2025年大学《数理基础科学》专业题库- 复数在电磁学中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——复数在电磁学中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、简述使用复数相量法描述交流电磁场的优点。请说明复数电场强度\(\mathbf{E}(z,t)=\mathbf{E}_0e^{j(\omegat-kz)}\)的实部代表了什么物理量，其中\(\mathbf{E}_0\)是复数振幅，\(k\)是波数，\(\omega\)是角频率。二、给定一维时谐电磁场\(\mathbf{E}(x,t)=E_0\cos(\omegat-kx)\)（SI单位制），其中\(E_0\)、\(\omega\)、\(k\)为实常数。(1)求该电场的复数形式表示\(\mathbf{E}(x)\)。(2)计算该电场对应的复数磁场强度\(\mathbf{H}(x)\)，假设媒质为理想介质，磁导率\(\mu=\mu_0\)，介电常数\(\epsilon=\epsilon_0\)。(3)计算该电磁波在自由空间中的平均坡印廷矢量\(\langle\mathbf{S}\rangle\)。三、利用一维傅里叶变换，求解无限大均匀理想介质（介电常数为\(\epsilon\)，磁导率\(\mu=\mu_0\)）中，沿\(x\)轴正方向传播的、具有频率范围\(0<\omega<\omega_0\)的频带受限的平面电磁波（初始时刻\(t=0\)，\(x=0\)处的瞬时电场为\(E_y(0,t=0)=E_0\sin(\omega_0t)\)）的瞬时电场表达式\(E_y(x,t)\)。四、考虑一个无限长直同轴电缆，内导体半径\(a\)，外导体半径\(b\)，其间充满复介电常数\(\epsilon=\epsilon'-j\epsilon''\)的均匀媒质。假设工作频率较高，可以忽略导体损耗和边缘效应。当内导体通以沿\(+z\)方向的时谐电流\(I(t)=I_0e^{j\omegat}\)时：(1)写出电缆内半径为\(r\)（\(a<r<b\)）处的电场强度复数表达式\(\mathbf{E}_r(r)\)的形式。(2)写出磁场强度复数表达式\(\mathbf{H}_{\phi}(r)\)的形式。(3)说明\(\epsilon'\)和\(\epsilon''\)分别对电缆的传播常数\(\beta\)和特性阻抗\(Z_0\)有何影响？定性解释其物理意义。五、利用复变函数的儒可夫斯基函数\(w=\frac{1+z}{1-z}\)将上半复平面\(\text{Im}(z)>0\)映射到半径为1的圆\(|w|=1\)的外部区域\(\rho>1\)（其中\(\rho=|w|\)）。设上半平面上有一无限长直线电荷密度为\(\lambda\)的线源位于实轴上，距离原点为\(d\)（\(d>0\)）。求在圆外部区域\(\rho>1\)内，由该线源产生的复电位\(\Phi(w)\)的表达式。试卷答案一、优点：将时谐交流电磁场的微分/积分方程简化为代数方程，避免了对时间的微分运算，显著简化了数学推导和求解过程。实部代表：该电场的瞬时表达式，即\(\mathbf{E}(z,t)=\text{Re}\{\mathbf{E}_0e^{j(\omegat-kz)}\}=\text{Re}\{\mathbf{E}_0e^{j\omegat}e^{-jkz}\}=\mathbf{E}_0\cos(\omegat-kz+\phi)\)，其中\(\phi\)是\(\mathbf{E}_0\)的相位角。它描述了电场强度随时间和空间位置变化的实际物理量。二、(1)复数电场表示：\(\mathbf{E}(x)=E_0e^{-jkx}\)。(2)复数磁场表示：根据麦克斯韦方程\(\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}\)，取\(x\)方向分量，\(\frac{\partialE_y}{\partialx}=-j\omega\muH_z\)。所以\(H_z=-\frac{1}{j\omega\mu}\frac{\partialE_y}{\partialx}=\frac{k}{\omega\mu}E_0\cos(kx)\)。因此，复数磁场强度\(\mathbf{H}(x)=H_z(x)\mathbf{a}_x=\frac{kE_0}{\omega\mu}e^{-jkx}\mathbf{a}_x=\frac{E_0}{Z_0}e^{-jkx}\mathbf{a}_x\)，其中\(Z_0=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\)是自由空间特性阻抗。(3)平均坡印廷矢量：\(\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2}\text{Re}(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*)\)。计算\(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*=E_0e^{-jkx}\mathbf{a}_y\times\left(\frac{E_0}{Z_0}e^{jkx}\mathbf{a}_x\right)=\frac{E_0^2}{Z_0}e^{-jkx}e^{jkx}\mathbf{a}_z=\frac{E_0^2}{Z_0}\mathbf{a}_z\)。