甘肃省多校2025-2026学年高二上学期10月月考试题 数学试卷

甘肃省多校2025-2026学年高二上学期第一次月考考试数学试卷一、单选题1．已知数列的通项公式为，则2025是这个数列的（

）A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项2．在正项等比数列中，，则（

）A． B．3 C．4 D．3．记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（

）A．21 B．22 C．23 D．244．在等比数列中，如果，那么（

）A． B． C． D．5．已知数列满足，且，则数列的前50项和为（

）A．24 B．26 C． D．6．已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（

）A． B． C． D．7．已知单调递增数列满足，且，则（

）A． B． C． D．8．设的整数部分为，则数列的前21项的和为（

）A．250 B．253 C．255 D．258二、多选题9．数列的通项公式可能是（

）A． B．C． D．10．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．B．C．最大时，D．的整数的最大值为11．在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则的最大项为D．若，则的最小项为三、填空题12．已知等差数列的前项和为.若，则.13．设公比为的等比数列的前项和为，若，则.14．已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则四、解答题15．已知等差数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．16．（1）已知数列的前项和，求的通项公式；（2）在数列中，，求的通项公式.17．在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.(1)求的通项公式；(2)若求数列的前项和.18．某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出万美元，以后每年比上一年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设表示前年的纯利润（=前年的总收入—前年的总支出—投资额）.（1）从第几年开始获得纯利润？（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以万美元出售该厂.问哪种方案较合算？19．已知数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和；(3)若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由．

题号12345678910答案CABDCCABACABD题号11答案AC1．C令求解即可.【详解】令，所以，解得.故选：C2．A由等比中项列出等式即可求解.【详解】在正项等比数列中，有，解得.故选：A3．B根据等差数列的通项公式确定数列的项的正负情况，即可求得答案.【详解】由题意知为等差数列，由，知数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当的取值为22时，取最小值.故选：B.4．D根据条件，求得，再利用，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，则，得到，又，故选：D.5．C根据递推公式求解数列的周期性，由周期性即可求解.【详解】数列满足，，可得，，，⋯，所以，所以数列的前50项和为：．故选：C．6．C由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，所以，整理得，解得或（舍去）.故选：C.7．A变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得.【详解】由于，即，整理得，当时，单调递增，符合；当时，则是首项为，公比为的等比数列，所以，则，当时，则，，不符，当时，则，不符，当时，则，，不符，故选：A.8．B根据即可结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】因为，所以当时，，所以，当时，，所以为小于1的分数，此时，所以则数列的前21项和为.故选:B.9．AC代入验证即可求解.【详解】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确；对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误；对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误.故选:AC.10．ABD由得到，根据得，判断A选项，根据等差数列通项公式判断B选项，根据和求的最大值，判断C选项，由等差数列前项和公式判断D选项.【详解】因为，所以，从而，因为，所以，A正确；，B正确；因为，所以，所以为的最大值，C错误；，令，解得，所以整数的最大值为，D正确.故选：ABD.11．AC根据可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据条件可得，，利用可得选项C正确；类比选项C，比较的大小可得选项D错误.【详解】A.由题意得，，∵，∴，解得，故A正确.B.由题意得，，∵，，∴，即，故B错误.C.∵，，∴，故数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∵，∴，∴，，∵，，∴的最大项为，故C正确.D.∵，∴，∵，∴，∴，，∵数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴，∵，，∴当时，，此时，故D错误.故选：AC.12．12根据等差数列的片段和性质即可求解.【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得.故答案为：1213．/0.5根据等比数列的前n项和与项之间的关系，结合等比数列的性质，即可求得答案.【详解】因为是公比为的等比数列，故，所以，故.故答案为：14．2或根据题中条件可推出之间的关系式，再由求出的值，继而解方程，即可求得答案.【详解】为等差数列，，又，知，所以，，即，解得或，结合，则，且为递增数列，故；又由得：，即，，即，解得或（舍去），当时，，解得；当时，，解得；综上，或.故答案为：2或15．(1)(2)(1)设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件列出方程组求解出，，代入通项公式即可求解；(2)根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解.【详解】（1）设公差为d，由得，解得故；（2）因为，由（1）可得：，故．16．（1）；（2）（1）根据与的关系求解即可；（2）由题设可得，进而利用累加法求解即可.【详解】解：（1）由，当时，；当时，，所以的通项公式为.（2）由，得，当时，，显然满足上式，所以的通项公式为.17．(1)(2)（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式.（2）利用分组求和法可得.【详解】（1）∵是和的等差中项，∴，∵，∴，解得，故.设等比数列的公比为，则，解得或（舍），∴，∴.（2）由（1）得，∴.18．（1）3年；（2）方案①比较合算.【解析】（1）根据条件列出的表达式，然后令，求解出的取值范围，由此确定出从第几年开始获得纯利润；（2）分别计算出方案①和方案②的出售总收入并比较大小，再根据时间因素确定出哪一种方案更合算.【详解】（1）由条件可知：，即，令，所以，解得，所以从第年开始获得纯利润；（2）方案①：，当且仅当时，即取“”，此时出售总收入为（万美元）；方案②：因为，所以当时，，此时出售总收入为（万美元）；因为出售时的总收入相同，但是方案①需要年，方案②需要年，所以方案①比较合算