2025年大学《数理基础科学》专业题库- 离散数学的基本概念

2025年大学《数理基础科学》专业题库——离散数学的基本概念考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共10分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5}，则(A∩B)∪C=?(A){1,2,3,4,5}(B){2,3,4}(C){3}(D){1,5}2.下列哪个命题公式是重言式？(A)p→¬p(B)p∨¬p(C)(p∧q)→p(D)q∧¬q3.设关系R定义在集合A={a,b,c}上，R={(a,b),(b,c),(c,a)}，则关系R具有下列哪种性质？（多个性质可同时存在，请选择所有符合条件的）(A)自反性(B)反自反性(C)对称性(D)传递性4.函数f:A→B，其中A={1,2},B={3,4,5}，定义如下：f(1)=4,f(2)=5。则f是什么类型的函数？(A)单射(B)满射(C)双射(D)以上都不是5.设G是一个无向图，顶点集V={v1,v2,v3,v4}，边集E={(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v1),(v1,v3)}。则G是？(A)树(B)连通图但不是树(C)不连通图(D)空图二、填空题（每小题3分，共15分。请将答案填在题后的横线上）6.若集合A有3个元素，集合B有5个元素，则A×B的基数是________。7.谓词逻辑公式∀x(P(x)→Q(x))的意思是________。8.关系R的自反闭包Rr是通过在R中添加哪些元素得到的？请描述其定义。9.如果一个函数f:X→Y是双射，那么它的逆函数f⁻¹:Y→X定义为________。10.n阶简单无向连通图中，至少有________条边。三、判断题（每小题2分，共10分。请将“正确”或“错误”填在题后的括号内）11.两个集合的差集A-B包含所有属于A但不属于B的元素。()12.命题公式p∨(q∧r)与(p∨q)∧(p∨r)是等价的。()13.如果一个关系R是反自反的，那么它也是反对称的。()14.任何无限集都至少与自然数集N具有相同的基数。()15.如果一棵树有n个顶点，则它有n-1条边。()四、计算题（每小题5分，共20分）16.化简逻辑公式：(p∧(q∨¬r))∨(¬p∧q)。17.设集合A={1,2,3}，关系R定义在A上，R={(1,2),(2,3),(3,1),(1,3)}。写出关系R的关系矩阵M_R。18.计算关系R={(1,a),(a,b),(b,c)}的传递闭包R*。19.设函数f:R→R，定义f(x)=x²+1。求f(2)+f(-1)的值。五、证明题（每小题10分，共20分）20.证明：对于任意集合A，B，C，有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。（提示：可以使用双重否定法或对任意元素x进行证明）21.证明：设R是集合A上的关系。如果R是自反的和对称的，则R是等价关系。（提示：根据等价关系的定义，需要证明R也是传递的）---试卷答案一、选择题1.(A)2.(B)3.(B)(C)4.(B)5.(B)二、填空题6.157.对于所有x属于X，如果P(x)为真，则Q(x)也为真。8.在R中添加所有形如(x,x)的元素，其中x属于集合A（关系R的定义域）。9.对于每个y属于Y，如果存在唯一的x属于X使得f(x)=y，则f⁻¹(y)=x。10.n-1三、判断题11.正确12.正确13.正确14.正确15.正确四、计算题16.q∨¬r17.M_R=[[0,1,1],[0,0,1],[1,0,0]]18.R*={(1,a),(1,b),(a,b),(a,c),(1,c)}19.6五、证明题20.证明思路：对任意元素x，证明x∈A∩(B∪C)当且仅当x∈(A∩B)∪(A∩C)。-(∵)假设x∈A∩(B∪C)。则x∈A且x∈(B∪C)。所以x∈A且(x∈B或x∈C)。因此x∈(A∩B)或x∈(A∩C)。即x∈(A∩B)∪(A∩C)。-(∴)假设x∈(A∩B)∪(A∩C)。则x∈(A∩B)或x∈(A∩C)。所以(x∈A且x∈B)或(x∈A且x∈C)。因此x∈A且(x∈B或x∈C)。即x∈A且x∈(B∪C)。所以x∈A∩(B∪C)。-综上，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。21.证明思路：根据等价关系的定义，需要证明R是自反的、对称的、传递的。-自反性：对于任意x∈A，由于R是自反的，有(x,x)∈R。因此对于任意x∈A，(x,x)∈R，满足等价关系定义的第一条。-对称性：对于任意x,y∈A，如果(x,y)∈R，由于R是对称的，有(y,x)∈R。满足等价关系定义的第二条。-传递性：对于任意x,y,z∈A，如果(x,y)∈R且(