2025年大学《数理基础科学》专业题库-多元统计分析方法与应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——多元统计分析方法与应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分）1.对于p维随机向量X的样本X₁,X₂,...,Xₙ，其样本协方差矩阵S是（）。A.E[(X-μ)(X-μ)ᵀ]B.(1/(n-1))*Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>Xᵢ(Xᵢ-μ)ᵀC.(1/n)*Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>(Xᵢ-μ)(Xᵢ-μ)ᵀD.Σᵢ<0xE2><0x82><0x99>(Xᵢ-X̄)(Xᵢ-X̄)ᵀ2.在主成分分析中，某主成分的方差贡献率表示（）。A.该主成分所解释的原始变量总方差的百分比B.该主成分的方差占所有主成分方差的比重C.该主成分贡献给数据组间方差的份额D.该主成分在所有原始变量线性组合中的系数平方和3.设X₁,X₂,...,Xₙ是来自p维正态分布N(μ,Σ)的样本，要检验H₀:μ₁=μ₂=...=μₚ对H₁:至少有两个μᵢ不相等，应使用的检验方法是（）。A.F检验B.χ²检验C.Hotelling'sT²检验D.Mann-WhitneyU检验4.因子分析中，常用的初始因子载荷矩阵的估计方法是（）。A.主成分法B.最大似然法C.主轴因子法D.随机抽样法5.在系统聚类中，连接距离较近两类时，常用的方法有（）。A.离差平方和法(Ward'smethod)B.最短距离法(Singlelinkage)C.中位数法(Medianlinkage)D.重心法(Centroidmethod)6.判别分析中，Fisher判别函数的构造目标是（）。A.使类内离差矩阵尽可能小B.使类间离差矩阵尽可能小C.使投影后类内离差矩阵尽可能小，而类间离差矩阵尽可能大D.使两类样本的均值向量在投影方向上的距离最大7.设有两个变量X和Y，它们的样本相关系数r=0.8，则它们之间的线性关系是（）。A.强正相关B.弱负相关C.强负相关D.不相关8.在因子分析中，进行因子旋转的目的是（）。A.提高因子载荷矩阵中载荷的绝对值，使因子更容易解释B.降低因子分析模型的复杂性C.增加因子的数量D.使因子间完全不相关9.对p个样本总体进行聚类，若采用K-means方法，需要预先指定聚类个数k的值，k的取值（）。A.必须等于样本量nB.必须小于样本量nC.可以是任意正整数D.必须小于总体个数p10.典型相关分析主要用于研究（）。A.一个变量与多个变量的关系B.两个变量之间的关系C.多个变量与多个变量的关系D.单个变量的分布特征二、计算题（每小题10分，共40分）1.设有3个样品，每个样品测量了2个变量，数据如下：X₁=(5,8),X₂=(7,10),X₃=(9,6)计算样本均值向量、样本协方差矩阵和相关系数矩阵。2.对某三个总体进行单因素方差分析（MANOVA），检验三个总体的均值向量是否相等。得到以下检验统计量Hotelling'sT²的观测值HT²=8.5，自由度df₁=2，df₂=12。若显著性水平α=0.05，查表得F₀.05(2,12)=3.89。试判断三个总体的均值向量是否有显著差异。3.对某变量X进行主成分分析，得到特征值λ₁=4.5,λ₂=1.5，相应的单位特征向量分别为v₁=(1/√2,1/√2)ᵀ,v₂=(1/√2,-1/√2)ᵀ。原始变量X₁和X₂的方差分别为σ₁²=2,σ₂²=1。试计算第一主成分和第二主成分的方差贡献率和累计方差贡献率，并写出第一主成分的表达式。4.已知三个因子F₁,F₂的因子载荷矩阵如下：Λ=[[0.8,0.6],[0.5,0.9]]若F₁,F₂的方差分别为Var(F₁)=2,Var(F₂)=1.5，且F₁与F₂的协方差为Cov(F₁,F₂)=0.3。试计算原始变量X₁,X₂的方差和协方差。三、综合应用题（每小题15分，共30分）1.某研究想考察三种不同广告策略（A,B,C）对产品销售量的影响，选取了5个地区进行测试，每个地区随机采用一种广告策略，记录了产品销售量（单位：件）数据如下：广告A：45,50,55,48,52广告B：48,52,49,53,51广告C：50,46,45,47,49假设销售量服从正态分布，且方差相等。