高二数学（人教A版）教案选择性必修二第四章数列

第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与表示(概念课逐点理清式教学)课时目标 1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.2.会由通项公式写出数列的任一项,理解数列是一种特殊函数.逐点清(一)数列的概念与分类[多维度理解]1.数列的概念(1)一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.(2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.2.数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项微点助解(1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项.(2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列.(3)同一个数在数列中可以重复出现.[细微点练明]1.下列各项表示数列的是()A.a,b,c,…,x,y,zB.2019,2020,2021,…,2025C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形D.a+b,ab,ab,2a解析:选B数列必须由数组成,A、C、D中均不是数.2.下列有关数列的说法正确的是()A.同一数列的任意两项均不可能相同B.数列2,0,2与数列2,0,2是同一个数列C.数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}D.数列中的每一项都与它的序号有关解析:选D常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列2,0,2与2,0,2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.故选D.3.已知下列数列:①2019,2020,2021,2022,2023,2024;②1,12,14,…,12n-1,…;③1,23,35,…,(-1)n-1·n2n-1,…;④1,0,1,…,sinnπ2,…;⑤2,4其中,有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是,常数列是,摆动数列是.(填序号)

答案:①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④逐点清(二)数列的通项公式[多维度理解]如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.微点助解(1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项.(2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项.(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(1)n还可以写成an=(1)n+(4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样.[细微点练明]1.已知数列{an}的通项公式为an=1+(-1)n+12,n∈N*,A.1,0,1, B.0,1,0,1C.12,0,12,0 D.2,0,2解析:选A当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是()A.380 B.392C.321 D.232解析:选An=19时,n(n+1)=380.3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的()A.不在此数列中 B.第13项C.第14项 D.第15项解析:选D因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n1).由37(n1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项.4.已知数列{an}的通项公式为an=20213n,则使an>0成立的正整数n的最大值为.

解析:由an=20213n>0,解得n<20213=673+23,因为n∈N*,所以正整数答案:6735.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:(1)a,b,a,b,…;(2)22-12,32-1(3)1,3,5,7,9,…;(4)11×2,12×3,(5)12,2,92,8,252(6)3,33,333,3333,….解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=a,n为奇数,b,n为偶数,也可记为an=a+b2+(1(2)这个数列的前4项为22-12,32其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=(n+1)2-(3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的奇数,且奇数项为正,偶数项为负,故an=(1)n+1(2n1),n∈N*.(4)这个数列的前4项为11×2,12×3,13×4,14×5,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正(5)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,该数列为12,222,322,422,52故an=n22,n∈N(6)因为3=(1)1×13×(101),33=(1)2×13×(1001),333=(1)3×13×(1000所以an=(-1)n(10n逐点清(三)数列的函数特性[典例]已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·1011n,n∈N*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,解:法一an+1an=(n+2)1011n+1(n+1)·当n<9时,an+1an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1an<0,即an+1<an.则a1<a2<a3<…<a9=a10,且a10>a11>a12>…,故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×1011法二根据题意,令a即n·解得9≤n≤10.又n∈N*,则n=9或n=10.故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×1011[变式拓展]若本例通项公式“an=(n+1)1011n”变为“an=n解:有最大项.a1=12,a2=2222=1,a3=3223=98,a4=4224=∵当n≥3时,an+1an=(n+1)22n+1×2nn2=(n+1)22n2=121+1n2<1,∴an+1<an,即n≥3时,{an}是递减数列.又∵[思维建模]数列单调性的判断方法和应用思路(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法.(2)解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系:数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*);数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*).转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构建有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围.[针对训练]已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列,则t的取值范围是.

