2025年大学《数理基础科学》专业题库- 自然界规律的数学建模

2025年大学《数理基础科学》专业题库——自然界规律的数学建模考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)=0$。证明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。二、考虑函数$z=x^2y^3-2xy^2+3x+4y$。1.求函数在点$(1,1)$处的偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}$和$\frac{\partialz}{\partialy}$。2.求函数在点$(1,1)$处沿向量$\vec{u}=(2,-1)$方向的方向导数。3.求函数在点$(1,1)$处的梯度，并说明其几何意义。三、求解下列微分方程：1.$y'+y\tanx=\sin2x$。2.$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$。四、1.计算二重积分$\iint_D(x^2+y^2)\,dA$，其中区域$D$由直线$y=0$，$x=1$和曲线$y=x^2$围成。2.计算三重积分$\iiint_Vz\,dV$，其中区域$V$由抛物面$z=x^2+y^2$和平面$z=1$围成。五、考虑质量为$m$的物体，从高度$h$处自由下落，忽略空气阻力。建立描述物体下落距离$s$与时间$t$关系的数学模型，并求解该模型。六、建立描述单种群增长规律的逻辑斯蒂（Logistic）模型，其中$P_0$为初始种群数量，$K$为环境容纳量，$r$为内禀增长率。推导模型的平衡点，并分析其稳定性。七、给定数据点$(1,2)$，$(2,3)$，$(3,5)$，$(4,7)$。尝试使用线性回归方法拟合这些数据点，建立描述$y$关于$x$的线性关系模型，并给出模型的表达式。试卷答案一、证明：构造辅助函数$F(x)=xf(x)$。显然$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a)=af(a)=0$，$F(b)=bf(b)=0$。根据罗尔定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$F'(\xi)=0$。计算导数$F'(x)=f(x)+xf'(x)$，因此$F'(\xi)=f(\xi)+\xif'(\xi)=0$，即$f'(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$。二、1.$\left.\frac{\partialz}{\partialx}\right|_{(1,1)}=2xy^3-2y^2+3=2(1)(1)^3-2(1)^2+3=3$。$\left.\frac{\partialz}{\partialy}\right|_{(1,1)}=3x^2y^2-4xy+4=3(1)^2(1)^2-4(1)(1)+4=3$。2.向量$\vec{u}=(2,-1)$的单位向量为$\vec{u_0}=\left(\frac{2}{\sqrt{2^2+(-1)^2}},\frac{-1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{-1}{\sqrt{5}}\right)$。方向导数为$D_{\vec{u}}z=\left.\left(\frac{\partialz}{\partialx}\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{\partialz}{\partialy}\frac{-1}{\sqrt{5}}\right)\right|_{(1,1)}=(3\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+3\cdot\frac{-1}{\sqrt{5}})=\frac{3}{\sqrt{5}}$。3.梯度$\nablaz=\left(\frac{\partialz}{\partialx},\frac{\partialz}{\partialy}\right)=(2xy^3-2y^2+3,3x^2y^2-4xy+4)$。在点$(1,1)$处，$\nablaz(1,1)=(3,3)$。几何意义：梯度向量$\nablaz(1,1)$的方向是函数$z$在点$(1,1)$处增长最快的方向，其模长表示该点处函数增长的变化率。三、1.原方程为$y'+(\tanx)y=\sin2x$。这是一阶线性微分方程，其通解为$y=e^{-\int\tanx\,dx}\left(\inte^{\int\tanx\,dx}\sin2x\,dx+C\right)$。$\int\tanx\,dx=-\ln|\cosx|=\ln|\secx+\tanx|$（取对数形式更方便）。$y=e^{-\ln|\secx+\tanx|}\left(\inte^{\ln|\secx+\tanx|}\sin2x\,dx+C\right)=\frac{1}{|\secx+\tanx|}\left(\int(\secx+\tanx)\sin2x\,dx+C\right)$。令$u=\secx+\tanx$，则$du=(\secx\tanx+\sec^2x)dx=\secx(\secx+\tanx)dx=\secxu\,dx$，即$\frac{du}{u}=\secx\,dx$。$\sin2x=2\sinx\cosx=2\frac{\sinx}{\cosx}\cos^2x=2\sinx\cosx=2u\cos^2x$。$\cos^2x=\frac{1}{\sec^2x}=\frac{1}{u^2-2u\tanx+1}=\frac{1}{u^2-2u(u-\secx)+1}=\frac{1}{u^2-2u^2+2u\secx+1}=\frac{1}{-u^2+2u\frac{1}{\cosx}+1}$。计算积分较为复杂，通常采用凑微分或查表方法。为简化，此处使用标准积分结果：$\int(\secx+\tanx)\sin2x\,dx=\int2u\sinx\cosx\,dx=\int2u\sinx\,d(\sinx)=-2u\cosx+C'$。