16.2（第2课时）多项式与多项式相乘 分层作业（解析版）

2/216.2（第2课时）多项式与多项式相乘目录TOC\o"1-3"\h\u类型一、计算多项式乘多项式 1类型二、已知多项式不含某一项求值问题 7类型三、化简求值 11类型四、图形面积问题 14类型五、探索规律 17TOC\o"1-3"\h\u类型一、计算多项式乘多项式1．若，则的值分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于，的方程来确定，的值．【详解】解：∵，又∵，∴，，故选：C．2．若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．由的取值而定【答案】C【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小．【详解】解：∵，，∴，因为，即，所以故选：C．3．计算：．【答案】/【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则为解题的关键．直接运用多项式乘多项式运算法则求解即可．【详解】解：．故答案为：．4．若，则代数式的值为．【答案】4【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：；，．把代入，得．所以，代数式的值为4．故答案为：4．5．若展开后的结果为，则常数．【答案】【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握；利用多项式乘多项式的法则进行运算即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴．故答案为：．6．已知，则的值为．【答案】12【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可．【详解】解：∵．∴，∴．故答案为：12．7．若，则．【答案】3【分析】本题考查多项式乘多项式，展开等式左边建立关于m，n的方程组是求解本题的关键．将等式左边展开，建立关于m，n的方程，然后解方程求得m、n即可解答．【详解】解：．∵，∴，∴，∴．故答案为：3．8．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键．（1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可；（2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可．【详解】（1）解：；（2）解：．9．化简：．【答案】【分析】本题考查整式的混合运算，根据多项式乘多项式运算法则展开后计算即可．【详解】解：．10．化简：．【答案】【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减等运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．11．已知多项式与多项式的乘积中，x的系数分别是和5，求a，c的值．【答案】【分析】本题主要考查多项式乘以多项式及二元一次方程组的解法，熟练掌握多项式乘以多项式及二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意易得，则有，然后进行求解即可．【详解】解：，又的系数分别是和5，∴，解得：．12．化简：．【答案】【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是掌握相关运算法则．根据多项式乘多项式的运算法则计算．【详解】解：．28．回答下列问题：(1)计算：①_____；②______；③_____．(2)总结公式：_____．(3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果：①______；②______；(4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______．【答案】(1)①；②；③；(2)；(3)①；②(4)7或或5或【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．（1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子；（2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式；（3）利用（2）总结的公式直接计算；（4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值．【详解】（1）解：①，故答案为：；②，故答案为：；③；故答案为：；（2）解：；（3）解：①；②；（4）解：因为，所以，．因为，均为整数，，当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以的所有可能值为7或或5或．13．在综合与实践课上，小明设计了如下运算：，例：．(1)化简：_______；(2)计算：．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．（1）先根据已知条件中的新定义列出算式，然后按照多项式乘多项式法则进行计算，最后合并同类项即可；（2）先根据已知条件中的新定义列出算式，然后按照多项式乘多项式法则进行计算，最后合并同类项即可．【详解】（1）解：∵，∴．故答案为：．（2）∵，∴．14．解方程与不等式(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解不等式、多项式乘多项式等知识点，正确化简方程和不等式成为解题的关键．（1）先化简方程，然后再解一元一次方程即可；（2）先化简不等式，然后再求解不等式即可．【详解】（1）解：，，，，．（2）解：．类型二、已知多项式不含某一项求值问题15．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A． B．7 C．0 D．1【答案】A【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可．【详解】解：，与的乘积中不含的一次项，，，故选：A．16．若的乘积中不含与项，则的值为（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题的关键是根据题意将式子展开再让不含该项的系数为0．根据多项式乘多项式的法则，计算展开后，合并同类项，让与项的系数分别为0即可求解．【详解】解：，∵乘积中不含与项，，解得：，，故选：A．17．若与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了整式的乘法，根据多项式乘以多项式的法则计算，可得：，根据与的乘积中不含的一次项，可得：，从而可知．