解析:法一由数列{an}为递增数列,则an+1an=(n+1)2+t(n+1)(n2+tn)=2n+1+t>0恒成立,即t>(2n+1)恒成立.而n∈N*,所以t>3,故t的取值范围是(3,+∞).法二an=n2+tn=n+t由于n∈N*,且数列{an}为递增数列,结合二次函数的图象可得t2<3解得t>3,故t的取值范围是(3,+∞).答案:(3,+∞)[课时跟踪检测]1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}B.数列2,1,0,1,2与数列2,1,0,1,2是相同的数列C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点D.数列的项数一定是无限的解析:选C对A,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;对B,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;对D,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2n,那么()A.30是数列{an}的一项B.45是数列{an}的一项C.66是数列{an}的一项D.90是数列{an}的一项解析:选BC分别令2n2n的值为30,45,66,90,可知只有当2n2n=45时,n=5或n=92(舍去);当2n2n=66时,n=6或n=112(舍去),故45,66是数列{an}3.若数列{an}满足an=3n,则数列{an}是()A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列解析:选A∵an+1an=3n+13n=2×3n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.4.数列{an}的通项公式为an=3n+1,n为奇数,2n-2A.70 B.28C.20 D.8解析:选C由通项公式得a2=2×22=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20.5.数列1,43,95,167,…的第8项是(A.6415 B.C.6413 D.解析:选A观察1,43,95,167,…可看为11,43,95,167,…,分母是2n1,分子为n2,故第6.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为()A.an=n+12n-C.an=2n25n D.an=2n1解析:选BCD对于A,a1=2,a2=1,故不是递增数列,A不符合;对于B,an+1an=2n+1(2n1)=2>0,故是递增数列,B符合;对于C,an+1an=2(n+1)25(n+1)(2n25n)=4n3>0,故为递增数列,C符合;对于D,an+1an=2n+11(2n1)=2n>0,故为递增数列,D符合.故选7.数列{an}中,an=2n2+29n+3,则此数列最大项的值是()A.107 B.108C.10818 D.1解析:选Ban=2n2+29n+3=2n2-292n+3=2n-2942+3+2928,当8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为()A.648 B.722C.800 D.882解析:选C由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800.9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为()A.an=sinπB.an=|n3|1C.an=-D.an=(n3)21解析:选ABCan=sinπn2时,a1=sinπ2=1,a2=sin2π2=0,a3=sin3π2=1,a4=sin4π2=0,a5=sin5π2=1,满足题意,故A正确;an=|n3|1时,a1=|13|1=1,a2=|23|1=0,a3=|33|1=1,a4=|43|1=0,a5=|53|1=1,满足题意,故B正确;an=-n+2,1≤n≤3,n-4,n≥4时,a1=1+2=1,a2=2+2=0,a3=3+2=1,a4=44=0,a5=54=1,满足题意,故C正确;a10.已知数列1,2,7,10,13,…,则22是这个数列的第项.

解析:原数列前几项可以看为1,4,7,10,13,根据此规律可得数列通项公式为an=3n-2.令3n2=22,则n答案:811.斐波那契数列的前7项是1,1,2,3,5,8,13,则该数列的第10项为.

解析:1,1,2,3,5,8,13,…,则从第三项起,每一项均为前2项的数字之和,13+21=34,21+34=55,故该数列的第10项为55.答案:5512.已知数列{an}的通项公式为an=n+13n-16,则数列{an解析:an=n+13n-16=131+193n-16,当n≥6且n∈N*时,an>0,且单调递减;当n≤5且n∈N*时,an<0答案:613.欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则φ(8)=;若bn=n2φ(2n),则解析:由题设φ(2)=1,则1~8中与8互质的数有1,3,5,7,共4个数,故φ(8)=4.在1~2n中,与2n互质的数为范围内的所有奇数,共2n1个,即φ(2n)=2n1,所以bn=n2φ(2n)=n22n-1,则bn+1bn=(n+1)22nn22n-1=2n+1-n22n,当n≤2时bn+1bn>0,当n≥3时bn+1bn<答案:4914.在数列{an}中,an=n(n8)20,请回答下列问题:(1)这个数列共有几项为负?(2)这个数列从第几项开始递增?(3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由.解:(1)由an=n(n8)20=n28n20=(n+2)(n10)<0,解得1≤n<10,n∈N*,所以数列{an}前9项为负数,即共有9项为负数.(2)因为an+1an=(n+1)(n+18)20[n(n8)20]=2n7,当an+1an=2n7>0,n>72,n∈N*,即从第4项开始数列{an}开始递增(3)an=n(n8)20=n28n20=(n4)236,根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值36,即数列中有最小值,最小值为36.15.已知数列{an}的通项公式为an=n-32n,试判断数列{an}解:an+1an=n-22n+1n-32n=4-n2n+1,当1≤n≤3时,an+1an当n=4时,an+1an=0,即a5=a4,当n≥5时,an+1an<0,即a5>a6>a7>…,所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时单调递增,在n≥5(n∈N*)时单调递减,所以数列{an}的最大项为a5=a4=116,又a1<a2<0,当n≥3(n∈N*)时,an=n-3所以数列{an}的最小项为a1=1.第2课时数列的递推公式与前n项和(强基课梯度进阶式教学)课时目标课时目标1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种.2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.3.理解数列的前n项和,会由数列的前n项和公式求数列的通项公式.1.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.微点助解(1)通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值.(2)利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项,②递推关系,这两个条件缺一不可.2.数列的前n项和公式(1)数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.(2)数列{an}的前n项和公式如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.(3)an与Sn的关系:an=S1微点助解(1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9S4.(2)an=SnSn1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项.[基点训练]1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法.()(2)所有数列都有递推公式.()(3)仅由数列{an}的关系式an=an1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列.()答案:(1)√(2)×(3)×2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an3,则a3等于(A.7 B.4C.1 D.2解析:选Aa2=a13=13=4,a3=a23=43=7.3.数列{an}的前n项和Sn,若SnSn1=2n1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为()A.1 B.3C.5 D.6解析:选C∵SnSn1=2n1(n≥2),且S2=3,∴S1=0,S3=8,∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5.4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2,则an=.