因此，$y=\frac{1}{|\secx+\tanx|}(-2u\cosx+C')=\frac{-2(\secx+\tanx)\cosx+C'}{|\secx+\tanx|}=\frac{-2\cosx(\frac{1}{\cosx}+\frac{\sinx}{\cosx})+C'}{|\secx+\tanx|}=\frac{-2(1+\sinx)+C'}{|\secx+\tanx|}=\frac{-2-2\sinx+C'}{|\secx+\tanx|}$。简化通解形式：$y=\frac{C''-2-2\sinx}{|\secx+\tanx|}$，其中$C''=C'$。2.原方程为$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{xy}$。这是齐次微分方程，令$u=\frac{y}{x}$，则$y=ux$，$y'=u+xu'$。代入方程得$u+xu'=\frac{x^2+(ux)^2}{x(ux)}=\frac{x^2(1+u^2)}{x^2u}=\frac{1+u^2}{u}$。整理得$xu'=\frac{1+u^2}{u}-u=\frac{1+u^2-u^2}{u}=\frac{1}{u}$，即$udu=\frac{1}{x}dx$。积分得$\frac{1}{2}u^2=\ln|x|+C$。回代$u=\frac{y}{x}$，得$\frac{1}{2}(\frac{y}{x})^2=\ln|x|+C$，即$(y^2)=2x^2(\ln|x|+C)$或$y^2=Cx^2+2x^2\ln|x|$。四、1.积分区域$D$由$y=0$，$x=1$和$y=x^2$围成。先对$y$积分，再对$x$积分，$D=\{(x,y)|0\ley\lex^2,0\lex\le1\}$。$\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\int_{x=0}^1\int_{y=0}^{x^2}(x^2+y^2)\,dy\,dx$。内层积分：$\int_{y=0}^{x^2}(x^2+y^2)\,dy=x^2y\big|_0^{x^2}+\frac{y^3}{3}\big|_0^{x^2}=x^2(x^2)+\frac{(x^2)^3}{3}=x^4+\frac{x^6}{3}$。外层积分：$\int_{x=0}^1(x^4+\frac{x^6}{3})\,dx=\int_{x=0}^1x^4\,dx+\frac{1}{3}\int_{x=0}^1x^6\,dx=\frac{x^5}{5}\big|_0^1+\frac{1}{3}\cdot\frac{x^7}{7}\big|_0^1=\frac{1}{5}+\frac{1}{21}=\frac{21+5}{105}=\frac{26}{105}$。2.积分区域$V$由$z=x^2+y^2$和$z=1$围成。在$xy$-平面上，投影区域$D_{xy}$由$x^2+y^2\le1$决定。使用柱面坐标，$x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$,$z=z$,$dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。$V=\{(r,\theta,z)|0\ler\le1,0\le\theta\le2\pi,r^2\lez\le1\}$。$\iiint_Vz\,dV=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^1\int_{z=r^2}^1z\,r\,dz\,dr\,d\theta$。内层积分：$\int_{z=r^2}^1z\,dz=\frac{z^2}{2}\big|_{r^2}^1=\frac{1}{2}-\frac{(r^2)^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{r^4}{2}$。中层积分：$\int_{r=0}^1(\frac{1}{2}-\frac{r^4}{2})r\,dr=\frac{1}{2}\int_{r=0}^1r\,dr-\frac{1}{2}\int_{r=0}^1r^5\,dr=\frac{1}{2}\cdot\frac{r^2}{2}\big|_0^1-\frac{1}{2}\cdot\frac{r^6}{6}\big|_0^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{3}{12}-\frac{1}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。外层积分：$\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{1}{6}\,d\theta=\frac{1}{6}\cdot2\pi=\frac{\pi}{3}$。五、模型：根据牛顿第二定律$F=ma$，物体所受合力为重力$mg$，加速度为$a=\frac{ds}{dt^2}$。$F=mg=m\frac{ds}{dt^2}$。求解：分离变量$\frac{ds}{dt^2}=g$，即$\frac{ds}{dt}\cdot\frac{dt}{dt}=g$，即$\frac{ds}{dt}=g$。对时间$t$积分：$\intds=\intg\,dt$，得$s=gt+C$。初始条件：$t=0$时，$s=0$。代入得$0=g(0)+C$，所以$C=0$。模型为：$s(t)=gt$。描述物体下落距离$s$与时间$t$成线性关系。六、模型：设种群数量为$P(t)$，则Logistic模型为$\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})$。推导平衡点：令$\frac{dP}{dt}=0$，得$rP(1-\frac{P}{K})=0$。解得$P=0$或$1-\frac{P}{K}=0$，即$P=K$。平衡点为$P=0$和$P=K$。稳定性分析：1.当$P=0$时，若$P$从$0$的微小正方向偏离，$\frac{dP}{dt}=r(0)(1-\frac{0}{K})=0$，若$P$从$0$的微小负方向偏离（实际上种群数量不能为负），则$\frac{dP}{dt}$符号取决于$r$，但$P=0$通常是实际种群的起始点，可视为稳定平衡点（吸引子）。2.当$P=K$时，若$P$从$K$的微小正方向偏离，$P>P_0=K$，则$\frac{dP}{dt}=rP(1-\frac{P}{K})=rP(\frac{K-P}{K})>0$，$P$将增加，偏离平衡点。若$P$从$K$的微小负方向偏离（实际上种群数量不能为负），则$\fr