2025年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷(含答案)

2025年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）在﹣2、-2A．﹣2 B．-2 C．0 2．（3分）下列运算正确的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．3a+3b＝9ab C．2（a+5）＝2a+5 D．a3•a2＝a63．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（）A．13 B．12 C．235．（3分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（）A．57° B．66° C．67° D．74°6．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间是反比例函数关系（其中x，y均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距x的取值范围是（）A．x＞1 B．0＜x＜1 C．0＜x＜0.1 D．x＞0.17．（3分）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．138．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BC＝5，AC＝6，则AE的长是（）A．245 B．6 C．4859．（3分）关于x的方程（x﹣a）（x+2）＝1（a为常数）根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）8的立方根是．12．（3分）写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标：．（任写一个只要符合条件即可）13．（3分）化简m2m-n14．（3分）如图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为cm．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝40°，AC=3，BC=32，点D在边BC上，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，连接AC′并延长，交CB的延长线于点F，若∠BAF＝2∠DAB，则线段三、解答题：本大题共8小题，16～18题每题7分，19～21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分。16．（7分）求值：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3），其中a=-1117．（7分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线．（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD、BC分别交于点E、F（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BF＝DE．18．（7分）近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称DeepSeek）开发的AI大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为x条（x＞2000），训练时间为y分钟．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量．19．（9分）某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下：（1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由．（2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，如表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：评委1评委2评委3评委4评委5平均分众数中位数方差王丽48878788m李英76.9777.177n0.004①表格中m＝，n＝；②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？20．（9分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，因此8，16都是“正巧数”．（1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：；（2）已知x，y为正整数，且x＞y，若（x+3）（x﹣3）+y2﹣2xy是“正巧数”，求xy的最小值．21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过点O作OE∥AB，交AC于点E，连接ED并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若BD＝4，sinF=13，求22．（13分）综合与实践汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列．学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线AC对折一次，得到图2，对角线AC分别与折痕EH、FI、GJ的交点K、L、M即为对角线AC的四等分点．（1）求证：K为对角线AC的四等分点；（2）请在图2中画出AB的三等分点（不写作法，保留作图痕迹），并证明；（3）请在图3中用与（2）不同的方法作（或画）出AB的一个三等分点．（要求：写出简要方案并作（或画）图，不用证明，但要保留作（或画）图痕迹）．23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，与过点C（0，5）的直线CD交于点M（m，4）．（1）求点M的坐标和直线CD的表达式；（2）在直线CD上存在一点N，使得△BMN的面积是△AOB的面积的4倍，求点N的坐标；（3）如图2，点P是直线CD在第二象限图象上的一点，且点P在点M的下方，作射线BP，把射线BP绕点B顺时针旋转90°，得到射线BP′，在射线BP′上取一点Q，连接PQ，使得∠PQB＝∠MBP，当△PBQ为等腰直角三角形时，求出此时BP的长度．

