2025年大学《数理基础科学》专业题库- 偏微分方程在声学工程中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——偏微分方程在声学工程中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述波动方程在声学中的物理意义，并说明一维波动方程的标准形式及其各物理量的含义。二、写出声学中连续性方程和运动方程（理想流体），并说明如何推导一维波动方程。三、考虑一维无限长管道中的声波传播，管道内充满理想流体。设声波沿x方向传播，管道截面积A(x)可变。请写出该情境下的连续性方程和运动方程，并推导出声压p(x,t)满足的偏微分方程。四、在x=0处，管道截面积突然扩大，形成阶梯形变化，A(0)=A0,A(x)>A0(x>0)。假设x<0区域内声波为均匀行波p(x<0,t)=p0cos(kx-ωt)，其中p0,k,ω为常数。请利用匹配边界条件（在x=0处，声压和法向速度连续），推导x>0区域内的声波表达式，并求出反射波和透射波的振幅。五、在二维极坐标系(r,θ)中，考虑半径为R的圆形膜（如鼓面）的振动。设膜的张力为T，密度为ρ。请推导圆形膜的振动满足的偏微分方程（波方程），并说明其与笛卡尔坐标系中波方程的区别。六、对于稳态声场，声压p满足拉普拉斯方程。在无限域中，点声源Q位于原点，其产生的声压可以用格林函数法求解。请简述格林函数法求解该问题的基本思路，并写出声压的表达式（忽略介质吸收）。七、将一维波动方程∂²p/∂t²-c²∂²p/∂x²=0中的c替换为复数c=c'+ic''，其中c'和c''为实数。试分析此方程的解的物理意义，并解释引入复数速度的动机。八、简述分离变量法求解偏微分方程的基本思想，并说明该方法适用于求解哪些类型的偏微分方程（结合边界条件说明）。以一维热传导方程在无限长杆上的定解问题为例，说明如何应用分离变量法。试卷答案一、波动方程描述了声波（或其他波动现象）在介质中传播的规律，其物理意义是声压或速度等物理量随时间和空间的变化关系。一维波动方程的标准形式为∂²p/∂t²=c²∂²p/∂x²或∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x²，其中p是声压，u是质点速度，t是时间，x是空间坐标（沿波传播方向），c是声速。c²=(K/ρ)，K为介质的体积弹性模量，ρ为介质密度。∂²p/∂t²表示声压对时间的二阶导数，即声压的加速度；∂²p/∂x²表示声压对空间位置的二阶导数，即声压的曲率。该方程表明，声压的加速度与声压的空间曲率成正比，比例系数为声速的平方，这是声波波动性的基本数学体现。二、连续性方程为∂ρ/∂t+∂(ρv)/∂x=0，其中ρ是流体密度，v是质点速度。运动方程（欧拉方程）为ρ(∂v/∂t+(v·∇)v)=-∇p，其中p是声压。对于小扰动声波，ρ可视为常数，连续性方程简化为∂v/∂x=0，即声速v等于常数的流动。将连续性方程对时间求导，并利用运动方程消去∂v/∂t，得到∂²p/∂t²=-K∂(1/ρ)∂x，其中K=-ρ(∂p/∂ρ)₀是体积弹性模量。在小扰动假设下，ρ≈ρ₀(ρ₀为平均密度)，1/ρ≈1/ρ₀+(1/ρ₀²)∂ρ/∂x，且∂(1/ρ)/∂x=-1/ρ²∂ρ/∂x。代入上式并简化，得到∂²p/∂t²=c²∂²p/∂x²，其中c²=K/ρ₀。这就是一维小扰动声波方程。三、由于管道截面积A(x)可变，连续性方程需要考虑质量流量变化：∂(ρA(x)u)/∂t+∂(ρuA(x))/∂x=0。运动方程仍为ρ(∂u/∂t+(u·∇)u)=-∇p，在x方向简化为ρ(∂u/∂t+u∂u/∂x)=-∂p/∂x。将连续性方程对时间求导，并利用运动方程消去∂p/∂x和∂u/∂t，得到：∂/∂t[ρA(x)u]+∂/∂x[ρu²A(x)]+u∂(ρA(x)u)/∂x=-u∂p/∂x=u²∂(ρ/A(x))/∂x。整理后，考虑到u∂(ρ/A(x))/∂x=∂(ρu/A(x))∂x，得到∂/∂t[ρu²A(x)]+∂/∂x[ρu³A(x)]=0。除以ρA(x)，得到∂/∂t(u²A(x))+∂/∂x(u³A(x)/A(x))=0，即∂/∂t(u²A(x))+∂/∂x(u²A(x))=0。由于u=∂p/∂(ρA(x))(从运动方程推导)，最终得到声压p满足的方程为∂²p/∂t²=c²∂²p/∂x²，其中c²=1/(∫∂(u²A(x))/∂xdx)，但这不是标准形式。更准确的处理应得到包含A(x)导数的波动方程，标准形式推导需要更复杂的处理或特定假设。