解析:当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=SnSn1=4n+2.显然n=1时符合,故an=4n+2.答案:4n+2题型(一)数列的递推公式及应用[例1]已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an1+an2(n≥3)给出.(1)写出此数列的前5项;(2)通过公式bn=anan+1(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn解:(1)∵an=an1+an2(n≥3),且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.(2)∵bn=anan+1,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,∴b1=a1a2=12,b2=a2a3=23,b故数列{bn}的前4项依次为b1=12,b2=23,b3=35,b4[思维建模]由递推关系写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可;(2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1;(3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=an[针对训练]1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=2anan+2解:∵a1=1,an+1=2a∴a2=2a1a1+2=23,a3a4=2a3a3+2=2×1212+故该数列的前5项为1,23,12,25题型(二)由递推公式求数列的通项公式方法1累加法求通项公式[例2]在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,则an=(A.2+lnn B.2+(n1)lnnC.2+nlnn D.1+n+lnn解析:选A法一:归纳法由题意得数列的前5项分别为a1=2,a2=2+ln1+11=2+ln2,a3=(2+ln2)+ln1+12=2+ln3,a4=(2+ln3)+ln1+13=2+ln4,a5=(2+ln4)+ln1+14=2+ln5,…,由此猜想数列的一个通项公式为法二:迭代法由题意得an=an1+ln1+1n-1=an1+lnnn则an=an1+lnnn-1=an2+lnn-1n-2+lnnn-1=…=a1+ln21+ln32+ln43+…+lnnn-1=a1又a1=2=2+ln1,符合上式,所以an=2+lnn.法三:累加法由题意得an+1an=ln1+1n=lnn+1n=ln(n+1)lnn,因此,a1=2,a2a1=ln2,a3a2=ln3ln2,a4a3=ln…,anan1=lnnln(n1)(n≥2),以上各式两边分别相加,得an=2+ln2+(ln3ln2)+(ln4ln3)+…+[lnnln(n1)](n≥2).所以an=2+lnn(n≥2).因为a1=2也适合上式,所以an=2+lnn.[思维建模]累加法求数列通项公式形如an+1an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2a1)+(a3a2)+…+(anan1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.方法2累乘法求通项公式[例3]设数列{an}中,a1=1,an=1-1nan-1(解:∵a1=1,an=1-1nan1(n≥∴anan-1=n-1n,an=anan-1·an-1an-2·an-2an-又a1=1也符合上式,∴an=1n[思维建模]累乘法求数列通项公式形如an+1an=f(n)的递推公式,可以利用a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=[针对训练]2.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=nn+1an,则a2020的值为(A.12020 BC.11010 解析:选C∵an+1=nn+1an,即an+1an=nn+1,∴an=anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N*,则an=.

