2.3.2 两点间的距离公式（培优教学课件） （共28张） 高二上学期 数学人教A版 选择性必修第一册

第二章

直线和圆的方程人教A版2019选择性必修第一册·高二2.3直线的交点坐标与距离公式

2.3.2两点间的距离公式

章节导读确定直线位置的几何要素：点、方向直线的倾斜角和斜率直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程点到直线、两平行直线间的距离两条直线间的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系确定圆的几何要素：圆心、半经圆的标准方程圆的一般方程两点间的距离公式两条直线平行和垂直的判定学

习

目

标123探索并掌握平面上两点间的距离公式,培养数学抽象的核心素养理解两点间距离公式的推导过程会运用坐标法证明简单的平面几何问题,培养数学运算的核心素养.新知导入

如何求两条相交直线的交点坐标？如何判断两条直线的位置关系？联立两直线方程，得到一个二元一次方程组，该方程组的解就是两直线交点的坐标.（1）求二元一次方程组的解（2）利用斜率（3）画出直线

我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的.所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.新知探究问题1

如图,已知平面内两点P1(x1,y1),

P2(x2,y2),如何求P1,P2间的距离|P1P2|?OyxP1(x1,y1)••P2(x2,y2)我们用平面向量的知识来解决.如图,由点P1(x1,y1),

P2(x2,y2),得于是由此得到P1(x1,y1),

P2(x2,y2)两点间的距离公式为特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离为上式我们利用向量法进行证明！还有其他方法证明吗？新知探究问题2

你能利用P1(x1,y1),

P2(x2,y2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗?与向量法比较，你有什么体会?(1)当直线P1P2与x轴平行时

即x1≠x2,y1=y2

即x1=

x2,y1≠

y2P2(x2,y2)P1(x1,y1)xyoP2(x2,y2)(2)当直线P1P2与y轴平行时新知探究问题2

你能利用P1(x1,y1),

P2(x2,y2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗?与向量法比较，你有什么体会?(3)当直线P1P2与坐标轴都不平行时如图，以P1P2为斜边构造一个Rt△P1P2Q，则点Q的坐标为OyxP1(x1,y1)••P2(x2,y2)Q(x2,y1)(x2,y1).由勾股定理得∴由(1)(2)(3)可得平面内两点P1(x1,y1),

P2(x2,y2)间的距离公式为即

x1≠x2,y1≠

y2典例分析方法技巧

套公式

列式子

求解例

已知点A(－1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使得|PA|=|PB|,并求|PA|的值.课后练习课本练习1.求下列两点间的距离：(1)

A(6,0),B(－2,0)；

(2)

C(0,－4),D(0,C1)；(3)

P(6,0),Q(0,－2)；

(4)

M(2,1),N(5,－1).|AB|=8|CD|=32.已知A(a,－5)与B(0,10)两点间的距离是17，求a的值.典例分析例

用坐标法证明:平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍.yxO(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)ABDC解：如右图,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系，则有A(0,0).设B(a,0)，D(b,c),由平行四边形的性质，得C(a+b,c).|AB|²=|CD|²=a²，|AD|²=|BC|²=b²+c²|AC|²=(a+b)²+c²，由两点间的距离公式，得|BD|²=(b-a)²+c²∴|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=2(a²+b²+c²)|AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²)∴|AB|²+|CD|²+|AD|²+|BC|²=|AC|²+|BD|²新知探究问题3

在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题.你能回忆一下证明过程吗?比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会?上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为建系运算翻译建立坐标系，用坐标表示相关问题进行有关的代数运算

把代数运算的结果“翻译”成几何结论新知探究问题4

根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法?你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗?yxOABDCyxOABDC如AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，再如以两条对角线交点为原点,与AB平行的直线为x轴建立坐标系

坐标系的建立是否适当，对证明非常重要，如若不然，点的坐标会比较复杂，从而加大计算量，增加出错的几率.课后练习课本练习3.用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.yxOBCAM(0,0)(a,0)(0,b)解：以顶点C为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有C(0,0)即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.课后练习课本练习习题2.3（第79页）解：课后练习课本练习习题2.3（第79页）解：课后练习课本练习习题2.3（第79页）解：利用两点间的距离公式判断三角形的形状题型一题型探究

B

利用两点间的距离公式判断三角形的形状题型一题型探究

C

利用两点间的距离公式判断三角形的形状题型一题型探究

等腰直角三角形利用两点间的距离公式判断三角形的形状题型一题型探究解题感悟利用两点间的距离公式判断三角形的形状时,需先根据两点间的距离公式分别求出三边的长,再结合三角形的性质判断.坐标法的应用题型二题型探究

坐标法的应用题型二题型探究

证明：建立如图所示的平面直角坐标系，

坐标法的应用题型二题型探究解题感悟

利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤:

第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量;第二步:进行有关代数运算;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.课堂达标

A

课堂达标

课堂达标

课堂达标

课堂小结1.平面上两点