专项突破：全等三角形中动点与新定义型问题（解析版）

2/2专题全等三角形中动点与新定义型问题目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题 1题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题 4题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 9题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题 12题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 16B综合攻坚・能力跃升题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题1.如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（

）秒时，与全等．A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作，由题意得，，∵，∴，∵，∴，∴，当时，则，即，解得：；②如图2，当点P与点Q重合时，由题意得，，∵，∴，当，则，∴，解得：；③如图3，当点Q与A重合时，由题意得，，∵，∴，∵，∴，当，则，即，解得：；当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，故选D．2.如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，与全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．【详解】解：由题意得：，若，根据证得，，即，若，根据证得，，即．当t的值为1或7秒时．与全等．故答案为：1或7．3.如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等．【答案】秒或秒或【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点在线段上，时，；当在上，时，；当在线段上，时；当在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点在线段上，时，，，，，点的运动时间为（秒）；当在上，时，，，，，点的运动时间为（秒）；当在线段上，时，此时在点未动，时间为秒，不符合题意；当在上，时，，，，，点的运动时间为（秒）；综上所述，当点经过秒或秒或秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等，故答案为：秒或秒或．题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题4．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动秒时，和全等．【答案】或【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键．【详解】解：①点在上时，如图，，，运动秒；②点在上时，如图，，，，的运动路程为：，，运动秒；运动或秒；故答案为：或．5．如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为时，与全等．【答案】2或【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．【详解】解：①当，时，，，，，，解得：，，，解得：；②当，时，，，，，解得：，，，解得：，综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或．【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．6．在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为．（1）如图1，当点P到，的距离与相等时，；（2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为．【答案】3或或或【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论．（1）连接，证明，得出，根据即可求出结果；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．【详解】解：（1）连接，如图所示：∵点P到，的距离与相等，∴平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：3．（2）设点的运动速度为，①当点在上，点在上，时，，∴运动时间为。则，解得；②当点在上，点在上，时，，∴运动时间为，则，解得：；③当点P在上，点在上，时，，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；④当点P在上，点Q在上，时，∴点P的路程为，点Q的路程为，∴此时运动时间为，则，解得；∴运动的速度为或或或．故答案为：或或或．题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论．【详解】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，

∵平分，∴，∵，，∴，同理，∴，，，∴，即：，在上时最小．是的角平分线，，∵，，则，．故选C．8.如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是．【答案】3【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，则当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．再根据三角形的面积公式求出的长，即可．【详解】解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，∵平分，，，∴，∴，即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．∵的面积为12，最长边，∴，即，∴即的最小值为3．故答案为：3．9.如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是．【答案】//【分析】本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，此时有最小值．【详解】解：点D到的距离等于的长，∴是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，∴，∵，∴此时有最小值，∵中，，，，，∴，∴，故答案为：．题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题10．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线．【答案】见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定．过作于点，于点，利用定理证明，得到，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；【详解】证明：如图，过作于点，于点，∵，，，∴，在和中，，∴．∴，在和中，，∴，∴，∴为的平分线．11．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)求证：；(2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？【答案】(1)见解析(2)，理由见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论；（2）证明，利用全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理和等量代换进行角度运算可得结论．【详解】（1）证明：，，即，在和中，，；（2）解：，理由如下：，，，在和中，，，，，．12．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．(1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系．(2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．(3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系．【答案】(1)(2)，理由见详解(3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时：【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得；（2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得；（3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得；②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得．【详解】（1）解：，理由如下：∵中，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，∴．（2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下：∵中，，，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．（3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，∴∵，，∴；②如图，当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题13.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长．【综合应用】（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题；（2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）过过点作于点，先证明则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可.【详解】（1）解：过点作于，与是积等三角形，，，，；（2）解：如图2，延长至，使，连接，与为积等三角形，在和中，，在中为正整数，；（3）是积等三角形证明：如图3，过点作于点，

在和中，，与为积等三角形．14.定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．【答案】(1)，详见解析(2)45(3)见解析【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可；（2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数；（3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．【详解】（1）．理由：∵和是“同源三角形”，∴，∴．在和中，，∴，∴．（2）∵和是“同源三角形”，∴．∵，∴．由（1）可知，∴．∵，∴．故答案为：45；（3）由（1）可知，∴，．，的中点分别为，∴．在和中，，∴，∴，．∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．15.【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；(3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．【答案】(1)(2)或(3)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；（3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论．【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况①如图，是的“边垂角”，，，，，