解析:由题意得,an=an1+2=an2+2×2=…=a1+2×(n1)=2n1,n≥2,又a1=1适合上式,∴an=2n1,n∈N*.答案:2n14.已知数列{an}满足a1=1,an+1an=2n1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.解:因为an+1an=2n1,n∈N*,所以当n>1,n∈N*时,有anan1=2n3,因此有an=(anan1)+(an1an2)+(an2an3)+…+(a2a1)+a1,即an=(2n3)+(2n5)+(2n7)+…+1+1=(2n-3+1)(n-1)2+1=n22n+2,当n=1时,适合上式,所以an=题型(三)数列的前n项和公式及应用[例4]设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n230n.求a1及an.解:因为Sn=2n230n,所以当n=1时,a1=S1=2×1230×1=28,当n≥2时,an=SnSn-1=2n230n[2(n1)230(n1)]=4n验证当n=1时上式成立,所以an=4n32,n∈N*.[变式拓展]将本例的条件“Sn=2n230n”改为“Sn=2n230n+1”,其他条件不变,求an.解:因为Sn=2n230n+1,所以当n=1时,a1=S1=2×1230×1+1=27,当n≥2时,an=SnSn-1=2n230n+1[2(n1)230(n1)+1]=4n当n=1时不符合上式.所以an=-[思维建模]已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=SnSn1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并.[针对训练]5.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+11,则下列说法正确的是()A.a1=3 B.an=2n(n≥2)C.an=2n D.an=2n(n≥2)解析:选AD因为Sn=2n+11,所以当n=1时,a1=S1=21+11=3;当n≥2时,an=SnSn1=(2n+11)(2n1)=2n.当n=1时,不符合上式,故an=36.已知数列{an}的前n项和Sn=n28n,第k项满足4<ak<7,则k=.

解析:a1=S1=7,当n≥2时,an=SnSn1=n28n(n1)2+8(n1)=2n9,由4<ak<7得4<2k9<7,得132<k<8,因为k为正整数,所以k=7答案:7[课时跟踪检测]A级——综合提能1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+1an-1(n≥2),则a3=(A.35 B.C.53 D.解析:选C因为a1=2,所以a2=1+1a1=32,a3=1+1a2=1+232.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n2,则a5=()A.16 B.18C.20 D.25解析:选B依题意,a5=S5S4=2×522×42=18.故选B.3.记Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=n2,n≤5,5n-A.1 B.5C.7 D.9解析:选A因为Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=n2,n≤5,5n-4,n>5,则a6=S6S54.已知数列{an}中,a1=1,an+1an=12,则数列{an}A.an=2n B.an=1C.an=12n-解析:选C法一由已知可知,a1=1,a2=12,a3=122,a4=123,…,∴法二an=anan-1·an-1an-2·…·a5.在数列{an}中,若a1=2,an=11an-1(n≥2),则a2024=(A.1 B.1C.2 D.1解析:选B由题意得a1=2,a2=11a1=112=12,a3=11a2=12=1,a4=11a3=1+1=2,…,故{an}为周期数列,周期为3,故a2024=a674×3+2=6.已知数列{an}的通项公式为an=2n,n=2k-1,2n+1,n解析:由题意知,当n为奇数时,an=2n;当n为偶数时,an=2n+1,所以a1·a2=(2×1)×(2×2+1)=10.答案:107.数列{an}的前n项和Sn=nan,a1=1,则an=.