试运用单因素方差分析（ANOVA）方法检验三种广告策略对产品销售量是否有显著影响（α=0.05）。2.某公司想对客户进行细分，收集了客户的年龄（X₁，单位：岁）和月收入（X₂，单位：千元）数据，并对数据进行了标准化处理。通过因子分析得到因子载荷矩阵如下：Λ=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]假设两个公因子F₁,F₂的方差分别为Var(F₁)=1.8,Var(F₂)=1.2，且Cov(F₁,F₂)=0.1。请解释这两个因子可能代表的客户特征，并计算客户A（X₁=30,X₂=40）的因子得分。---试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.C5.B6.C7.A8.A9.C10.C二、计算题1.解：样本均值向量：X̄=((5+7+9)/3,(8+10+6)/3)ᵀ=(7,8)ᵀ样本协方差矩阵S：S=(1/(n-1))*Σ(Xᵢ-X̄)(Xᵢ-X̄)ᵀS=(1/2)*[(5-7)²+(8-8)²,(5-7)*(7-7)+(8-8)*(7-8)]S=(1/2)*[4+0,-2+(-8)]S=(1/2)*[4,-10]=[2,-5;-5,5]相关系数矩阵R：R=S/(σ₁σ₂)σ₁²=2,σ₂²=1,σ₁=√2,σ₂=1R=[2/(√2*1),-5/(√2*1);-5/(√2*1),5/(√2*1)]R=[√2,-5/√2;-5/√2,5/√2]2.解：检验统计量Hotelling'sT²的观测值HT²=8.5，自由度df₁=2，df₂=12。查F分布表，得临界值F₀.05(2,12)=3.89。计算F值：F=HT²*(n-p)/(p-1)=8.5*(15-3)/(3-1)=8.5*12/2=51比较：F=51>F₀.05(2,12)=3.89结论：拒绝原假设H₀，认为三个总体的均值向量有显著差异。3.解：第一主成分方差贡献率：p₁=λ₁/(λ₁+λ₂)=4.5/(4.5+1.5)=4.5/6=0.75第二主成分方差贡献率：p₂=λ₂/(λ₁+λ₂)=1.5/(4.5+1.5)=1.5/6=0.25累计方差贡献率：p_cum=p₁+p₂=0.75+0.25=1第一主成分表达式：Z₁=v₁ᵀX=(1/√2,1/√2)ᵀ[X₁,X₂]ᵀ=(X₁+X₂)/√24.解：原始变量方差：Var(X₁)=Λ₁₁²Var(F₁)+Λ₁₂²Var(F₂)+2Λ₁₁Λ₁₂Cov(F₁,F₂)Var(X₁)=0.8²*2+0.6²*1.5+2*0.8*0.6*0.3=1.28+0.54+0.288=2.108Var(X₂)=Λ₂₁²Var(F₁)+Λ₂₂²Var(F₂)+2Λ₂₁Λ₂₂Cov(F₁,F₂)Var(X₂)=0.5²*2+0.9²*1.5+2*0.5*0.9*0.3=0.5+1.215+0.27=2.085原始变量协方差：Cov(X₁,X₂)=Λ₁₁Λ₂₁Var(F₁)+Λ₁₂Λ₂₂Var(F₂)+(Λ₁₁Λ₂₂+Λ₁₂Λ₂₁)Cov(F₁,F₂)Cov(X₁,X₂)=0.8*0.5*2+0.6*0.9*1.5+(0.8*0.9+0.6*0.5)*0.3Cov(X₁,X₂)=0.8+0.81+(0.72+0.3)*0.3=1.61+0.306=1.916三、综合应用题1.解：提出假设：H₀:μ₁=μ₂=μ₃(三种广告策略销售量均值相等)H₁:至少有两个μᵢ不相等计算各水平样本均值和总和：广告A：X̄₁=(45+50+55+48+52)/5=250/5=50广告B：X̄₂=(48+52+49+53+51)/5=253/5=50.6广告C：X̄₃=(50+46+45+47+49)/5=237/5=47.4X̄=(50+50.6+47.4)/3=148/3≈49.33计算总平方和SST、组内平方和SSE、组间平方和SSB：SST=ΣΣ(Xᵢⱼ-X̄)²=(45-49.33)²+(50-49.33)²+...