专项突破：巧构等腰三角形的基本模型（原卷版）

2/2专题巧构等腰三角形的基本模型目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、等腰三角形中过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 1题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 8题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 12题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 18B综合攻坚・能力跃升题型一、等腰三角形中过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形.条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC.结论：△ADE是等腰三角形.条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB.结论：△CDE是等腰三角形.1.如图，是的角平分线，，交于点．(1)求证：是等腰三角形．(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．2．综合与探究如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点．(1)如图1，求证：是等腰三角形．(2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由．3．【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：；【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。1.已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．(1)求证：是等腰三角形；(2)求的周长．2.如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．(1)求的度数；(2)求证：是等腰三角形；(3)若，求的长（用含m，n的式子表示）．3.（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若，其他条件不变，图中有个等腰三角形；与，间的关系是；（3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有个等腰三角形．与，间的数量关系是．题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形模型解析：如图，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≅△ACD,从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形.1.如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N．(1)求证：为等腰三角形；(2)求证：．2.如图1：在中，平分，且，(1)若，求的长；(2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长．3.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A为上一点，过点A作,

垂足为C，延长交于点B，可证得，则，．【问题提出】（1）如图②，在中，平分，于点E，若，，通过上述构造全等的办法，求∠的度数；【问题探究】（2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系；【问题解决】（3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作：①作的平分线；②再过点A作交于点D．已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积．题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形．条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形.条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形.条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形.1.如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下：①如图2，在上取一点，使，连接．②由，平分，是公共边，可得（理由：________），则，．③由，则．又因为，所以，则___________．又由，得．④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________．(1)请你补全小明的解题思路．(2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程．2.问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．(1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程．(2)当时，如图2，求证：；(3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论．3．已知在中，满足．

(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，请直接写出之间的数量关系_________；(2)【问题拓展】如图2，当，AD为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．(3)【猜想结论】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点E，使得，连接，请直接写出线段的数量关系_________．1．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．2．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种：(1)如图①，平分，，则；(2)如图②，，平分，则是等腰三角形．3．如图，已知，平分，交于点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)若于点D，，求的度数．4．（1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题：如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：．（2）如图2，在中，平分，，，求证：．5．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：；方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：；问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系．6．【基础探究】（1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形．【经验应用】（2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由．【拓展提升】（3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系．7．综合与实践问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系．方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程；（2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由．8．阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系．学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）．．这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的