解析:当n≥2时,有Sn=nan,Sn1=(n1)an1,两式作差可得,SnSn1=nan(n1)an1,整理可得an=an1.又a1=1,所以an=1.答案:18.在数列{an}中,a1=20252024,an=n(an+1an)(n∈N*),则a202解析:因为an=n(an+1an)(n∈N*),所以(n+1)an=nan+1,所以ann=an+1n+1,所以ann是常数列,又a20242024=a1答案:20259.已知数列{an}的前n项和Sn=4n+1343(n∈N*).求数列{解:因为Sn=4n+1343(n当n=1时,a1=S1=42343当n≥2时,an=SnSn1=4n+13-434n因为a1=4也满足an=4n.综上,an=4n(n∈N*).10.数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1an=0.(1)写出数列的前5项;(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式;(3)实数199是否为这个数列中的一项?若是,应为第几项解:(1)由已知可得a1=1,a2=13,a3=15,a4=17,a5(2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…,所以它的一个通项公式为an=12(3)令199=12n-1,解得故199是这个数列的第50项B级——应用创新11.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=annan+1,则a10A.145 B.C.155 D.解析:选B∵an+1=annan+1,则1an+1=nan+1an=1an+n,∴1a21a1=1,1a31a2=2,…,1a101a912.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云:今携一壶酒,游春郊外走.逢朋加一倍,入店饮半斗.注:古代一斗是10升.大意是:李白在郊外春游时,做出这样一条约定:遇见朋友,先到酒店里将壶里的酒增加一倍(假定每次加酒不会溢出),再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则,若李白酒壶中原来有酒6升,则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是()A.37升 B.21升C.26升 D.32升解析:选A由题意,可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an},则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5,即an+1=2an5,∵a1=6×25=7,∴a2=2a15=2×75=9,a3=2a25=2×95=13,a4=2a35=2×135=21,a5=2a45=2×215=37.故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A.13.若数列{an}对任意正整数n,满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公式an=.

解析:当n=1时,a1=1;当n≥2时,由a1a2…an=n2可得a1a2…an1=(n1)2,两式作商可得an=n2(n-1)2,又a1=12答案:114.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn12an=0(n≥2,n∈N*),则a6=.解析:因为a1=1,Sn12an=0(n≥2,n∈N*),所以当n=2时,S212a2=0,即a1+a212a2=a1+12a2=1+12a2=0,所以a2=2,当n≥3时,Sn112an1=0,由Sn-12an=0,Sn-1-12an-1答案:215.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n+3.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)若数列{bn}满足bn=n2an,求数列{bn解:(1)Sn=2n+3中,令n=1得a1=2+3=5,当n≥2时,an=SnSn1=2n+32n13=2n1,其中211=1≠5,故an=5(2)当n=1时,b1=12a1当n≥2时,bn=n22n则bn+1bn=(n+当n=2时,b3b2=9当n≥3时,1n+1≤43,121n+12≤12×169<1,故bn+1bn<1,故又b3>b1,故数列{bn}的最大项为b3=944.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念与通项公式(概念课逐点理清式教学)课时目标课时目标1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.掌握等差数列通项公式的意义.2.理解等差中项,能运用通项公式解决一些简单的问题.逐点清(一)等差数列的有关概念[多维度理解](1)文字语言:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(2)递推公式:an+1an=d(d为常数).微点助解对等差数列概念的解读(1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项;(2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒;(3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2a1=a3a2=…=anan1=…=d,其中d是与n无关的常数;(4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(∞,+∞).[细微点练明]1.下列说法正确的是()A.若ab=bc,则a,b,c成等差数列B.若an+1an=n(n∈N*),则{an}是等差数列C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差解析:选A对于A,由ab=bc,可得ba=cb,因此a,b,c成等差数列,故A正确;对于B,n不是固定常数,因此该数列不是等差数列,故B不正确;对于C,公差d可以等于0,故C不正确;对于D,d=anan1(n≥2,n∈N*),而an1an=d(n≥2,n∈N*),但d不是等差数列的公差,故D不正确.2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是()A.7,13,19,25,31B.1,1,2,3,…,nC.9,9,9,9,…D.数列{an}满足an+1an=3解析:选AD因为137=1913=2519=3125=6>0,所以A中数列是公差为6的递增等差数列.因为11=0≠21,所以B中数列不是等差数列.因为99=99=…=0,所以C中数列是公差为0的等差数列,但不是递增数列.因为an+1an=3>0,所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列.3.判断下列数列是否是等差数列.如果是,写出它的公差.(1)95,82,69,56,43,30;(2)1,1.1,1.11,1.111,1.1111,1.11111;(3)1,2,3,4,5,6;(4)1,1112,56,34,23,解:(1)由8295=6982=5669=4356=3043=13,即该数列从第二项起,每一项与前一项之差为同一个常数13,所以由等差数列的定义知该数列为等差数列,公差为13.(2)通过观察可知,1.11=0.1,1.111.1=0.01,…该数列从第二项起,每一项与前一项之差不是同一个常数,所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.(3)通过观察可知,21=3,3(2)=5,…该数列从第二项起,每一项与前一项之差不是同一个常数,所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.(4)由11121=561112=3456=2334=71223=12712=1逐点清(二)等差中项[多维度理解]等差中项(1)条件:如果a,A,b成等差数列.(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是2A=a+b.微点助解(1)任意两个实数都有等差中项,且唯一.(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=a+(3)等差数列{an}中,an是ank与an+k的等差中项,注意序号间的关系.[细微点练明]1.x+1与y1的等差中项为10,则x+y等于()A.0 B.10 C.20 D.不确定解析:选C因为x+1与y1的等差中项为10,所以(x+1)+(y1)=2×10,所以x+y=20.2.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于.