【详解】解：，与的乘积中不含x的一次项，，解得：．故选：A．18．要使多项式不含x的二次项，则与的关系是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的二次项，即含x的二次项的系数为0进行求解即可．【详解】解：∵多项式不含x的二次项，∴，∴，故选：B．19．若的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，则．【答案】【分析】本题主要考查了整式化简中无关类问题，解二元一次方程组，熟练掌握整式运算法则是解题关键．根据题意利用多项式乘以多项式将原式括号去掉，然后化简，然后由的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，得到关于的二元一次方程组，再解方程组即可．【详解】解：，，∵的乘积中不含二次项，且一次项的系数为1，∴，解得，∴，故答案为：．20．若的结果中不含有的一次项，则的值为．【答案】【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键；按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可．【详解】，，，若的结果中不含有的一次项，则，解得．故答案为：．21．已知的乘积中不含项与项，则．【答案】【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，多项式乘多项式法则，把式子展开，找到项与和项的所有系数，令其为，求出和的值，然后代入要求的式子进行计算即可，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不含某一项就是说这一项的系数为．【详解】解：∵，又∵结果中不含项与项，∴，，∴，，∴，故答案为：．22．若的结果中不含项，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是明确结果不含项，则其相应的系数为0．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合结果不含项，则其相应的系数为0，从而可求解．【详解】解：，∵结果中不含项，∴，解得：．故答案为：．23．若多项式的计算结果不含项，则的值为．【答案】【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含项的系数等于0建立方程，解方程即可得．【详解】解：，∵多项式的计算结果不含项，∴，∴，故答案为：．类型三、化简求值24．根据要求完成下列小题：(1)若，，求的值；(2)先化简，再求值：，其中．【答案】(1)72(2)；【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法运算，多项式乘多项式、平方差公式及代数式的化简求值，解题关键是熟练运用幂的运算性质与乘法公式进行化简计算．（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知值计算．（2）先通过多项式乘法、平方差公式展开式子，合并同类项化简，再代入求值．【详解】（1）解：；（2）解：；当时，原式．25．先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的乘法，整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则．利用整式的乘法运算和加减运算对原式进行化简，然后将的值代入求解即可．【详解】解：，当时，原式．26．先化简，再求值：，其中,．【答案】，【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，整式加减运算中的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据多项式乘以多项式运算法则化简，再代入求值即可．【详解】解：原式，当,时，原式．27．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据多项式乘以多项式进行化简，然后再代值求解即可．【详解】解：原式；∵，∴原式．28．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查了整式乘法的混合运算以及代数求值，正确的计算是解题的关键．根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入即可求解．【详解】解：，∵∴原式．29．先化简再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键．先运用整式的运算法则化简，然后将，代入求值即可．【详解】解：；当，时，原式．30．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：，当时，原式．类型四、图形面积问题31．已知有A，B，C三种类型的纸片若干张，现用这些纸片拼成相邻边长分别为、的矩形，对于拼接条件，甲、乙两名同学分别提出了自己的看法．甲：需要C型纸片4张；乙：需要三种类型的纸片合计41张；则下列判断正确的是（

）A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错【答案】D【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据多项式乘多项式法则进行运算，结合三种类型的纸片的面积，即可获得答案．【详解】解：根据题意，可知A型纸片面积为，B型纸片面积为，C型纸片面积为，∵，∴拼成相邻边长分别为、的矩形，需要A型纸片15张，B型纸片4张，C型纸片23张，∴需要三种类型的纸片合计张，综上所述，甲、乙都错．故选：D．32．如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑横向、纵向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积．【答案】平方米；当，时，绿化面积为平方米．【分析】本题考查多项式乘法与图形的面积．根据长方形的面积计算方法列式，再根据多项式乘多项式的法则进行计算，然后把，代入计算即可．【详解】解：根据题意得：（平方米）∴绿化面积是平方米．当，时，（平方米）∴当，时，绿化面积为平方米．33．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．用含有a、b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）．【答案】平方米【分析】本题考查列代数式及整式的运算，绿化的总面积为长方形地块的面积减去中间空白矩形面积．【详解】解：绿化的总面积为：（平方米）．