$,$\bar{x}_2=10$。样本方差:$s_1^2=2^2=4$,$s_2^2=3^2=9$。合并方差估计:$S_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{29\times4+29\times9}{58}=\frac{116+261}{58}=\frac{377}{58}\approx6.517$。合并标准差:$S_p=\sqrt{6.517}\approx2.553$。统计量t值:$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{8-10}{2.553\sqrt{\frac{1}{30}+\frac{1}{30}}}=\frac{-2}{2.553\sqrt{\frac{2}{30}}}=\frac{-2}{2.553\times0.2582}\approx\frac{-2}{0.661}\approx-3.027$。检验步骤：1.确定显著性水平$\alpha$，通常取$\alpha=0.05$。2.计算统计量值$t\approx-3.027$。3.查t分布表，自由度$df=n_1+n_2-2=58$。对于单尾检验$H_1:\mu_1<\mu_2$，查找$\alpha=0.05$，$df=58$的临界值$t_{\alpha,df}$。查表得$t_{0.05,58}\approx-1.671$。4.比较：因为计算得到的$t\approx-3.027<-1.671$，所以拒绝原假设$H_0$。5.结论：在$\alpha=0.05$的显著性水平下，有足够的统计证据表明该药物具有显著降低肝纤维化评分的效果。七、解:该模型是关于健康肝细胞$H(t)$和受损肝细胞$D(t)$的常微分方程组，描述了一个简单的再生过程。平衡点是指系统状态不随时间变化的点，即$\frac{dH}{dt}=0$且$\frac{dD}{dt}=0$。$$\frac{dH}{dt}=r_HH-aHD=0\impliesr_HH=aHD\impliesD=\frac{r_H}{a}H\quad(H\neq0).$$$$\frac{dD}{dt}=-r_HH+aHD-dD=0\implies-r_HH+aH\left(\frac{r_H}{a}H\right)-dD=0\implies-r_HH+r_HH-dD=0\implies-dD=0\impliesD=0\quad(D\neq0).$$由$\frac{dH}{dt}=0$得$r_HH-aHD=0$。若$D=0$，则$r_HH=0$。若$r_H\neq0$，则$H=0$。因此，唯一的平衡点是$(H,D)=(0,0)$。讨论稳定性：考虑平衡点$(0,0)$。线性化系统在