高等数学 下册 课件 第6-10章 多元函数微分学-差分方程

第六章Advancedmathematics多元函数微分学高等数学上海财经大学数学学院

编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.1一、空间直角坐标系图6.2一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系

一、空间直角坐标系面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ图6.3

一、空间直角坐标系

一、空间直角坐标系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.4二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系图6.5三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.6(a)(b)三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.7三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程图6.8三、空间曲面及其方程三、空间曲面及其方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系1.空间曲线方程e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents五、常见的二次曲面（一）柱面（二）椭球面（三）锥面（四）抛物面图6.11（一）柱面（一）柱面2.抛物柱面3.双曲柱面1.椭圆柱面1.椭圆柱面1.椭圆柱面图6.121.椭圆柱面图6.132.抛物柱面图6.143.双曲柱面3.双曲柱面（二）椭球面图6.15（二）椭球面

用截痕法可以画出椭球面的图形.显然，椭球面关于坐标面、坐标轴和坐标原点都是对称的.如图6.15所示.（二）椭球面图6.16（三）锥面图6.17（三）锥面图6.18（四）抛物面e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、空间两点间的距离三、空间曲面及其方程四、空间曲线五、常见的二次曲面六、空间曲线在坐标面上的投影目录/Contents第一节空间解析几何简介一、空间直角坐标系六、空间曲线在坐标面上的投影六、空间曲线在坐标面上的投影图6.10六、空间曲线在坐标面上的投影e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域一、平面区域一、平面区域一、平面区域图6.19图6.20一、平面区域e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念二、多元函数的概念图6.21二、多元函数的概念图6.22二、多元函数的概念图6.23二、多元函数的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性三、二元函数的极限三、二元函数的极限当点三、二元函数的极限三、二元函数的极限三、二元函数的极限三、二元函数的极限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第二节多元函数的概念一、平面区域二、多元函数的概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents一、偏导数的定义与计算1.偏导数的定义2.偏导数的计算1.偏导数的定义1.偏导数的定义1.偏导数的定义2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算2.偏导数的计算e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系图6.24二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数三、高阶偏导数e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第三节偏导数一、偏导数的定义和计算二、偏导数的几何意义及偏导数存在与连续的关系三、高阶偏导数四、偏导数在经济分析中的应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents四、偏导数在经济分析中的应用1.联合成本函数的分析2.需求函数的边际分析3.需求函数的偏弹性1.联合成本函数的分析1.联合成本函数的分析1.联合成本函数的分析1.联合成本函数的分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析2.需求函数的边际分析3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性3.需求函数的偏弹性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、全微分与偏导数的关系目录/Contents第四节全微分一、全微分的概念三、近似计算一、全微分的概念图6.25一、全微分的概念一、全微分的概念一、全微分的概念e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节全微分一、全微分的概念二、全微分与偏导数的关系三、近似计算二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系=8,=5,二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系二、全微分与偏导数的关系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目录/Contents第四节全微分一、全微分的概念二、全微分与偏导数的关系三、近似计算三、近似计算二、全微分与偏导数的关系e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

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编第六章Advancedmathematics多元函数微分学高等数学上海财经大学数学学院

编目录/Contents第六章多元函数微分学第一节空间解析几何简介第二节多元函数的基本概念、极限与连续性第三节偏导数第四节全微分第五节方向导数与梯度第六节多元复合函数及隐函数的求导法则第七节多元函数的极值及其应用e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值一、二元函数的极值定义6.11设函数在点的某个邻域内有定义,