②如图，是的“边垂角”，，，，，

综上所述，与的数量关系是或；（3）解：延长交于点，是的“边垂角”，∴，，，，，，，，，，，，，点关于直线对称点为点，，，；一、单选题1．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查角平分线的性质定理、垂线段最短，过A作于，则的长为的最小值，根据角平分线的性质定理求得即可．【详解】解：过A作于，则的长为的最小值，∵平分，，，，∴，即的最小值为2，故选：B．2．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（

）

A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键．【详解】解：由题意得，，，∴，∵，∴，当时，则，，∴，，∴，∴此时点的速度为；当时，则，，∴，即，∴，∴，∴此时点的速度为；综上，动点的速度为或，故选：．3．如图，点是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，连接，若的大小为（

）A． B．C． D．随2点的移动而变化【答案】C【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．根据题意得出，过点作交于点，作交于点，作交于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出是的角平分线，算出，再根据三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D，∴，∵过点作交于点，作交于点，作交于点，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是的角平分线，∵，∴，∴，∴，故选：C．二、填空题4．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为．【答案】3【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作于，根据角平分线的性质求出的长即可．【详解】解：作于，∵平分，，又∵点是射线上一个动点，，∴，最小值为3，故答案为：3．5．如图，在中，，，，AD平分交BC于点D，过点D作交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则的最小值为．【答案】10【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案．【详解】解：如图，过点D作于H，并延长，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在上取一点，使，连接，∵，∴，∴，∴（假设点Q是定点，点共线时，取最小），∵点Q是动点，∴当时，即点与点H重合，的最小值为，故答案为：10．6．如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则．【答案】3或7【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可．【详解】解：当为线段上时，作于点，由旋转的性质得，，∵，∴，∴，∴，，，∵，，，∴，∴，∴；当为线段上时，作交延长线于点，同理，∴，，，∵，，，∴，∴，∴；综上，的长为3或7．故答案为：3或7．三、解答题7．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，与为偏等积三角形，如图，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点．(1)求证：(2)求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）根据与为偏等积三角形，得到，由得，又，证得，所以；（2）由（1）知，得，，根据三角形三边关系可得，所以，再根据线段的长度为正整数，即可得的长度．【详解】（1）解：与为偏等积三角形，，，，，，；（2）解：由（1）知，，，，，，，的长度为正整数，，．8．如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为．(1)若，试求动点的运动时间的值；(2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)动点的运动时间或；(2)或时，与全等．【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题．（1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题；（2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可．【详解】（1）解：作，，则，，，当点在点左侧时，∴,即，解得：；当点在点右侧时，，∴，解得，综上动点的运动时间或；（2）当点在点上方时，，，∴当时，，即或，解得：或（舍去），当点在点下方时，，∴，，∴；答：或时，与全等．9．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟友谊三角形．(1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形；(2)如图1，在四边形中，平分，，与是珺琟友谊三角形，请探究与之间的关系；(3)如图2，在四边形中，，求证：与是珺琟友谊三角形．【答案】(1)是(2)∠B+∠D＝180°(3)证明见解析【分析】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，理解珺琟友谊三角形的定义是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质即可解答；（2）如图1中，在上取一点H，使得．再证明，然后根据全等三角形的性质及等量代换即可解答；（3）如图2中，根据三角形的内角和可得，如图：延长到点G，连接，使，易证可得，再结合为公共边以及珺琟友谊三角形的定义即可证明结论．【详解】（1）解：∵全等三角形的对应边相等，对应角相等，∴两个三角形全等，必有有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，∴若两个三角形全等，它们是珺琟友谊三角形．故答案为：是．（2）解：∵平分，∴，∵，与是珺琟友谊三角形，∴，如图1中，在上取一点H，使得．在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（3）证明：如图2中，∵，∴，如图：延长到点G，连接，使，∵，∴，∴，∴，∴,∵，∴，在和中，∴，∴，∵为公共边，∴与是珺琟友谊三角形．10．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形中，若或，则四边形是“对补四边形”．(1)如图2，四边形是“对补四边形”，是四边形的一个外角，求证：；(2)在（1）的条件下，，，在上取点E，使，在上取点F，使，连接，点G是的中点，过点E作与的延长线相交于点H，连接，，探索与的关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，，见解析【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质；（1）根据“对补四边形”可得，再结合外角可得，即可得到；（2）先证明，得到，再证明得到，，最后根据，得到．【详解】（1）证明：∵四边形是“对补四边形”∴，∵，∴；（2）解：，，证明如下：∵G为的中点，∴，∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴，由（1）知，∴在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴．∴．．11．知识再现：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图①，是的平分线上任意一点，若，，垂足分别为，，则．从运动角度看：如图①，射线是的平分线，，，分别是，，上的动点，若，则．(1)初