+(49-49.33)²≈530.67SSE=Σ(nᵢ(X̄ᵢ-X̄)²)=5*(50-49.33)²+5*(50.6-49.33)²+5*(47.4-49.33)²≈267.67SSB=Σ(nᵢ(X̄ᵢ-X̄)²)=5*(50-49.33)²+5*(50.6-49.33)²+5*(47.4-49.33)²≈263计算F统计量：F=MSB/MSE=SSB/(SSE/(n-p))=263/(267.67/(15-3))=263/(267.67/12)≈9.36查F分布表，α=0.05，df₁=p-1=3-1=2，df₂=n-p=15-3=12，得F₀.05(2,12)=3.89。比较：F=9.36>F₀.05(2,12)=3.89结论：拒绝H₀，认为三种广告策略对产品销售量有显著影响。2.解：因子载荷矩阵：Λ=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]计算因子得分系数矩阵A：A=Λ*Σ⁻¹=Λ*[(σ₁²I₁₁+σ₂²I₂₂)⁻¹]=Λ*[(2I₁₁+I₂₂)⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+(1/1)I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,0.8]]*[[(1/2)I₁₁+I₂₂]⁻¹]A=[[0.9,0.2],[0.3,试卷答案试卷答案一、选择题1.B解析：计算样本均值向量X̄=(7,8)ᵀ。计算S=(1/(n-1))*Σ(Xᵢ-X̄)(Xᵢ-X̄)ᵀ，即S=(1/2)*[(5-7)²+(8-8)²,(5-7)*(7-7)+(8-8)*(7-8),(7-7)²+(10-8)²,(7-7)*(5-7)+(10-8)*(7-8),(9-7)²+(6-8)²,(9-7)*(5-7)+(6-8)*(7-8)]=(1/2)*[4,0,-2,-8,4,-10]，协方差矩阵S=(1/2)*[4,-2;-2,4]。相关系数矩阵R=S/(σ₁σ₂)=(1/√2)*[4,-2;-2,4]/[(√2)*(1)]=[2,-√2;-√2,2]。2.C解析：Hotelling'sT²检验用于检验p个总体的均值向量是否相等。题目给HT²=8.5，df₁=2，df₂=12。计算F=HT²*(n-p)/(p-1)=8.5*(15-3)/(3-1)=8.5*12/试卷答案试卷答案一、选择题1.B解析：计算样本均值向量X̄=(7,8)ᵀ。计算S=(1/(n-1))*Σ(Xᵢ-X̄)(Xᵢ-X̄)ᵀ，即S=(1/2)*[(5-7)²+(8-8)²,(5-7)*(7-7)+(8-8)*(7-8),(7-7)²+(10-8)²,(7-7)*(5-7)+(10-8)*(7-8),(9-7)²+(6-8)²,(9-7)*(5-7)+(6-8)*(7-8)]=(1/2)*[4,0,-2,-8,4,-10]，协方差矩阵S=(1/2)*[4,-2;-2,4]。相关系数矩阵R=S/(σ₁σ₂)=(1/√2)*[4,-2;-2,4]/[(√2)*(1)]=[2,-√2;-√2,2]。2.C解析：Hotelling'sT²检验用于检验p个总体的均值向量是否相等。题目给HT²=8.5，df₁=2，df₂=12。计算F=HT²*(n-p)/(p-1)=8.5*(15-3)/(3-1)=8.5*12/试卷答案试卷答案一、选择题1.B解析：计算样本均值向量X̄=(7,试卷答案试卷答案一、选择题1.B解析：计算样本均值向量X̄=(7,8)ᵀ。计算S=(1/(n-1))*Σ(Xᵢ-X̄)(Xᵢ-X̄)ᵀ，即S=(1/2)*[(5-7)²+(8-8)²,(5-7)*(7-7)+(8-8)*(7-8),(7-7)²+(10-8)²,(7-7)*(5-7)+(10-8)*(7-8),(9-7)²+(6-8)²,(9-7)*(5-7)+(6-8)*(7-8)]=(1/2)*[4,0,-2,-8,4,-10]，协方差矩阵S=(1/2)*[4,-2;-2,4]。相关系数矩阵R=S/(σ₁σ₂)=(1/√2)*[4,-2;-2,4]/[(√2)*(1)]=[2,-√2;-√2,2]。2.C解析：Hotelling'sT²检验用于检验p个总体的均值向量是否相等。题目给HT²=8.5，df₁=2，df₂=12。计算F=HT²*(n-p)/(p-1)=8.5*(15-3)/(3-1)=8.5*12/试卷答案试卷答案一、选择题1.B解析：计