【课件】抛物线的简单几何性质+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.理解抛物线的简单几何性质，体现逻辑推理能力（重点）2.能利用抛物线的性质解决相关问题，体现数学计算能力（难点）1新课导入类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应该研究抛物线

y2＝2px(p＞0)，①的哪些几何性质？如何研究这些性质？新课学习抛物线的性质1.范围因为

p＞0，由方程①可知，对于抛物线上的点

M(x，y)，x≥0,y∈R．当x＞0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，|y|的值也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.新课学习抛物线的性质2.对称性(x,y)(x,-y)lFMKOyx以-y代y，方程①不变，所以抛物线关于x轴对称.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.注意：抛物线只有一条对称轴．3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．当时x=0时，y=0，因此抛物线的顶点就是原点.顶点新课学习34抛物线的性质4.离心率物线上的点M到焦点F的距离和它到准线的距离d的比叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e

=1．lFMKOyxd新课学习

y2＝2px(p＞0)因为点

M在抛物线上，所以

解得

p＝2．因此，所求抛物线的标准方程是

y2＝4x．新课学习

有两条．(1)当焦点在x轴上时，焦点只能在x轴的正半轴上，正是例3中的情况，求得的标准方程为

y2＝4x；

新课学习例4:斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出|AB|．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求|AB|．新课学习例4:斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．下面介绍另一种方法——数形结合的方法由此可知，只要求出点A，B的横坐标之和x1+x2，就可以求出|AB|.新课学习例4:斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．如图，设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为

dA，dB．由抛物线的定义，可知

|AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1，于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2．因为直线

l的斜率为1，且过焦点

F(1，0)，所以直线

l的方程为

y＝x－1.新课学习例4:斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．将①代入方程

y2＝4x，得(x－1)2＝4x，化简，得

x2－6x＋1＝0．所以x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8．所以，线段

AB的长是8．新课学习如果直线l不经过焦点F，|AB|还等于x1+x2吗？FABxylO设直线l经过x轴上任意一点(m,0)，其中m≠1，则直线l的方程为y=x-m.直线与抛物线的y2＝4x的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),显然|FA|+|FB|=x1+1+x2+1=x1+x2+2>|AB|.联立直线l的方程y=x-m与抛物线的标准方程y2＝4x可得x2-(2m+4)x+m2=0AB的长为因为(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=(2m+4)2-4m2=16m+16，所以(y2-y1)2=(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=16m+16因此长度与m紧密关联.新课学习拓展：抛物线的焦点弦的概念：如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦.由抛物线的焦半径公式，易得FABxyO新课学习拓展：抛物线的通径的概念：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，如图所示.p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄.FABxyO新课学习例5:经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可．新课学习例5:经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy．设抛物线的方程为

y2＝2px(p＞0)，①新课学习联立①④，消去

x，可得y0y2－(y0

2-p2)y－y0

p2＝0，即(y－y0)(y0y＋p2)＝0，可得点

B的纵坐标为

，与点

D的纵坐标相等，于是

DB平行于

x轴．当y0

2＝p2时，易知结论成立．所以，直线

DB平行于抛物线的对称轴．新课学习你还有其他的方法吗？设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程y=x-1与抛物线的标准方程y2=4x,联立可得x2-6x+1=0

因此新课学习例6:如图，已知定点

B(a,－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点

D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程.设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m)．由题意，直线OB的方程为

因为点

M在

OB上，将点

M的坐标代入①，得

新课学习所以点P的横坐标x满足②．直线OE的方程为因为点

P在

OE上，所以点

P的坐标(x，y)满足③．将②代入③，消去

m，得

即点P的轨迹方程．新课学习例6中，设点B关于y轴的对称点为A，则点P的轨迹方程是什么？有什么应用？对应的轨迹是常见的抛物拱AOB(如下图一).抛物拱在现实中有许