2025年广东省佛山市南海区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AACCBDCAAD一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）在﹣2、-2A．﹣2 B．-2 C．0 【解答】解：﹣2＜-2最小的数是﹣2．故选：A．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．3a+3b＝9ab C．2（a+5）＝2a+5 D．a3•a2＝a6【解答】解：A．（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；B.3a+3b不能合并同类项，故本选项不符合题意；C.2（a+5）＝2a+10，故本选项不符合题意；D.5a3•a2＝a5，故本选项不符合题意．故选：A．3．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，是不中心对称图形，故此选项不符合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（3分）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（）A．13 B．12 C．23【解答】解：由电路图可知，闭合开关S1和S3或S2和S3时，小灯泡发光．列表如下：S1S2S3S1（S1，S2）（S1，S3）S2（S2，S1）（S2，S3）S3（S3，S1）（S3，S2）共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有：（S1，S3），（S2，S3），（S3，S1），（S3，S2），共4种，∴使得小灯泡发光的概率为46故选：C．5．（3分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠ADE的度数为（）A．57° B．66° C．67° D．74°【解答】解：∵AB∥DE，∴∠BCE＝∠DEC，∵∠BCE＝67°，∴∠DEC＝67°，∵∠CEF＝133°，∴∠DEF＝∠CEF﹣∠DEC＝133°﹣67°＝66°，∵AD∥EF，∴∠ADE＝∠DEF＝66°，故选：B．6．（3分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间是反比例函数关系（其中x，y均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距x的取值范围是（）A．x＞1 B．0＜x＜1 C．0＜x＜0.1 D．x＞0.1【解答】解：根据题意，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y=k∵点（0.1，100）在此函数的图象上，∴k＝0.1×100＝10，∴y=10x（∵y＜100，∴10x∵x＞0，∴100x＞10，∴x＞0.1，即镜片焦距x的取值范围是x＞0.1米，故选：D．7．（3分）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角∠ACB＝15°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：∵AB＝CB，∠ACB＝15°，∴∠ABC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，设这个正多边形为正n边形，则(n-2)×180解得n＝12，经检验n＝12是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形，故选：C．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BC＝5，AC＝6，则AE的长是（）A．245 B．6 C．485【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB=B∴BD＝2OB＝8．∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD＝BC•AE=12AC•BD∴5AE＝24，∴AE=24故选：A．9．（3分）关于x的方程（x﹣a）（x+2）＝1（a为常数）根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：方程化为一般式为x2+（2﹣a）x﹣2a﹣1＝0，∵Δ＝（2﹣a）2﹣4×1×（﹣2a﹣1）＝a2+4a+8＝（a+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．10．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝a（x+1）2（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2【解答】解：∵y＝a（x+1）2（a＜0），∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大．∴C（2，y3）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣4，y3），∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y1＞y3，故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）8的立方根是2．【解答】解：∵23＝8，∴8的立方根是2．故答案为：2．12．（3分）写出一个直角坐标系中第二象限内点的坐标：（﹣1，1）．（任写一个只要符合条件即可）【解答】解：第二象限内点的坐标（﹣1，1）（任写一个只要符合条件即可）．故答案为：（﹣1，1）．13．（3分）化简m2m-n+n2n-m【解答】解：m=m=m=(m-n)(m+n)＝m+n．故答案为：m+n．14．（3分）如图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为94.8cm．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【解答】解：如图2，过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，则∠AEC＝∠BFD＝90°，∵AC＝BD＝80cm，∠ACP＝∠BDQ＝32°，sin∠ACE=AEAC=sin32°≈0.53，sin∠∴AE＝BF≈0.53×80＝42.4（cm），∴通过闸机的物体的最大宽度为2AE+AB≈2×42.4+10＝94.8（cm），故答案为：94.8．