此处按题目要求写出推导过程。四、在x=0处，匹配边界条件：p|<0=x,t=p|>0=x,t，u<0=x,t=u>0=x,t。由p(x<0,t)=p0cos(kx-ωt)得x<0处声压p|0⁺=x,t=p0cos(-ωt)=p0cos(ωt)，法向速度u<0=x,t=-ω/kp0sin(kx-ωt)|<0=x,t=-ω/kp0sin(-ωt)=ω/kp0sin(ωt)。在x>0处，设解为p(x>0,t)=p₁cos(kx-ωt)+p₂cos(kx+ωt)，其中p₁,p₂为待定系数。x>0处法向速度u>0=x,t=-ω/k(p₁cos(kx-ωt)+p₂cos(kx+ωt))。匹配边界条件：p₁cos(0)+p₂cos(0)=p0，ω/kp₁sin(0)-ω/kp₂sin(0)=ω/kp0。即p₁+p₂=p0，p₁-p₂=p0。解得p₁=p0/2,p₂=p0/2。因此，x>0区域内的声压为p(x>0,t)=(p₀/2)cos(kx-ωt)+(p₀/2)cos(kx+ωt)。反射波为p_r(x>0,t)=(p₀/2)cos(kx+ωt)，透射波为p_t(x>0,t)=(p₀/2)cos(kx-ωt)。反射波和透射波的振幅均为p₀/2。五、在极坐标系中，连续性方程为∂(ρr)/∂t+∂(ρur)/∂r+∂(ρuθ)/∂θ=0。运动方程为ρ(∂u/∂t+(u·∇)u)=-∇p。径向速度u_r，切向速度u_θ。由于对称性，u_θ=0，∂u_θ/∂θ=0。径向加速度a_r=∂u_r/∂t+u_r∂u_r/∂r。切向加速度a_θ=r∂u_θ/∂t+2u_ru_θ/r=2u_ru_θ/r=0。忽略体积力，运动方程简化为：ρ(∂u_r/∂t+u_r∂u_r/∂r)=-∂p/∂r，ρu_r²/r=-∂p/∂θ。由于对称性，p不依赖于θ，∂p/∂θ=0，故∂p/∂r=0，即p只是r和t的函数。连续性方程简化为∂(ρu_r)/∂t+∂(ρu_r²)/∂r=0。运动方程简化为∂u_r/∂t+u_r∂u_r/∂r=-c²∂²p/∂r²(其中c²=K/ρ)。将连续性方程对时间求导，并利用运动方程消去∂p/∂r，得到：∂²(ρu_r)/∂t²+∂/∂r[ρu_r∂u_r/∂r]=0。整理得到(∂²/∂t²+c²∂²/∂r²)(ρu_r)+∂/∂r(ρu_r∂u_r/∂r)=0。这就是圆形膜振动的偏微分方程。与笛卡尔坐标系中的二维波动方程∂²p/∂t²=c²(∂²p/∂x²+∂²p/∂y²)相比，极坐标形式只涉及r方向的空间导数，并且出现了r的依赖关系（如径向加速度中的r项和连续性方程中的u_r²/r项），求解方法也不同（通常用分离变量法，令u_r(r,t)=R(r)T(t)）。六、格林函数法求解点声源在无限域中产生的声压的基本思路是：利用格林公式将求解区域内的声压解表示为源点处的格林函数与源项的积分。对于稳态声场，声压p满足亥姆霍兹方程∇²p+k²p=-q(r')，其中k=ω/c是波数，q(r')是源分布（点声源时位于原点r'=0）。格林函数G(r,r')满足齐次亥姆霍兹方程∇²G+k²G=δ(r-r')，其中δ是三维狄拉克δ函数。选择合适的无穷远边界条件（如声压趋于零），利用格林公式∫∫∫_V[p∇²G-G∇²p]dV=∫∫∫_Sp(∂G/∂n)dS-∫∫∫_VGqdV，其中V是积分区域，S是V的边界。对于无限域，边界贡献为零（p趋于零），得到p(r)=∫∫∫_∞G(r,r')q(r')dV'。对于点声源q(r')=Qδ(r')，有p(r)=∫∫∫_∞G(r,r')δ(r')dV'=G(r,0)。格林函数G(r,0)代表位于原点的点源在r处产生的声场。在忽略介质吸收的情况下，自由空间中的格林函数G(r,r')=(1/4πr)e^(ik|r-r'|)。因此，点声源Q在r处产生的声压为p(r)=Q(1/4π|r|)e^(ik|r|)。七、将一维波动方程中的c替换为复数c=c'+ic''，方程变为∂²p/∂t²-(c'+ic'')²∂²p/∂x²=0，即∂²p/∂t²-(c'²-c''²+2ic'c'')∂²p/∂x²=0。此方程的解可以表示为p(x,t)=Re{[f₁(x-c't)+f₂(x+c't)]*e^(c''t)}，其中f₁,f₂是任意函数。解的实部p(x,t)=Re{[f₁(x-c't)+f₂(x+c't)]*e^(c''t)}=[f₁(x-c't)+f₂(x+c't)]*cos(c''t)-i[f₁(x-c't)+f₂(x+c't)]*sin(c''t)。可以看出，虽然波速c是复数，波形f₁(x