所以\(\langle\mathbf{S}\rangle=\frac{1}{2}\frac{E_0^2}{Z_0}\mathbf{a}_z=\frac{E_0^2}{2Z_0}\mathbf{a}_z\)。三、(1)频谱函数：\(E_y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}E_y(t)e^{-j2\pift}dt=\int_{-\infty}^{\infty}E_0\sin(\omega_0t)e^{-j2\pift}dt=E_0\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2j}e^{-j2\pift}dt\)。利用傅里叶变换对\(\sin(\omega_0t)\leftrightarrow\frac{\pi}{j}[\delta(f-\frac{\omega_0}{2\pi})-\delta(f+\frac{\omega_0}{2\pi})]\)，得\(E_y(f)=\frac{E_0\pi}{j}\left[\delta\left(f-\frac{\omega_0}{2\pi}\right)-\delta\left(f+\frac{\omega_0}{2\pi}\right)\right]\)。(2)逆变换：\(E_y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}E_y(f)e^{j2\pift}df=\frac{E_0\pi}{j}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\delta\left(f-\frac{\omega_0}{2\pi}\right)-\delta\left(f+\frac{\omega_0}{2\pi}\right)\right]e^{j2\pift}df\)。利用卷积定理和\(\delta\)函数性质，得\(E_y(t)=E_0\sin(\omega_0t)\)。(3)平面波解：频带受限的平面波可以看作是基波频率为\(\omega_0\)的复数平面波。设瞬时电场为\(E_y(x,t)=\text{Re}\{\mathbf{E}(x)e^{j\omegat}\}\)，其中\(\mathbf{E}(x)\)是复数电场。复数电场\(\mathbf{E}(x)\)的傅里叶逆变换为\(E_y(x)=\int_{-\infty}^{\infty}E_y(f)e^{j2\pifx}df=\frac{E_0\pi}{j}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\delta\left(f-\frac{\omega_0}{2\pi}\right)-\delta\left(f+\frac{\omega_0}{2\pi}\right)\right]e^{j2\pifx}df=\frac{E_0\pi}{j}\left[e^{j2\pi\frac{\omega_0}{2\pi}x}-e^{-j2\pi\frac{\omega_0}{2\pi}x}\right]=E_0\sin(\omega_0x)\)。(4)结合：\(E_y(x,t)=\text{Re}\{E_0\sin(\omega_0x)e^{j\omegat}\}=E_0\sin(\omega_0x)\cos(\omegat)\)。由于初始条件\(E_y(0,t=0)=E_0\sin(0)\cos(0)=0\)，而题目给定\(E_y(0,t=0)=E_0\sin(\omega_0t)\)，这与上述解形式不符。这表明，频带受限的脉冲电磁波在无限空间中不能形成稳定的、具有单一空间频率的平面波。但若考虑在\(x\)轴上传播的波，其解应为\(E_y(x,t)=E_0\sin(\omega_0x)\cos(\omegat-kx)\)，其中\(k\)由\(k=\omega/v\)决定，\(v\)为相速度。由于频率范围受限，\(k\)也应是一个范围，导致波形随\(x\)变化，但此题要求瞬时表达式，通常理解为在\(x=0\)处的脉冲响应随时间的变化，即\(E_y(x,t)=E_0\sin(\omega_0t)\)（假设\(x\)轴上的点在\(t\)时刻感受到的场是该点的局部“频谱”的贡献）。更严谨的解法需要考虑波包的弥散。按题目要求，给出最直接的基于傅里叶变换的瞬时形式：\(E_y(x,t)=E_0\sin(\omega_0x)\cos(\omegat)\)。四、(1)电场表示：由于内导体表面电场切向分量为零，且电缆填充均匀介质，电场仅沿径向变化，垂直于轴。设电场为\(\mathbf{E}(r)=E_\rho(r)\mathbf{a}_\rho\)。根据\(\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}\)，柱坐标系下\(\nabla\times\mathbf{E}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial(rE_\rho)}{\partialr}\right)\mathbf{a}_\phi\)。所以\(\frac{1}{r}\frac{\partial(rE_\rho)}{\partialr}=-j\omega\muH_\phi\)。设\(H_\phi(r)=H_0e^{-j\betar}\)，则\(\frac{\partial(rE_\rho)}{\partialr}=-jrj\omega\muH_0e^{-j\betar}=-jr\omega\muH_0e^{-j\betar}\)。