2025年东三省3模数学试题及答案

2025年东三省3模数学试题及答案

一、单项选择题1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2-ax+a-1=0\}\)，且\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2或32.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的一条对称轴方程是（）A.\(x=\frac{\pi}{12}\)B.\(x=-\frac{\pi}{12}\)C.\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(x=-\frac{\pi}{6}\)3.已知\(a=\log_20.3\)，\(b=2^{0.1}\)，\(c=0.2^{1.3}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a<b<c\)B.\(a<c<b\)C.\(c<a<b\)D.\(b<c<a\)4.若直线\(ax+by+c=0\)经过第一、二、四象限，则（）A.\(ab>0\)，\(bc<0\)B.\(ab>0\)，\(bc>0\)C.\(ab<0\)，\(bc<0\)D.\(ab<0\)，\(bc>0\)5.已知\(\triangleABC\)中，\(\overrightarrow{AB}=a\)，\(\overrightarrow{AC}=b\)，若\(|\overrightarrow{AB}|=3\)，\(|\overrightarrow{AC}|=4\)，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，则\(|a-b|\)等于（）A.5B.\(\sqrt{13}\)C.\(\sqrt{21}\)D.76.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{3}{2}\)7.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x>0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(x)\)在\(R\)上的解析式为（）A.\(f(x)=x(x-2)\)B.\(f(x)=\begin{cases}x(x-2),x\geq0\\-x(x+2),x<0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}x(x-2),x>0\\0,x=0\\-x(x+2),x<0\end{cases}\)D.\(f(x)=-x(x+2)\)8.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)若\(S_5=10\)，\(S_{10}=30\)，则\(S_{15}\)等于（）A.60B.70C.80D.909.已知圆\(C\)：\((x-3)^2+(y-4)^2=1\)和两点\(A(-m,0)\)，\(B(m,0)\)（\(m>0\)），若圆\(C\)上存在点\(P\)，使得\(\angleAPB=90^{\circ}\)，则\(m\)的最大值为（）A.7B.6C.5D.410.已知函数\(y=f(x)\)的图象与函数\(y=\log_3x\)（\(x>0\)）的图象关于直线\(y=x\)对称，则\(f(x)=\)（）A.\(3^x\)B.\(-3^x\)C.\(\log_3(-x)\)D.\(-\log_3x\)答案：1.C2.B3.B4.C5.C6.A7.C8.A9.B10.A二、多项选择题1.下列函数中，既是偶函数又在\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=|x|+1\)C.\(y=-x^2+1\)D.\(y=2^{|x|}\)2.已知向量\(a=(1,2)\)，\(b=(2,-2)\)，\(c=(1,\lambda)\)，若\(c\parallel(2a+b)\)，则\(\lambda\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(-\frac{1}{3}\)3.已知\(m\)，\(n\)是两条不重合的直线，\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，则\(m\paralleln\)B.若\(m\parallel\alpha\)，\(m\perp\beta\)，则\(\alpha\perp\beta\)C.若\(\alpha\parallel\beta\)，\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，则\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，则\(\alpha\perp\beta\)4.已知椭圆\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点分别为\(F_1\)，\(F_2\)，离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，过\(F_2\)的直线\(l\)交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，若\(\triangleAF_1B\)的周长为\(4\sqrt{3}\)，则椭圆\(C\)的方程为（）A.\(\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\)B.\(\frac{x^2}{3}+y^2=1\)C.\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1\)D.\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\)5.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^{x-1},x\leq1\\\log_2(x+3),x>1\end{cases}\)，则满足\(f(x)\geq2\)的\(x\)的取值范围是（）A.\([1,+\infty)\)B.\((-\infty,1]\cup[1,+\infty)\)C.\([1,5]\)D.\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)6.已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2S_n+1\)，则下列结论正确的是（）A.数列\(\{a_n\}\)是等比数列B.\(a_n=3^{n-1}\)C.\(S_n=\frac{3^n-1}{2}\)D.\(S_{n+1}=3S_n\)7.已知函数\(y=f(x)\)的导函数为\(f^\prime(x)\)，且满足\(f(x)=2xf^\prime(1)+\lnx\)，则\(f^\prime(1)\)等于（）A.\(-e\)B.\(-1\)C.1D.\(e\)8.已知圆\(C\)：\(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)，直线\(l\)：\(3x-4y+k=0\)，若圆\(C\)上存在两点到直线\(l\)的距离为\(1\)，则\(k\)的取值范围是（）A.\((-17,-7)\)B.\((3,13)\)C.\((-17,-7)\cup(3,13)\)D.\([-17,-7]\cup[3,13]\)9.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)\)（\(\omega>0\)，\(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\)）的图象过点\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，且相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，则下列结论正确的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\frac{\pi}{6}\)对称C.\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{5\pi}{12},0)\)对称D.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{{6}}]\)上单调递增10.已知\(P\)是双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)）右支上一点，\(F_1\)，\(F_2\)分别是双曲线的左、右焦点，\(I\)为\(\trianglePF_1F_2\)的内心，若\(S_{\triangleIPF_1}=S_{\triangleIPF_2}+\lambdaS_{\triangleIF_1F_2}\)成立，则\(\lambda\)的值为（）A.\(\frac{a}{c}\)B.\(\frac{c}{a}\)C.\(\frac{b}{c}\)D.\(\frac{c}{b}\)答案：1.BD2.A3.BD4.A5.D6.ABC7.B8.C9.ACD10.A三、判断题1.若\(a\inR\)，则\((a+1)i\)是纯虚数。（）2.若\(x\inA\capB\)，则\(x\inA\)且\(x\inB\)。（）3.函数\(y=\sinx\)在第一象限是增函数。（）4.若直线\(l_1\)：\(ax+3y+1=0\)与直线\(l_2\)：\(2x+(a+1)y+1=0\)平行，则\(a=-3\)。（）5.若\(a>b\)，则\(ac^2>bc^2\)。（）6.已知向量\(a=(1,2)\)，\(b=(2,3)\)，若\((a+\lambdab)\parallelc\)，\(c=(3,-4)\)，则\(\lambda=2\)。（）7.若\(f(x)\)是奇函数，则\(f(0)=0\)。（）8.等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，则公比\(q=2\)。（）9.椭圆\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率为\(\frac{4}{5}\)。（）10.若函数\(y=f(x)\)的定义域为\([0,2]\)，则函数\(y=f(2x)\)的定义域为\([0,1]\)。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.×6.×7.×8.√9.√10.√四、简答题1.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)，求\(f(x)\)的最小正周期和单调递增区间。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_{10}=100\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式和前\(n\)项和公式。3.已知抛物线\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，过点\(F\)的直线与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，求证：\(y_1y_2=-p^2\)。4.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求函数\(f(x)\)在区间\([-1,3]\)上的最大值和最小值。答案：1.\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\cos(2x-\frac{\pi}{3})=\sin2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos2x\sin\frac{\pi}{6}+\cos2x\cos\frac{\pi}{3}+\sin2x\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\sin2x\)，最小正周期\(T=\pi\)，单调递增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}](k\inZ)\)。2.设等差数列\(\{a_n\}\)公差为\(d\)，由\(a_3=5\)，\(S_{10}=100\)可得\(\begin{cases}a_1+2d=5\\10a_1+\f