2025年大学《数理基础科学》专业题库-变分法在数学与物理中的应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——变分法在数学与物理中的应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题3分，共15分。请将你认为正确的选项字母填在括号内）1.泛函∫[a,b]F(x,y(x),y'(x))dx的变分δJ满足δJ=0的几何意义是曲线y(x)[]。(A)是一条直线(B)是泛函J的一个临界点(C)是泛函J的一个极小值点(D)是曲线族中使得泛函J值最小的一条2.微分ΔS=dS在无穷小范围内可写成ΔS≈δS，其中δS是指[]。(A)面积元的高阶无穷小(B)面积元的线性主部(C)面积元的变分(D)面积元的平方3.对于泛函J[y]=∫[a,b](y'^2-y^2)dx，若y=x是其极值曲线，则满足的欧拉-拉格朗日方程是[]。(A)y''-y=0(B)y''+y=0(C)y''-y'=0(D)y''+y'=04.在使用拉格朗日乘子法求解等式约束泛函∫F(x,y,z,y',z')dx的变分问题时，引入乘子λ后，需要求解的方程组数量是[]。(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5.最小作用量原理∫[t1,t2]L(q,q',t)dt→min描述的物理量是[]。(A)动量(B)角动量(C)动能(D)作用量二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在横线上）6.若泛函J[y]=∫[a,b](y'^3+2xy)dx在y=x时取极值，则必有δy(x)|_{x=a}=________，δy(x)|_{x=b}=________。7.欧拉-拉格朗日方程∂F/∂x-d/dx(∂F/∂y')=0适用于求解________型泛函的极值曲线。8.对于泛函J[y]=∫[a,b](y'^2+y^2)dx，其欧拉-拉格朗日方程的积分因子为________。9.在哈密顿原理作用下，经典力学系统的运动轨迹是作用量S=∫Ldt取________的路径。10.若F=F(x,y,y'),且不含x依赖项，即∂F/∂x=0，则其对应的欧拉-拉格朗日方程的积分形式为________。三、计算题（每小题10分，共30分）11.求解泛函J[y]=∫[0,1](y'^2-2y)dx的极值曲线。12.求解泛函J[y]=∫[1,2](y'^2+xy)dx在边界条件y(1)=1,y(2)=2下的极值曲线。13.求解泛函J[y]=∫[0,π/2](y'^2+y^2)dx在约束条件y(0)=0,y(π/2)=1下的极值曲线。四、证明题（每小题15分，共30分）14.证明：若F=F(y',y"),则泛函J[y]=∫Fdx的欧拉-拉格朗日方程为d/dx(∂F/∂y')-∂F/∂y=0。15.证明：对于泛函J[y]=∫[a,b](y'^2+λy^2)dx(λ为常数)，其欧拉-拉格朗日方程为y''+λy=0。五、应用题（每小题20分，共40分）16.用变分法证明在给定两点之间，连接这两点的所有曲线中，直线段具有最短的长度。17.考虑一个在重力场中仅受重力作用（势能V=mgh，h为高度）的无摩擦质点沿z轴正方向运动，试用哈密顿原理（最小作用量原理）推导质点的运动方程（设作用量S=∫Ldt，L=T-V，T为动能）。---试卷答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.D二、填空题6.0；07.不显含x8.y9.极小值10.∫(∂F/∂y')ydx=C三、计算题11.解：设y=y(x)，L=y'^2-2y欧拉-拉格朗日方程为：d/dx(∂L/∂y')-∂L/∂y=0即d/dx(2y')-(-2y)=0得y''+y=0通解为y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)极值曲线通过原点(0,0)，代入y(0)=0得C1=0极值曲线为y(x)=C2sin(x)由于边界点未指定，或可写为y(x)=Asin(x)，A为常数。12.