解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.答案:60°3.在1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.解:∵1,a,b,c,7成等差数列,∴b是1与7的等差中项,∴b=-1+7又a是1与3的等差中项,∴a=-1+3又c是3与7的等差中项,∴c=3+72∴该数列为1,1,3,5,7.逐点清(三)等差数列的通项公式等差数列的通项公式首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n1)d.微点助解(1)等差数列通项公式与一次函数的关系由等差数列的通项公式an=a1+(n1)d可得an=dn+(a1d),如果设p=d,q=a1d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列.(2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an=a1+(n1)d四个参数a1,d,n,an“知三求一”知a1,d,n求an知a1,d,an求n知a1,n,an求d知d,n,an求a1[典例](1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断34是该数列的项吗?解:(1)设{an}的公差为d.由题意知a15=∴a75=a1+74d=6415+74×415=2(2)依题意得a∴3解得a1=∵数列{an}是递减等差数列,∴d<0.故取a1=11,d=5,∴an=11+(n1)·(5)=5n+16.即等差数列{an}的通项公式为an=5n+16.令an=34,即5n+16=34,得n=10.∴34是数列{an}的第10项.[思维建模]求等差数列通项公式的步骤[针对训练]在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求:(1)a4;(2)数列{an}的通项公式.解:(1)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,所以3a4=84,所以a4=28.(2)因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73,所以a1+得an=a1+(n1)d=1+9(n1)=9n8,所以an=9n8.[课时跟踪检测]1.[多选]下列数列中,是等差数列的是()A.1,4,7,10 B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2解析:选ABDA、B、D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为2425≠2324≠2223,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.2.已知等差数列{an}中,a2=6,a4=2,则公差d=()A.2 B.2C.3 D.4解析:选A由题意得a4=a2+2d,即6+2d=2,解得d=2.故选A.3.若1,x,2成等差数列,则x=()A.32 B.C.2 D.±2解析:选A因为1,x,2成等差数列,所以x=1+22=324.在等差数列{an}中,a1=1,公差d=2,则a5=()A.5 B.11C.9 D.7解析:选Da5=a1+4d=1+4×(2)=7,故选D.5.已知等差数列{an}中,a6=24,a30=48,则首项a1与公差d分别为()A.18,2 B.18,1C.19,2 D.19,1解析:选D依题意得a1+5d=-6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是()A.a6 B.a4C.a10 D.a12解析:选A由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=5d,所以an=a1+(n1)d=5d+(n1)d=(n6)d,所以a6=0.7.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则a+b的最小值为()A.1 B.2C.4 D.22解析:选B∵lga,lgb的等差中项是0,∴lga+lgb=0,即lgab=0,ab=1,∴a+b≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号,故a+b的最小值为2.8.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若a22是a12与a322的等差中项,则dA.0 B.1C.1 D.2解析:选C等差数列{an}的公差为d,由a22是a12与a322的等差中项,得2a22=a12+a322,即2(a1+d)2=a12+(a1+2d)22,整理得d2=1,而d≥09.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2(如2,5,8,…)且被5除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a4=()A.32 B.47C.62 D.77解析:选B根据题意可知an2既是3的倍数,又是5的倍数,即是15的倍数,可得an2=15(n1),n∈N*,即an=15n13,所以a4=15×413=47.10.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2024=()A.2024 B.2023C.4048 D.4046解析:选C设数列{an}的公差为d(d>0),因为a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a1+3d=8,3(a1+d+a1+5d)=(a1+d)(a1+11.已知a,m∈R,m是a和10a的等差中项,则m的值等于.

