【课件】完全平方公式-第1课时完全平方公式++++课件+2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何意义.2.灵活应用完全平方公式进行计算.多项式乘多项式(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn平方差公式(a+b)(a－b)=a2+b2？一般形式特殊形式这节课我们一起来学习另一种特殊形式.回

顾m2－4m+4(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=

；(2)(m+2)2=(_____)(_____)=

；(3)(p－1)2=(_____)(_____)=

；(4)(m－2)2=(_____)(_____)=

.p2－2p+1探

究

计算下列多项式的积，你能发现什么规律？m+2m+2p－1p－1m－2m－2p2+2p+1m2+4m+4①积为二次三项式.②积中两项为两数的平方和.③另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，因为(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

(a－b)2=(a－b)(a－b)=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2归纳总结所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.(a+b)²=a²+2ab+b²是多项式乘法(a+b)·(p+q)中p=a，q=b的特殊情形.(a+b)2=a2+2ab+b2(a－b)2=a2－2ab+b2公式特征：1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同；4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式或多项式.归纳总结口诀：首平方加尾平方，首尾乘积二倍放中央思

考

你能根据图(1)、图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗?图(1)图(2)分析：

S总

=S①+S②+S③+S④.①②③④=+++a2ababb2=(a+b)2(a+b)2=

.和的完全平方公式：a2+2ab+b2图(1)分析：

S①

=S总－S②

－S③+S④.=－－＋a2ababb2=(a－b)2(a－b)2=

.差的完全平方公式：a2－2ab+b2图(2)①④②③例1计算：(1)(4m+n

)2；

(2)

解：(1)(4m+n

)2

=(4m)2+2·(4m)·n+n2

=16m2+8mn+n2；(2)A．3B．±3C．6D．±6变

式

若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(

)C解：(1)102

2=(100+2)2

=1002+2×100×2+22

=10404；例2运用完全平方公式计算：(1)102

2；

(2)99

2.

(2)992=(100－1)2

=1002－2×100×1+12

=9801.拓展思考

表示阴影部分的面积，并得出等式.ab方法一：S阴影部分=S小正方形=(a－b)2方法二：S阴影部分=S大正方形－4·S小长方形=(a+b)2－4ab所以得到等式(a－b)2=(a+b)2－4ab归纳总结①a2＋b2型a2＋b2＝(a＋b)2－2ab

＝(a－b)2＋2ab③(a±b)2型(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab(a－b)2＝(a＋b)2－4ab完全平方公式的变形：拓展变形②ab型ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]÷2

＝[(a2＋b2)－(a－b)2]÷2ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]÷4思

考

(1)(a+b)2与(－a－b)2相等吗?(2)(a－b)2与(b－a)2相等吗?方法一：(－a－b)2=(－a)2－2·(－a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2；方法二：(－a－b)2=[－(a+b)]2=(－1)2(a+b)2=(a+b)2.相等，证明过程如下：方法一：(b－a)2=b2－2ba+a2=a2－2ab+b2=(a－b)2；方法二：∵(b－a)=－(a－b)∴(b－a)2=[－(a－b)]2=(－1)2(a－b)2=(a－b)2.相等，证明过程如下：(3)(a－b)2与a2－b2相等吗?(a－b)2与a2－b2不一定相等，因为前者是完全平方，后者是平方差.只有当b=0或a=b时，

(a－b)2=a2－b2

.

1.(2024呼和浩特)下列运算正确的是()A.(3x)3=9x3

B.(x－2)2=x2－4C.(－2ab2)2=4a2b4D.3a+4b=7abC2.如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式：①(a－2b)2；②a2－4ab；③a2－4ab+b2；

④a2－4ab+4b2.其中正确的有()A.②

B.①③

C.①④

D.④

C(1)已知a－b=3，ab=10，a2+b2=______.(2)已知a＋b=5，a－b=3，ab=______.3.填空：2944.如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S₁+S₂=40，则图中阴影部分面积为

.65.

计算.(1)(ab+1)2－(ab－1)2；(2)(a+b+c)2；解：(1)(ab＋1)2－(ab－1)2＝(a2b2＋2ab＋1)－(a2b2－2ab＋1)＝a2b2＋2ab＋1－a2b2＋2ab－1＝4ab；(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；5.

计算.(3)982－101×99；(4)20222－2022×4042+20212.(3)982－101×99＝(100－2)2－(100+1)(100－1)

＝1002－400+4－1002+1

＝－395；(4)20222－2022×4042+20212＝

20222－2×2022×2021+20212

＝

(2022－2021)2

＝1.6.【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分沿虚线剪开拼成如图②的一个长方形．图①中阴影部分面积可表示为a2－b2，图②中阴影部分面积可表示为(a＋b)(a－b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到的等式为a2－b2＝(a＋b)(a－b).【类比应用】图③是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图④的形状拼成一个正方形．(1)用两种不同方法表示图④中阴影部分面积：方法1：__________________，方法2：____________________；(2)由(1)可得到一个等量关系式为_________________________；(3)若m＋n＝5，m2＋n2＝20，求(m－n)2的值；(a－b)2(a＋b)2－4ab(a＋b)2－4ab=

(a－b)2解：(3)由(2)可得(m－n)2＝(m＋n)2－4mn，因为m＋n＝5，m2＋n2＝20，所以(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝25，所以2mn＝5，所以4mn＝10，所以(m－n)2＝25－10＝15.(4)如图⑤，小明家打算在自家长方形土地(即长方形ABCD)旁边，以AB、AD为边分别向外用篱笆围出正方形ABEF、正方形ADGH两块空地(不包含长方形ABCD的边长)，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，已知篱笆一共长210m，其种植面积和为2500m2，求长方形土地ABCD的面