解：设y=y(x)，L=y'^2+xy欧拉-拉格朗日方程为：d/dx(∂L/∂y')-∂L/∂y=0即d/dx(2y')-x=0得y''-x=0通解为y(x)=C1x^2/2+C2x+C3代入边界条件y(1)=1：C1/2+C2+C3=1代入边界条件y(2)=2：2C1+2C2+C3=2解得C1=0,C2=3/2,C3=-1/2极值曲线为y(x)=3x/2-1/213.解：设y=y(x)，L=y'^2+y^2欧拉-拉格朗日方程为：d/dx(∂L/∂y')-∂L/∂y=0即d/dx(2y')-2y=0得y''-y=0通解为y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)代入约束条件y(0)=0：C1cos(0)+C2sin(0)=0=>C1=0代入约束条件y(π/2)=1：C2sin(π/2)=1=>C2=1极值曲线为y(x)=sin(x)四、证明题14.证明：设y=y(x)，F=F(y',y")泛函J[y]=∫Fdx欧拉-拉格朗日方程∂F/∂x-d/dx(∂F/∂y')=0因为F不显含x，所以∂F/∂x=0则方程化为-d/dx(∂F/∂y')=0积分得d/dx(∂F/∂y')=C(常数)将C改写为-∂F/∂y，得d/dx(∂F/∂y')-∂F/∂y=0。15.证明：设y=y(x)，L=y'^2+λy^2欧拉-拉格朗日方程为：d/dx(∂L/∂y')-∂L/∂y=0∂L/∂y'=2y'd/dx(∂L/∂y')=2y''∂L/∂y=2λy方程化为：2y''-2λy=0即y''-λy=0。五、应用题16.解：设连接点(0,0)和(1,1)的曲线为y=y(x)，0≤x≤1。曲线长度泛函为J[y]=∫[0,1]√(1+y'^2)dx。令L=√(1+y'^2)。欧拉-拉格朗日方程为d/dx(∂L/∂y')-∂L/∂y=0。∂L/∂y'=(1+y'^2)^(-1/2)*y'd/dx(∂L/∂y')=[(1+y'^2)^(-1/2)*y']'=-y'(1+y'^2)^(-3/2)*2y''+(1+y'^2)^(-1/2)∂L/∂y=0方程化为：-y'(1+y'^2)^(-3/2)*2y''+(1+y'^2)^(-1/2)=0整理得y''=0通解为y=C1x+C2代入边界条件y(0)=0：C1*0+C2=0=>C2=0代入边界条件y(1)=1：C1*1+0=1=>C1=1极值曲线为y=x。要证明y=x具有最短长度，可计算泛函在y=x时的值J[y=x]=∫[0,1]√(1+1^2)dx=∫[0,1]√2dx=√2。对任意其他连接(0,0)和(1,1)的曲线y=y(x)，其长度L=∫[0,1]√(1+y'^2)dx。由柯西不等式(ab≤a^2+b^2)/2，有√(1+y'^2)≥1。因此L≥∫[0,1]1dx=1。所以L≥√2。等号成立当且仅当y'=1，即y=x。故直线段y=x具有最短长度。17.解：质点仅在重力场中运动，设质量为m，速度为v，高度为z，取z轴正方向向上。势能V=mgh=mgz。动能T=1/2*mv^2=1/2*m*(dz/dt)^2。拉格朗日量L=T-V=1/2*m*(dz/dt)^2-mgz。作用量S=∫[t1,t2]Ldt=∫[t1,t2][1/2*m*(dz/dt)^2-mgz]dt。应用哈密顿原理∂S/∂z|_(t1,t2)=0，计算变分：δS=∫[t1,t2][∂L/∂z*δz+(∂L/∂(dz/dt))*δ(dz/dt)]dt∂L/∂z=-mg，∂L/∂(dz/dt)=m*(dz/dt)δS=∫[t1,t2][-mg*δz+m*(dz/dt)*δ(dz/dt)]dt=∫[t1,t2][-mg*δz+m*(dz/dt)*d(δz)]dt=∫[t1,t2][-mg*δz+m*(dz/dt)*δz/dt]dt=[-mg*∫[t1,t2]δzdt+m*∫[t1,t2](dz/dt)δz/dt]dt=[-mg*∫[t1,t2]δzdt+m*∫[t1,t2]d(δz)]dt=[-mg*Z[t1,t2]*δz|_(t=t2)-(t=t1)+m*(δz|_(t=t2)*(dz/dt)|_(t=t2)-δz|_(t=t1)*(dz/dt)|_(t=t1))]dt由于δz|_(t=t1)=δz|_(t=t2)=0(固定端点)δS=-mg*[0-0]+m*[(δz|_(t=t2)*(dz/dt)|_(t=t2)-0)]=m*(dz/dt)|_(t=t2)*δz|_(t=t2)要使δS=0对任意变分δz|_(t=t2)成立，必有(dz/dt)|_(t=t2)=0。同理，在t=t1端点，有