模糊集合课件

*

模糊集合*

2.1模糊集合的定义

一、普通集合论知识：确定概念→普通集合→特征函数

1、集合的概念：符合某个确定概念的对象的全体。常用字母A、B、C

等表示。因此，确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。

2、论域：某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母U、V、X、Y

等表示。论域中的每个对象叫元素。常用字母a、b、c、d

等表示。如：{中南大学的学生}就可以成为一个论域。

⑴有限论域：元素个数为有限个或可列个的论域。

⑵无限论域：元素个数为无限个的论域。

3、论域中的子集：论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合。

用A、B、

等表示。如论域U={中南大学的学生}，则A={中南大学的男学生}就是论域U中的一个集合。二、模糊子集的定义：模糊概念→模糊集合→隶属函数给定论域

U，称A是论域

U上的模糊子集(记为Ã)：

如果对x∈U，都有一个确定的数

A(x)∈[0,1]与之对应。此时，映射

A(x)：U[0,1]x

A(x)

A(x)称为

A的隶属函数；数

A(x)称为论域U中的元素x对模糊子集A的隶属度，表示x属于A的程度。

特例：当

A(x)=0、1时，模糊子集Ã蜕化为普通集合

A；

Ã的隶属函数

A(x)蜕化为

A特征函数CA(x)，即

*

例2-1组成一个100人的评比小组，对五种商品X1,X2,X3,X4,X5进行评比。结果是：认为商品X1“质量好”的有81人，占81%=0.81；认为商品X2“质量好”的有53人，占53%=0.53；认为商品X3“质量好”的有100人，占100%=1；认为商品X4“质量好”的有0人，占0%=0；认为商品X5“质量好”的有24人，占24%=0.24。对论域U={X1,X2,X3,X4,X5}(有限论域)中的每一个元素均规定了一个隶属度：

X1→0.81，X2→0.53，X3→0.1，X4→0

，X5→0.24

它们确定了U中的一个模糊子集A，表示商品“质量好”这一模糊概念。

例2-2考查某商店商品销售利润的经济效益论域U=[0，k](无限论域)表示该商品销售利润额的范围，则表示商品销售利润的“经济效益好”这一模糊概念的模糊子集Ã，用以下隶属函数表示：

其中，n为同期商品销售额，m为销售利润效益最好时刻的利润率。

*

例2-3取年龄为论域U=[0,100]，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”，表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：

0150

100x0125

100x

若你的年龄x=30岁，则

*2.2模糊子集的运算：Ã仍记为

A(除非特别申明)

1.关系运算：对论域U

⑴模糊空集

：对

xU，均有

(x)=0⑵模糊全集E：对

xU，均有

E(x)=1⑶模糊幂集

(U)：U中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。

⑷A=B：对

xU，均有

A(x)=B(x)⑸A

B：对

xU，均有

A(x)≤B(x)

2.并、交、余运算：对论域U

⑴并(A∪B)：设A,B(U),对

xU，则A∪B是由下列隶属函数确定的模糊子集

A∪B(x)=Max{A(x),B(x)}=A(x)∨

B(x）

⑵交(A∩B)：设A,B(U),对

xU，则A∩B是由下列隶属函数确定的模糊子集

A∩B(x)=Min{A(x),B(x)}=A(x)∧

B(x）

⑶余(Ac)：设A(U),对

xU，则Ac是由下列隶属函数确定的模糊子集

Ac(x)=1-A(x)

例2-4商品论域U={X1,X2,X3,X4,X5}，表示“商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，“商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。则：①表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为：

A∪B={0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}；

②表示“商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为：

A∩B={0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}；

③表示“商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为：

Ac={1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；*例2-5年龄论域U=[0,100]，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”,对应的模糊子集Y与O,隶属函数为

0150

100x0125

100x

则：表示“又老又年轻”这个模糊概念的模糊子集为O∪Y：隶属函数为

0125

100x

50x*

*

3.运算性质：

⑴对偶律：(

A∪B)c=Ac∩

Bc

；(

A∩B)c=Ac∪

Bc

⑵幂等律：A∪A=A；A∩A=A⑶交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A⑷结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

⑸分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)⑹吸收律：(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A⑺两极律：A∪=A；A∩=