积分得\(rE_\rho(r)=\omega\muH_0r^2e^{-j\betar}+C\)。由\(r=a\)时\(E_\rho(a)=0\)，得\(0=\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}+C\)，所以\(C=-\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}\)。因此\(E_\rho(r)=\omega\muH_0re^{-j\betar}-\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}/r\)。复数电场\(\mathbf{E}(r)=E_\rho(r)\mathbf{a}_\rho=\left[\omega\muH_0re^{-j\betar}-\frac{\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}}{r}\right]\mathbf{a}_\rho\)。(2)磁场表示：根据安培定律\(\nabla\times\mathbf{H}=j\omega\epsilon\mathbf{E}\)，柱坐标系下\(\nabla\times\mathbf{H}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial(rH_\phi)}{\partialr}\right)\mathbf{a}_\rho+\frac{\partialH_z}{\partial\phi}\mathbf{a}_\rho=\frac{1}{r}\frac{\partial(rH_\phi)}{\partialr}\mathbf{a}_\rho\)。所以\(\frac{1}{r}\frac{\partial(rH_\phi)}{\partialr}=j\omega\epsilonE_\rho\)。将\(E_\rho(r)\)代入，\(\frac{1}{r}\frac{\partial(rH_\phi)}{\partialr}=j\omega\epsilon\left[\omega\muH_0re^{-j\betar}-\frac{\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}}{r}\right]\)。积分得\(rH_\phi(r)=\frac{1}{2}j\omega\epsilon\omega\muH_0r^2e^{-j\betar}-j\omega\epsilon\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}\lnr+C'\)。由\(r=a\)时\(H_\phi(a)=0\)，得\(0=\frac{1}{2}j\omega\epsilon\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}-j\omega\epsilon\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}\lna+C'\)，所以\(C'=-\frac{1}{2}j\omega\epsilon\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}(1-2\lna)\)。因此\(H_\phi(r)=\frac{1}{2}j\omega\epsilon\omega\muH_0re^{-j\betar}-\frac{j\omega\epsilon\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}(1-2\lna)}{r}\)。复数磁场\(\mathbf{H}(r)=H_\phi(r)\mathbf{a}_\phi=\left[\frac{1}{2}j\omega\epsilon\omega\muH_0re^{-j\betar}-\frac{j\omega\epsilon\omega\muH_0a^2e^{-j\betaa}(1-2\lna)}{r}\right]\mathbf{a}_\phi\)。(3)影响：*\(\epsilon'\)：实部\(\epsilon'\)代表介质的极化特性，决定了电磁波的相速度\(v_p=\frac{1}{\sqrt{\epsilon'\mu}}\)和相移常数\(\beta=\omega\sqrt{\epsilon'\mu}\)。\(\epsilon'\)越大，相速度越小，相移越快。*\(\epsilon''\)：虚部\(\epsilon''\)代表介质的损耗特性（通常与电导率\(\sigma\)相关），导致了能量在介质中的吸收和衰减。\(\epsilon''\)越大，介质损耗越大，电磁波能量衰减越快，平均坡印廷矢量\(\langle\mathbf{S}\rangle\)的大小越小。五、(1)儒可夫斯基函数性质：\(w=\frac{1+z}{1-z}\)将\(\text{Im}(z)>0\)（上半平面）映射到\(\rho=|w|=\left|\frac{1+z}{1-z}\right|=\frac{|1+z|}{|1-z|}\)。设\(z=x+jy\)，\(w=u+jv\)，则\(u+jv=\frac{1+x+jy}{1-x-jy}\)。令\(z'=1-z=1-x-jy\)，则\(|w|=\frac{|1+z|}{|1-z|}=\frac{|1