高二数学第一次月考卷02（全解全析）

20252026学年高二数学上学期第一次月考卷02（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教版2019选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过两点的直线的倾斜角为（）A.B.C.D.1.【答案】C【解析】由题意知，经过的直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C2．设直线，，则是的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.【答案】C【解析】当时，直线，，此时，则，所以，故充分性成立；/当时，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：C.3．若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（）A.若，则1B.若，则2C.若，则D.若，则3.【答案】D【解析】对于A，由，得，则，解得，A错误；对于B，由，得，则，解得，B错误；对于C，由，得，，，则或，C错误；对于D，由，得，，，则，D正确.故选：D4．已知直线与直线平行，则这两条平行直线间的距离为（）A.B.C.D.4.【答案】B【解析】由题意可得，则，解得，经检验符合题意，可得直线与直线，整理可得，两直线之间的距离.故选：B.5．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）/C.D.5.【答案】B【解析】.故选：B.6．已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.【答案】A【解析】直线过定点，作出图像如下图所示：，，直线的斜率为，若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即.故选：A/交平面于点，且，则的最小值为（）A.B.C.1D.7.【答案】C【解析】∵，∴．∵，∴．∵四点共面，∴，即．∵，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为1．故选：C8．已知，，，，，一束光线从F点出发射到上的D点经反射后，再经反射，落到线段斜率的取值范围是（）A.B.C.D.8.【答案】D/【解析】已知，，，则直线方程为，直线方程为如图，作关于的对称点，，解得，故，再作关于的对称点，则，得，连接，连接交与点，则直线方程为，得，连接、分别交为点、，则直线方程为，得，直线的斜率，方程为，与直线联立方程组，解得，连接，，则，之间即为点的变动范围．直线方程为，斜率为0，直线的斜率为，所以斜率的范围为，/故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题618分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A.若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为B.经过点，的直线方程均可用表示C.若对空间中任意一点有，则，，，四点共面D.当点到直线的距离最大时，的值为19.【答案】ABDA.由是直线的一个方向向量得是直线的方向向量，所以，选项A正确；B.经过点，的直线方程均可用表示，选项B正确；对于C项：因为，所以，所以，即，所以，，，四点共面，故C正确；D.将直线方程变形为，由得，直线过定点，斜率为.当直线与垂直时，点到直线的距离最大.因为，所以，选项D错误；故选：ABC.10．已知点，且点在直线上，则（）/A.存在点，使得B.存在点，使得C.的最小值为D.若，则的最小值为110.【答案】BC【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，与不垂直，同理时与不垂直，当且时，若，则，去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误；对于B：设，若，则，即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当三点共线时取等号（在线段C正确：/对于D，因为，当时等号成立，所以的最小值为1，故D错误.故选：BC.中，是边长为3正方形，下列选项正确的有（）A.，三棱锥的体积是定值B.当时，存在唯一使得平面C.当时，的周长取得最小值D.当直线与所成角的余弦值为时，的值为.【答案】ACD【解析】对于A，由于平面，故E到平面的距离为定值3，而的面积为，故三棱锥的体积为，为定值，A正确；对于B，当时，，若平面，而平面，故，设，则，，即，，即，解得，即当时，上存在两个不同的点E，使得平面，由于，即存在不同的使得平面，B错误；/对于C，如图，将四边形展开到一个平面上，连接，交于E点，由于，故为三角形的中位线，即E为的中点，则，此时的值最小，即的周长取得最小值，C正确；对于D，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，由于，故，则，故，则，解得D正确，故选：ACD共三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为为__________________./【解析】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则①，则直线过原点，则直线方程为：②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为：综上所述：该直线方程为或故答案为：或13．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______．13.【答案】【解析】如图，分别取，则，且，而由，，/设与的所成角为，则.故答案为：.14．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______.14.【答案】【解析】在正三棱柱中，在平面内过A作，显然射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，/，因动点P在线段上，则令，即有点，，，，因此点P到直线的距离，当且仅当时取等号，所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）已知向量，，．（1）若，求；（2）若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值．15.（13分）1）已知，，可得,解得.所以，则.根据向量模的计算公式可得.（2）已知，，,先求出.因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面.即存在实数，使得，则/.由此可得方程组由可得，将其代入中，得到，解得.把代入，可得.再把，代入，可得，解得.16.（15分）△ABC的顶点A，B的坐标分别为．（1）求线段AB中垂线在x轴上的截距；（2）若点C的坐标为，求△ABC垂心的坐标．16.（15分）1）∵△ABC的顶点A，B的坐标分别为，∴AB中点是，直线AB的斜率是，∵线段AB中垂线与线段AB垂直，∴线段AB中垂线的斜率是，∴线段AB的中垂线方程是，即x－3y＋3＝0，令y＝0，得x＝－3，即线段AB的中垂线在x轴上的截距为3；（2）∵，∴AB边上的高所在直线的斜率为，∵，∴AB边上的高所在直线的方程为，即x－3y=0，∵，∴AC边上的高所在直线的斜率为，∵，∴AC边上的高所在直线的方程为，即2x＋3y19=0，/联立x－3y=0和2x＋3y19=0，得，，∴△ABC垂心的坐标为1715分）如图，四棱锥中，平面，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17.（15分）1）取的中点，连接，因为是的中点，所以．又因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．/（2）由题意：平面系，又因为，是的中点，所以点的坐标为，，，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，由，可得，令，则，所以．所以，平面与平面所成二面角的余弦值为．（3）设，且，，则，设平面的法向量为，则，可得，令，所以．因为点到平面的距离为，/所以，解得，所以存在点，使得点到平面的距离为，此时．1817分）在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为.（1）求直线经过的定点的坐标；（2）证明：；（3）是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.18.（17分）方程化为，由解得，所以直线经过的定点.（2）（法一）过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、，则矩形的面积，而的面积大于矩形的面积，所以.（法二）由题意，得，令，得，则，令，得，则，所以的面积/当且仅当，即时取等号.所以的面积.（3）由得，假设存在直线，使得，即存在直线，使得，由同一三角形面积相等可得此时，由得直线斜率，直线的方程为，即.1917分）如图，在四棱锥中，，，，.（1）求证：平面；（2）过直线与线段的中点E的平面与线段交于点F.（i）试确定F点位置；（ii）若H点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值.19.（17分）/连接、，设，连接，，，，，则，，即是的角平分线，，，，平面，平面（2）平面，平面，，因为，，，所以，，则，，，所以，，所以，，即，，平面，所以平面