如果对于该邻域内异于点的任何点,

都有,

则称函数在点有极大值,

点称为函数的极大值点；如果对于该邻域内异于点的任何点,

都有,

则称函数在点有极小值,

点称为函数的极小值点.极大值和极小值统称为极值,

使函数取极值的点称为极值点.与一元函数的极值相似,二元函数的极值也是二元函数的一种局部性质.一、二元函数的极值【例1】根据定义,

分析下列函数在处的极值情况:(1)；(2)；(3).解(1)函数在点处有极小值.因为点的任一邻城内异于的点的函数值都为正,

而在点处的函数值为零.从几何上看,

这是显,

然的因为点是开口朝上的旋转抛物面的底点.一、二元函数的极值(2)函数在点处有极大值.因为点的任一邻城内异于的点的函数值都为负,

而在点处的函数值为零.从几何上看,

这是显然的,

因为点是位于坐标面下方的圆锥面的顶点.(3)函数在点处取不到极值.因为在点处的函数值为零,

而在点的任一邻城内,

总有使函数值为正的点(第一、第三象限中的点),

也有使函数值为负的点（第二、第四象限中的点）.一、二元函数的极值定理6.9（极值存在的必要条件）设函数在点存在偏导数,

且函数在点处有极值,

证明由于在点处有极值,

所以当时,

一元函数在处有极值.根据一元函数极值存在的必要条件,

有,

同理,

有.使偏导数,

同时成立的点称为函数的驻点.则.一、二元函数的极值定理6.10(极值存在的充分条件)设函数在点的邻域内有连续的二阶偏导数,

且点为函数的驻点,

记,

则(1)当时,

是函数的极值；且当时,

是极大值；是极小值；(2)当时,

不是函数的极值.时,

当一、二元函数的极值利用上面两个定理,

对于具有二阶连续偏导数的函数,

求极值的步骤如下:1.求驻点,

即解方程组的点；2.对于每个驻点,

求出二阶偏导数的值；3.由的符号,

判断是否取极值,

由的符号判定是极大值还是极小值；4.求出极值.一、二元函数的极值判断不是极值为极大值【例2】求函数的极值.解解方程组,得驻点,.由于列表讨论如下：,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值二、二元函数的最值定义6.12设函数在某区域上有定义,

对于该区域上的任何点,

如果都有,

则称为函数在区域上的最大值；如果有,

则称为函数在区域上的最小值.最大值和最小值统称为最值,

使函数取最值的点称为最值点.二、二元函数的最值由本章第一节闭域上的多元连续函数的几个性质（有界性,

最值定理,

介值定理）我们知道,

当函数在闭区域上连续时,

函数在上必有最大值和最小值.关于在闭区域上连续函数的最大(小)值求法与闭区间上连续函数的最大（小）值求法相类似.在实际问题中,

如果根据问题的性质知道的最大(小)值一定在的内部取得,

并且在内具有唯一的驻点,

那么可以断定这个唯一的驻点处的函数值就是在上的最大（小）值.二、二元函数的最值【例3】某工厂生产、两种产品,

销售单价分别是千元与千元,

生产单位的产品与生产单位的产品的总费用是(千元),

求：当、产品的产量分别为多少时,

能使获得的总利润最大？并求最大总利润.解设为产品、分别生产和单位时所得的总利润.所以,

个单位,由于该实际问题有最大值,所以当产品生产产品生二、二元函数的最值由得唯一驻点.产个单位时,所得总利润最大,最大总利润为千元.二、二元函数的最值【例4】设分别为商品的需求量,

它们的需求函数为,

,

总成本函数为,

其中和为商品和的价格（单位：万元）,

试问价格和取何值时可使总利润最大?并求最大总利润.解据题意,

总收益函数为,

总利润函数为,

二、二元函数的最值由,

即,

解得唯一的驻点.由于实际问题存在最大总利润,

所以当取价格时可获得最大总利润万元.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、二元函数的最值目录/Contents第七节多元函数的极值及其应用一、二元函数的极值三、条件极值三、条件极值在实际问题中我们常常遇到这样的极值问题：求函数在条件下的极值.例如,

求周长为给定的常数时面积最大的矩形,

就是求在条件下的极大值.又如,

求连续函数在闭区域上的最大（小）值的一般方法是：先求出在内所有驻点处的函数值、偏导数不存在点处的函数值（即可能极值点处的函数值）；再求出在的边界上的极大（小）值,

二者中最大（小）值就是所求最大（小）值.其中在的边界上（假设的边界方程为）的极值就是求在条件下的极值.三、条件极值如果对自变量除限定在定义域内取值外,

还需满足附加条件,

这类极值问题称为条件极值.前面在讨论函数极值时,

对自变量除限定在定义域内取值外,

并无其他约束条件,

这类极值问题称为无条件极值,

简称极值.求解条件极值问题有二种方法,

其一是：若由能解出显函数或,

代入中就变成了一元函数,

从而化成了求解一元函数的极值问题；其二就是下面介绍一种求条件极值的常用方法——拉格朗日乘数法.三、条件极值下面我们来寻求函数在条件下取得极值的必要条件.假设点为函数在条件下的极值点,