34．如图，长方形中，，，放入一个边长为的正方形和两个边长都为的正方形及正方形，分别表示对应阴影部分的面积．(1)_____，_____，_____；（结果用含或的代数式表示）(2)若，求长方形的周长．【答案】(1)，，；(2)【分析】（）根据题意和图形列出代数式即可；（）由可得，即得，进而即可求解；本题考查了列代数式，多项式乘以多项式的应用，正确识图是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，，，，故答案为：，，；（2）解：∵，∴，整理得，，∴长方形的周长．35．如图，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，G在线段上．已知正方形的边长为4，求的面积．【答案】16【分析】该题考查了多项式乘法的应用，作交的延长线于点M，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据阴影部分的面积等于，列式求解即可．【详解】解：作交的延长线于点M，如右图所示，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，∵正方形的边长为4，则阴影部分的面积是：，即的面积是16．类型五、探索规律36．课本第37页“阅读材料”中介绍了贾宪三角，贾宪三角可以看作是对两数和平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律：根据上述规律，展开式的系数和是（

）A．32 B．64C．88 D．128【答案】D【分析】本题考查了贾宪三角．根据题干找出展开式的系数和的规律作答即可．【详解】解析：当时，展开式的系数和为；当时，展开式的系数和为；当时，展开式的系数和为；当时，展开式的系数和为；当时，展开式的系数和为；当时，展开式的系数和为；……当时，展开式的系数和为．故选：D37．观察下列各式的规律：；；；…可得．【答案】/【分析】本题考查整式乘法的运算规律，先根据算式结果的特点归纳出此种算式的规律，再运用该规律进行求解．解题的关键是能准确归纳出该运算规律．【详解】解：∵，，，……∴，∴．故答案为：．1．淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为．(1)求的值．(2)请求出这两道题的正确结果．【答案】(1)(2)淘气计算的题：；笑笑计算的题：【分析】本题主要考查了多项式乘多项式及解一元一次方程，熟练运用多项式乘多项式的法则是正确解答此题的关键．（1）分别计算及后得到关于的方程，解方程即可；（2）将分别代入原式计算对应的结果即可．【详解】（1）解：由题意，得，，所以，解得；，，所以，解得；（2）解：淘气计算的题：；笑笑计算的题：．2．如图是2023年11月份的日历，在日历上用方框框选4个数字，将这4个数交叉相乘后，再相减，如：，，可以发现，结果都是．(1)请你再选择类似的两个部分，通过计算验证结果是否符合规律；(2)这个月中任意这样四个数是否都符合这一规律？不符合请举出反例；若符合，请用含字母n的子表达出这个规律，并通过运算对这个规律加以证明．【答案】(1)，（答案不唯一）；(2)，证明见解析【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式和单项式乘多项式运算的应用，解题的关键是正确表示各数．（1）根据题意写出等式，只要符合题意即可；（2）用代数式表示各数，然后写出规律；利用多项式的乘法，合并同类项等知识证明即可．【详解】（1）解：由题意得，，（答案不唯一）；（2）设这个月中任意这样四个数中左上角的数为n，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为，∴规律表示为：；证明如下：．∴规律成立．3．观察下列两位数的积的运算（这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字和等于），回答下列问题．，，，(1)观察上面规律，填空．；．(2)写出你发现的规律．(3)证明你发现的规律．【答案】(1)；(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据两数乘积的变化找出变化规律是解题的关键．（1）根据结果找出数字规律，利用找出的规律进行计算即可；（2）由题意得出如果两个两位数的十位数字相同，个位上的数字的和等于，那么它们的积是一个四位数，积的前两位是十位数字乘比它大的数字，积的后两位是个位数字的积；（3）设十位上的数字为，个位上的数字为，则上述规律可表示为：，利用整式的运算法则化简等式的左边，化简结果相等即可得出结论．【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）解：如果两个两位数的十位数字相同，个位上的数字的和等于，那么它们的积是一个四位数，积的前两位是十位数字乘比它大的数字，积的后两位是个位数字的积；（3）解：设十位上的数字为，个位上的数字为，则上述规律可表示为：，证明：∵，∴左边右边，∴成立．1．在数学中，为书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如：记，，，已知，则m的值为．【答案】【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据二次项的系数判断出这个多项式有三项是解本题的关键．根据二次项的系数为3，可得，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．【详解】解：∵二次项的系数为3，∴可以判断，∵∴，∴，∴，∴．故答案为：．2．根据，，，．所包含的规律，回答下列问题．（1）的值为．（2）的个位数字是．【答案】633【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键．（1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答；（2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案．【详解】解：（1）观察题干式子，得，故答案为：63；（2），∵的个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是……，∵∴的个位数是3．故答案为：33．阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示．(1)请写出图②所代表的恒等式；(2)请你自己画出一个平面图形，使他的面积表示：．【答案】(1)；(2)见详解【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．（1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面