；A∪E=E；A∩E=A⑻还原律：(

Ac)c=A

⑼不满足互补律：A∪Ac≠E，

A∩Ac≠

⑽伪补律：

A∪Ac(x)=A(x)∨Ac(x)≥½

；

A∩Ac(x)=A(x)∧Ac(x)≤½

例2-6设有模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}

则：A∪Ac={0.81,0.53,1,1,0.76}≠E，并且其隶属度均大于1/2A∩Ac={0.19,0.47,0,0,0.24}≠

，并且其隶属度均小于1/2

*

4.几种常用的模糊算子：须同时满足对偶律、交换律、结合律、两极律

⑴普通实数乘法

与最大∨算子M(

,∨)：

A∪B(x)=A(x)∨B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)⑵普通实数乘法

与有界和⊙算子M(

,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中有界和⊙：对

a,b[0,1],有a⊙b=min{a+b,1}⑶普通实数乘法

与概率和△算子M(

,△)：

A∪B(x)=A(x)△B(x)；

A∩B(x)=A(x)

B(x)

其中概率和△：对

a,b[0,1],有a△b=a+b–a·b⑷有界积☆与有界和⊙算子M(☆,⊙)：

A∪B(x)=A(x)⊙B(x)；

A∩B(x)=A(x)☆

B(x)

其中有界积☆：对

a,b[0,1],有a☆b=max{0,a+b–1}

例2-7设有模糊子集为：A={0.81,0.53,1,0,0.24}，

B={0.05,0.21,0,0.36,0.57}。采用算子M(☆,⊙)，得：

则：A∪B={0.81⊙0.05，0.53⊙0.21，1⊙0，0⊙0.36，0.24⊙0.57}={0.86，0.74，1，0.36，0.81}A∩B={0.81☆0.05，0.53☆0.21，1☆0，0☆0.36，0.24☆0.57}={0，0，0，0，0}

*2.4模糊集合与普通集合的关系：模糊集合是普通集合的推广

1.模糊子集A的

水平截集A

给定模糊子集A(U)，对

[0,1]，称普通集合

A

={x|xU,且

A(x)≥}为模糊子集A的

水平截集。

即：A

由U中哪些隶属度大于或等于

的元素组成，其特征函数为：1

，

0

，

A(x)xoA

U1

例2-8五种商品{X1,X2,X3,X4,X5}，“质量好”的模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，

进一步研究：有50%以上的人认为“质量好”，称为“合格”，则“合格”商品的集合为

A0.5={X1,X2,X3}，=0.5

有80%以上的人认为“质量好”，称为“优良”，则“优良”商品的集合为

A0.8={X1,X3}，=0.8

A0.5与A0.8

均是A按一定水平

确定的普通子集(截集)。

*

2.水平截集A

的性质

①(A∪B)

=A

∪B

；

②

(

A∩B)

=A

∩B

；

③设

1,2[0,1]，且

1≤2，则A1

A2

3.模糊子集A的核A1、支撑架SuppA、边界SuppA-A1①A的核

A1={x|A(x)≥1}；

②A的支撑架SuppA

={x|A(x)＞0}

；

③A的边界SuppA-A1={x|0＜

A(x)＜1};④A0={x|A(x)≥0}=U

例2-9五种商品论域U={X1,X2,X3,X4,X5}，

模糊子集A=(0.81，0.53，1，0

，0.24)，则

A的核

A1={X3}；

A的支撑架SuppA

={X1,X2,X3,X5}；

A的边界SuppA-A1={X1,X2,X5};A0={X1,X2,X3,X4,X5}=U

A(x)xoA11*

4.由A

生成的模糊子集设A(X)，其

水平截集为A

，

，

0

，

1，

0，

分解定理：

或用隶属函数

结论：任何模糊数学问题，均可通过分解定理用经典集合论方法处理；从概念上讲，模糊数学是经典数学的推广和发展；

A(x)xoA

U1*2.5实数域上的模糊集

论域X=R=(-∞,+∞)上的模糊子集A的隶属函数称为模糊分布。

1.戒上型：

1

，x＜a

0

，x≥a

①降半矩形分布

②降半

分布

,x＞a

1,x≤a

，其中k＞0

③降半正态分布

,x＞a

1,x≤a

④降半柯西分布

,x＞a

1,x≤a

,其中k,

＞0

⑤降半梯形分布

0,x≥a1

1,x＜a2

,a2＜x≤a1*

2.戒下型：

0

，x≤a

1

，x＞a

①升半矩形分布

②升半

分布

0,x≤a

,x＞