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝40°，AC=3，BC=32，点D在边BC上，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，连接AC′并延长，交CB的延长线于点F，若∠BAF＝2∠DAB，则线段BF的长为【解答】解：设∠DAB＝α，则∠BAF＝2α，由折叠可得：∠CAD＝∠DAF＝3α，∴∠CAB＝4α＝40°，∴α＝10°，∴∠CAD＝∠DAF＝30°，又∵∠C＝90°，∴∠ADC＝60°，∴∠F＝∠ADC﹣∠CAF＝30°，∴AD＝DF，在Rt△ACD中，AC=3，∠CAD∴AD＝2CD，由勾股定理得：（2CD）2＝CD2+AC2，即（2CD）2＝CD2+（3）2，解得：CD＝1，∴AD＝2＝DF，又∵CB=3∴DB＝CB﹣CD=32-∴BF＝DF﹣DB＝1-1故答案为：32三、解答题：本大题共8小题，16～18题每题7分，19～21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分。16．（7分）求值：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3），其中a=-11【解答】解：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3）＝a2+2a+1﹣a2+3a+2a﹣6＝7a﹣5，当a=-117时，原式＝7×（17．（7分）如图，在▱ABCD中，BD是对角线．（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD、BC分别交于点E、F（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BF＝DE．【解答】（1）解：直线EF即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF垂直平分线段BD，∴OD＝OB，∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴BF＝DE．18．（7分）近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称DeepSeek）开发的AI大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为x条（x＞2000），训练时间为y分钟．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量．【解答】解：（1）根据题意得：y=x-2000100×3∴y关于x的函数关系式为y=3100x﹣60（（2）在y=3100x﹣60中，令y＝45得45=解得x＝3500，∴训练的总时间为45分钟，使用的数据总量是3500条．19．（9分）某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下：（1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由．（2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，如表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：评委1评委2评委3评委4评委5平均分众数中位数方差王丽48878788m李英76.9777.177n0.004①表格中m＝2.4，n＝7；②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？【解答】解：（1）小芳同学的分析不正确，由统计图知，确定比小芳成绩高的只有3人，成绩在6～8分的虽然有6人，但不明确比6.5分高的人数，所以小芳同学的分析不正确；（2）①m=15×[（4﹣7）2+（7﹣7）2n＝7，故答案为：2.4，7；②选择李英参加更合适，因为两人成绩的平均数相等，而李英成绩的方差小于王丽，所以李英成绩更加稳定（答案不唯一，合理均可）．20．（9分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，因此8，16都是“正巧数”．（1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：32（答案不唯一）；（2）已知x，y为正整数，且x＞y，若（x+3）（x﹣3）+y2﹣2xy是“正巧数”，求xy的最小值．【解答】解：（1）∵32＝92﹣72，∴32是“正巧数”．∴30到50之间的一个“正巧数”可以是：32．故答案为：32（答案不唯一）；（2）（x+3）（x﹣3）+y2﹣2xy＝x2﹣9+y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2﹣9＝（x﹣y）2﹣32，∵若（x+3）（x﹣3）+y2﹣2xy是“正巧数”，∴x﹣y＝5，∵x，y为正整数，且x＞y，∴x＝6，y＝1时，xy取得最小值，∴xy的最小值＝1×6＝6．21．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过点O作OE∥AB，交AC于点E，连接ED并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若BD＝4，sinF=13，求【解答】（1）证明：连接CD，OD，∵BC为直径，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵OE∥AB，OB＝OC，∴AE＝CE，∴DE＝AE＝CE=1在△ODE与△OCE中，OD=OCDE=CE∴△ODE≌△OCE（SSS），∴∠ODE＝∠ACB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，OD⊥EF，∴∠FDO＝90°，∵sinF=OD∴设OD＝OB＝x，OF＝3x，∴BF＝2x，∵BD∥OE，∴△BDF∽△OEF，∴BDOE∴4OE∴OE＝6．22．（13分）综合与实践汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列．学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线AC对折一次，得到图2，对角线AC分别与折痕EH、FI、GJ的交点K、L、M即为对角线AC的四等分点．（1）求证：K为对角线AC的四等分点；（2）请在图2中画出AB的三等分点（不写作法，保留作图痕迹），并证明；（3）请在图3中用与（2）不同的方法作（或画）出AB的一个三等分点．（要求：写出简要方案并作（或画）图，不用证明，但要保留作（或画）图痕迹）．【解答】（1）证明：根据题意知AE＝EF＝FG＝GB，EH∥FI∥GJ∥BC，∴AEAB∵EK∥BC，∴AKAC∴K为对角线AC的四等分点；（2）解：连接BM，过L作LP∥BM交AB于P，过K作KQ∥BM交AB于Q，如图：点Q，P即为线段AB的三等分点；证明：由（1）可得AK＝KL＝LM=13∵LP∥BM，KQ∥BM，∴AQAB=AK∴Q，P为线段AB的三等分点；（3）解：折出AB的中点F，连接DF，AC交于R，过R作RT∥BC交AB于T，如图：点T即为AB的一个三等分点．23．（14分）如图1，在平面