且满足隐函数存在定理的条件,

确定隐函数,

则是一元函数的极值点.于是由一元可导函数取极值的必要条件得,

由隐函数存在定理得,

故,

三、条件极值令,于是极值点需要满足三个条件：因此,若引进辅助函数,则前面三个条件即函数称为拉格朗日函数,参数称为拉格朗日乘数（是一个待定常数）.三、条件极值拉格朗日乘数法求函数在条件下的可能极值点的一般步骤:(1)构造拉格朗日函数,其中为拉格朗日乘数.(2)求对的三个一阶偏导数,并令它们为零,即得方程组(3)解上面方程组,得可能极值点.三、条件极值若求函数在条件,下的可能极值点,(1)构造拉格朗日函数,其中为拉格朗日乘数.(2)求对的五个一阶偏导数,并令它们为零,即得方程组三、条件极值(3)

解上面方程组,得可能极值点

.在实际问题中根据问题本身的性质确定极值点,

而唯一的极值点即最值点.三、条件极值【例5】某工厂生产两种型号的机床,

其产量分别为台和台,

成本函数为(万元),若根据市场调查预测,

共需这两种机床台,

问应如何安排生产,

才能使成本最小？并求最小成本.解此问题可以归结为求成本函数,在条件下的最小值.三、条件极值构造拉格朗日函数.求对的偏导数，并令其为零，得联立方程组解得,.是唯一可能的极值点,即最值点.因为实际问题的最小值存在，所以当两种型号的机床分别生产台和台时总成本最小，且最小成本为(万元).三、条件极值【例6】已知某产品的柯布-道格拉斯投入产出函数为,其中为劳动力的投入量,为资本的投入量.设每单位的劳动力投入成本为元,每单位的资本投入成本为元,若生产商的总预算是元,问劳动力投入及资本投入各为多少时？使产量最大.解此问题可以归结为求投入产出函数,在条件下的最大值.三、条件极值构造拉格朗日函数.求对的偏导数，并令其为零，得联立方程组解得.是唯一可能的极值点,即最值点.因为实际问题的最大值存在，所以当投入单位劳动力及单位资本时，产量最大.第七章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二重积分Advancedmathematics高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲顶柱体的体积2.二重积分的定义3.二重积分的存在性4.二重积分的几何意义一、二重积分的概念目录/Contents第一节二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第七章二重积分图7.1D一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积曲顶柱体是指以曲面为顶，以区域为底，以的边界产生的柱面为侧面所围成的立体.见图7.1.设函数在有界闭区域上连续，且，过区域边界上每一点，作平行于轴的直线，这些直线构成一个曲面，称此曲面为由边界产生的柱面.下面我们仿照求曲边梯形面积的方法来求曲顶柱体的体积.（1）分割则以

表示以

为底的第

个小曲顶柱体的体积,，一、二重积分的概念把区域任意分割成个小区域,,…,，且仍以表示第个小区域的面积，柱体。分成个小曲顶这样就把曲顶柱体(2)近似图7.2一、二重积分的概念在每个小区域（)上任取一点，并以值为高，为底的平顶柱体的体积作为的近似值(见图7.2)，即一、二重积分的概念(3)求和这个小平顶柱体的体积相加，就得到所求的曲顶柱体体积的近似值，即(4)取极限当区域分得越细，则上式右端的和式就越接近于曲顶柱体的体积.用表示小区域上任意两点间的最大距离，称为该小区域的直径，令.当时，上述和式的极限存在，则这个极限值就是所求的曲顶柱体的体积，即一、二重积分的概念2.二重积分的定义定义7.1设是定义在有界闭区域上的有界二元函数，将区域任意分割成个小区域，，…，，并仍以表示第个小区域的面积，为区域的直径,,在每个小区域上任取一点，作乘积（）,并求和当时，这个和式的极限存在，则称函数在区域上可积,称此极限值为函数在区域上的二重积分，记作

即证明略.一、二重积分的概念3.二重积分的存在性其中，称为被积函数，“”称为二重积分符号，称为积分区域，称为面积元素，称为积分变量.定理7.1如果二元函数在有界闭区域上连续，则二重积分存在，即在区域上可积.一、二重积分的概念4.二重积分的几何意义（1）如果在有界闭区域上二元连续函数，积分的值等于以积分区域为底，连续曲面为顶的曲顶柱体的体积，（2）如果在有界闭区域上二元连续函数，积分区域积分的值等于以为底，连续曲面为顶的曲顶柱体的体积的相反数，则二重即则二重即一、二重积分的概念（3）如果在有界闭区域上二元连续函数既取得正值,又取得负值时，则二重积分的值等于以积分区域为底，以连续曲面为顶的曲顶柱体体积的代数和。e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C1.曲顶柱体的体积2.二重积分的定义3.二重积分的存在性4.二重积分的几何意义一、二重积分的概念目录/Contents第一节二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第七章二重积分二、二重积分的性质

二重积分与一元函数的定积分具有相似的性质，下面涉及的函数均假定性质7.1若在区域

上有

，

是

的面积，则性质7.2常数因子可提到积分号外面，即

为常数）.

