江苏省盐城市七校联盟2026届高三上学期第二次学情检测试题 数学 含解析

2025/2026学年度第一学期七校联盟第二次学情检测高三数学试题2025.10注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷；2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（）A. B. C.1 D.【答案】C【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为，故选：C.2.已知命题，，则（）A.，，且是真命题B.，，且是真命题C.，，且是假命题D.，，且是假命题【答案】D【详解】设，则，得函数在上单调递增，则，得，则命题是真命题，得是假命题，且，，故选：D3.已知，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由，，得，，若，则，解得.故选：B.4.为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（）A. B. C. D.【答案】C【详解】解：10.0级地震释放的能量为，则，6.0级地震释放的能量为，则，所以，，则．故选：C．5.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】由两边平方可得①，由两边平方可得②，①+②得：，整理得，即，又因为，所以.故选：A6.“，为正数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当时，，故“，为正数”是“”的不充分条件当时，满足，但不满足，为正数，故“，为正数”是“”的不必要条件综上：“，为正数”是“”的既不充分也不必要条件故选：D7.若对任意实数，函数在上至少有五个不同的零点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】函数的最小正周期为，由于函数在上至少有五个不同的零点，故需满足，即，即的最小值为，故选：B8.函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】因为函数满足：对均有，所以在上单调递增，又函数为偶函数，所以在上单调递减，所以不等式可化为，恒成立，所以，，即，，由，，，由，，，综上，.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（）A. B.C. D.【答案】AC【详解】取，对于A，显然，等号仅在时成立，则有，故A正确；对于B，令，则，故B错误；对于C，因为，所以，则，等号仅在时成立，故C正确；对于D，令，因为，则，故D错误.故选：AC10.如图，函数（，，）在一个周期内的图象，则下列说法正确的是（）A.函数的值域为B.函数的对称轴方程为C.是函数图象的一个对称中心D.函数的减区间是【答案】ABD【详解】由图可知,,所以，所以，将点代入得：，所以，又，所以，所以，所以函数的值域为，故A正确；因为的对称轴为,令所以函数的对称轴方程为，故B正确；因为的对称中心为,令所以不是函数图象的一个对称中心，故C错误；因为的单调递减区间为,令函数的减区间是，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，则（）A.是的极值点B.函数的图象是一中心对称图形C.函数存在零点D.总有【答案】BCD【详解】令，由知其定义域为，因为，所以为奇函数，所以关于点对称，所以关于点对称，故B正确；令，则，所以在单调递增，又在单调递增，所以函数在上单调递增，则不是的极值点，故A错误；因为函数在上单调递增，且当趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，趋向于正无穷大，即趋向于正无穷大；当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，趋向于负无穷大，即趋向于负无穷大；所以由零点存在性定理可知函数存在零点，故C正确；不妨设，因函数在上单调递增，所以，则等价于，即，令，则，只需函数为非减函数即可，，则，由题意，有成立；即，，构造，令，，则，因为，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，总有，故D正确．故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知全集，集合，或，则集合________.【答案】详解】由题意可得，而，故，故答案为：13.已知函数，若的值域为，则实数的最小值为______.【答案】【详解】由函数的值域为，得的值域包含，当时，显然不满足题意，故，则函数，图象开口向上，且与轴有公共点，于是，解得，所以实数的最小值为.故答案为：14.已知函数，，若恒成立，则的取值范围是____________.【答案】【详解】由于恒成立，则在上恒成立；令,当时，，所以的解为：，不满足条件；当时，令，解得：,,当时，若，则，不符合题意；当时，若，则，不符合题意；当时，在上恒成立；所以要使在上恒成立，则，即,所以，令，则,当时，,在上单调递增；当时，,在上单调递减；所以，当时，，当时，，所以的取值范围是：故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知幂函数在上单调递增，.（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【小问1详解】由题意可知，，解得或，又在上单调递增，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以，当时，，即，令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因，所以时，，即函数的值域为.16.在中，角，，的对边分别为，，，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④.（1）问满足的是哪三个条件？请列举出来，并说明理由；（2）求的面积.【答案】（1）①③④（2）【小问1详解】满足的条件是①③④；若，则，若，则，由，则条件①和②不可能同时满足，故③和④都满足，由，不可能为钝角，从而条件②不能满足，故满足的条件是①③④.【小问2详解】由（1）可得，由余弦定理，，化简得，解得：或（舍去），的面积为：．17.已知复数，，其中为虚数单位，.（1）若是实数，求的值；（2）设复数，对应的向量分别是，，若，求的值.【答案】（1）（2）【小问1详解】因是实数，则，即，又，，则，即，此时；【小问2详解】由题意可知，则，，因为，所以，即，又因为，所以，故则，所以18.已知数列前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析.【小问1详解】当时，，当时，，化简得：，当时，，所以；【小问2详解】（ⅰ）当时：，，，，因为，所以，当时：；.（ⅱ）当时：，计算（，）：所以；​所以当时，单调递增；

所以当时，，当时，，当时，，当时：，计算（，）：，因为（），所以，

所以当时，单调递减，

所以，由，解得，此时.19.已知函数，.（1）若函数过点，求函数在点的切线方程；（2）若函数在上为单调递增函数，求的取值范围；（3）设，求证：.【答案】（1）（2）