形如函数y=1.x(x^2-1)的图像示意画法步骤及其性质解读B5

函数y=eq\f(91,x(78x2-12))的图像示意图主要内容：介绍分数函数y=eq\f(91,x(78x2-12))的定义域、值域、单调性、凸凹性、极限等主要函数性质，并通过导数知识求解计算函数的单调区间和凸凹区间，综合函数性质画出该函数图像的示意图。函数定义域：因为y=eq\f(91,x(78x2-12))，所以分母不为0，观察分母函数特征，可知自变量x不为0，且78x2-12≠0，即x2≠eq\f(2,13)，则x1≠-eq\r(eq\f(2,13))≈-0.39，x2≠eq\r(eq\f(2,13))≈0.39。所以函数的定义域为(-∞，-0.39)，(-0.39，0)，(0，0.39)，(0.39，+∞)。由于函数的分子为1，所有该函数y≠0，故函数的值域为(-∞，0),(0，+∞）。函数的单调性：由y=eq\f(91,x(78x2-12))，对x求导得：eq\f(dy,dx)=-91*eq\f((78x2-12)+x*156x,[x(78x2-12)]2)=-91*eq\f(234x2-12,[x(78x2-12)]2),令eq\f(dy,dx)=0,则234x2-12=0，此时有：x3=-eq\r(\f(2,39))≈-0.23，x4=eq\r(\f(2,39))≈0.23。所以函数的单调性及单调区间为：(1)当x∈(-∞，-0.39)，(-0.39，-0.23]，[0.23，0.39)，(0.39，+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,函数为增函数。(2)当x∈(-0.23，0)，(0，0.23）时，eq\f(dy,dx)<0,函数为减函数。函数的凸凹性：由eq\f(dy,dx)=-91*eq\f(234x2-12,[x(78x2-12)]2)，再次对x求导得，eq\f(d2y,dx2)=-91*eq\f(468x[x(78x2-12)]2-2(234x2-12)[x(78x2-12)](78x2-12+156x2),[x(78x2-12)]4)=-91*eq\f(468x2(78x2-12)-2(234x2-12)(234x2-12),[x(78x2-12)]3)=91*eq\f(2[234x2(78x2-12)-(234x2-12)2],[x(78x2-12)]3)=91*eq\f(144(507x4-39x2+2),[x(78x2-12)]3),对于g(x)=507x4-39x2+2看做x2的二次函数，判别式=392-4*507*2<0,即分子为正数，所以eq\f(d2y,dx2)的符号取决于分母。(1)当x∈(-0.39，0)，(0，0.39)时，eq\f(d2y,dx2)>0，函数y为凹函数；(2)当x∈(-∞，-0.39)，(0.39，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)<0,此时函数y为凸函数。函数的极限:lim(x→-∞)eq\f(91,x(78x2-12))=0，lim(x→0-)eq\f(91,x(78x2-12))=-∞，lim(x→0+)eq\f(91,x(78x2-12))=+∞，lim(x→+∞)eq\f(91,x(78x2-12))=0，lim(x→-0.39-)eq\f(91,x(78x2-12))=-∞，lim(x→-0.39+)eq\f(91,x(78x2-12))=+∞，lim(x→0.39-)eq\f(91,x(78x2-12))=-∞，lim(x→0.39+)eq\f(91,x(78x2-12))=+∞，函数的奇偶性因为f(x)=eq\f(91,x(78x2-12)),所以f(-x)=eq\f(91,(-x)[78(-x)2-12])，即：f(-x)=-eq\f(91,x(78x2-12))=-f(x).所以函数为奇函数，关于原点对称。函数五点图表x-1.37-1.17-0.98-0.78-0.5978x2-12134.494.862.935.515.2y-0.494-0.820-1.476-3.286-10.147x-0.31-0.27-0.23-0.12-0.0978x2-12-4.5-6.3-7.9-10.9-11.4y65.2353.5050.0869.5788.69x0.090.180.230.270.3178x2-12-11.37-9.47-7.87-6.31-4.50y-88.93-53.38-50.27-53.41-65.23x0.590.780.981.171.3778x2-1215.235.562.994.8134.4y10.1473.2861.4760.8200.494函数的示意图f(x)=eq\f(91,x(78x2-12))y(-0.09,88.69)(-0.31,65.23)(-0.23,50.08)(0.59,10.147)（-1.37,