（在上可积.性质7.3函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，性质7.4（二重积分的积分区域可加性）图7.3若区域

被一连续曲线分成二、二重积分的性质和，见图7.3，即则性质7.5

（比较性质）特别地，由于所以性质7.6（估值定理）设

分别是函数

在有界闭区域

上的最大值和最小值，若在区域

上，有

，则

由此，若在区域

上，有

，则二、二重积分的性质

是

的面积，则性质7.7（二重积分的中值定理）二、二重积分的性质设函数在有界闭区域上连续，是区域的面积，则在上至少存在一点，使得二重积分中值定理的几何意义是：在区域上以曲面()为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积.（1）设（2）设（3）设【例1】

计算二重积分故解（1）

是长为6，宽为4的矩形，其面积二、二重积分的性质故故其面积其面积（3）

是由半径为2和1的两个同心圆围成的圆环，（2）

是第一象限的三角形，

轴，

轴上的截距均为6，二、二重积分的性质【例2】比较二重积分

与

的大小,从而

，解

在积分区域

内，由于

，所以二、二重积分的性质其中

由直线,与

所围.故即所以解

在积分区域

内，被积函数

，二、二重积分的性质估计二重积分

的取值范围，其中【例3】

积分区域

的面积为

，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C学海无涯，祝你成功！高等数学上海财经大学数学学院

编Advancedmathematics第七章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二重积分Advancedmathematics高等数学上海财经大学数学学院

编e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C一、利用直角坐标计算二重积分目录/Contents第二节二重积分的计算二、利用极坐标计算二重积分第二节二重积分的计算三、二重积分的换元法四、广义二重积分图7.4一、利用直角坐标计算二重积分在直角坐标系中我们采用平行于轴和轴的直线分割,

见图7.4,于是小区域的面积为（）,

所以在直角坐标系中,

面积元素可写成,

从而(a)(b)图7.5一、利用直角坐标计算二重积分若积分区域可以表示为其中函数、在上连续,

并且穿过内部平行轴正向的直线与区域的边界最多交于两点,

则称为—型区域(见图7.5).图7.6一、利用直角坐标计算二重积分(a)(b)若积分区域可以表示为其中函数、在上连续,

并且穿过内部平行轴正向的直线与区域的边界最多交于两点,

则称为—型区域(见图7.6).图7.7一、利用直角坐标计算二重积分由二重积分的几何意义,

当时,

二重积分是区域上的以曲面为顶的曲顶柱体的体积(见图7.7).首先讨论积分区域为—型区域的二重积分的计算.在区间上任取一点,

过作平面平行于面,

则此平面于是有,

右端的积分称为二次积分.一般写成,一、利用直角坐标计算二重积分与曲顶柱体的截面是一个以区间,为底,

曲线（对固定的,

是的一元函数）为曲边的曲边梯形（图7.7阴影部分）,

其面积为根据平行截面面积为已知的立体体积公式,所求曲顶柱体的体积为一、利用直角坐标计算二重积分即当积分区域为—型区域时,可以将二重积分化为先对后对的二次积分（累次积分）.这样,当积分区域可以表示为时,一般写成,

有,

,一、利用直角坐标计算二重积分同理,当积分区域可以表示为（即为—型区域）时,的定积分；上的定积分.计算其在区间即:第一次计算积分,计算到把看成常数,把看作的函数,对,再对然后将算得的结果作为第二次积分的被积函数有二次积分一般写成,一、利用直角坐标计算二重积分即当积分区域为—型区域时,可以将二重积分化为先对后对的二次积分（累次积分）.的定积分；上的定积分.计算其在区间二次积分即：第一次计算积分,计算到把看成常数,把看作的函数,对,再对然后将算得的结果作为第二次积分的被积函数特别地：当积分区域为矩形时,有或.；

一、利用直角坐标计算二重积分注意：(1)若穿过内部且平行轴(轴)正向的直线与区域的边界相交多于两个点时,则要将分成几个—型区域(—型区域).(2)若穿过内部且平行轴(轴)正向的直线与区域的边界相交,边界方程不同时,也要将分成几个—型区域(—型区域).当积分区域为矩形且被积函数时,

有.一、利用直角坐标计算二重积分一般在计算二重积分时,应先画出积分区域的草图,再根据被积函数及积分区域的特点,选择适