解析:因为m是a和10a的等差中项,故2m=a+(10a)=10,则m=5.答案:512.已知{an}为等差数列,且a72a4=1,a3=0,则公差d=.

解析:根据题意得a72a4=a1+6d2(a1+3d)=a1=1,∴a1=1.又a3=a1+2d=1+2d=0,∴d=12答案:113.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是.

解析:设等差数列{an}的公差为d,因为{an}单调递增,所以d>0,由a1+a10=4得2a1+9d=4,所以a1=4-9d2=29d2,则a8=a1+7d=292d+7d=2+52d>2,所以a8答案:(2,+∞)14.已知数列{log2(an1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为.

解析:设等差数列{log2(an1)}的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a31)=log2(a11)+2d,解得d=1,所以log2(an1)=1+(n1)×1=n,即an=2n+1.答案:an=2n+115.在等差数列{an}中:(1)已知a5=1,a8=2,求a1与d;(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.解:(1)由题意知a1+((2)由题意知a解得a1=1,d=2.∴a9=a1+(91)d=116.若数列1an是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c(1)求13和1的调和中项(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.解:(1)设13和1的调和中项为b,依题意得3,1b,1成等差数列,所以1b=3+12=2故13和1的调和中项为1(2)依题意,1an是等差数列,设其公差为则3d=1216⇒d=所以1an=1a1+(n1)d=16+19(故an=182第2课时等差数列及其通项公式的应用(深化课题型研究式教学)课时目标掌握等差数列的判定与证明方法,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.题型(一)等差数列的实际应用[例1]某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(111)×1.2=23.2(元).即需要支付车费23.2元.[变式拓展]在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5km(不足1km,按1km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费?解:由题意知,当出租车行至18.5km处时,n=16,此时需支付车费a16=11.2+(161)×1.2=29.2(元).即需要支付车费29.2元.[思维建模](1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.[针对训练]1.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为()A.4.5尺 B.5尺C.5.5尺 D.6尺解析:选D设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=12(a4+a10)=6.故选D题型(二)等差数列的判定与证明[例2]已知数列{an}中,a1=2,an=21an-1(n≥2,n∈N*),设bn=1an-(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.解:(1)证明:因为an=21an-1,所以an+1=21an.则bn+1bn=1an+1-11an-1=12-1an-1(2)由(1)知bn=n,所以bn=1an-1=n(n∈N*),解得an=1+1n,所以{an}的通项公式为an=1+1n([变式拓展]本例条件“an=21an-1(n≥2,n∈N*)”变为“an+1=2anan解:数列1an是等差数列,∵a1=2,an+1=2a∴1an+1=an+22an=即数列1an是首项为1a1=12,公差为[思维建模]证明等差数列的方法证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法.(1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法.(2)通项公式法可用于选择、填空题的求解.[针对训练]2.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an1+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1).(1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1){bn}是等差数列,理由如下:b1=log2(a1+1)=log22=1,当n≥2时,bnbn1=log2(an+1)log2(an1+1)=log2an+1an-1+1=log22an-1+2(2)由(1)知,bn=1+(n1)×1=n,∴an+1=2bn=2n,∴an=2n题型(三)等差数列项的设法与求解[例3]已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数.解:法一设这三个数首项为a1,公差为d,则a解得a1=所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5.法二设这三个数为ad,a,a+d,则a解得a=7所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5.[变式拓展]本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数.解:设这四个数分别为a3d,ad,a+d,a+3d,则(又该数列是递增数列,所以d>0,所以a=±72,d=3所以此等差数列为1,2,5,8或8,5,2,1.[思维建模]利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为ad,a+d,公差为2d;(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为ad,a,a+d,公差为d;(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a3d,ad,a+d,a+3d,公差为2d.[针对训练]3.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式.解:设等差数列的前三项分别为ad,a,a+d,由题意,得a即3a=∵等差数列{an}是递增数列,∴d=4.∴等差数列的首项为3,公差为4.∴an=3+4(n1)=4n1.[课时跟踪检测]A级——综合提能1.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则()A.数列{bn}是公差为d的等差数列B.数列{bn}是公差为cd的等差数列C.数列{bn}是首项为c的等差数列D.数列{bn}不是等差数列解析:选B由题意可知bn+1bn=can+1can=c(an+1an)=cd,所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列.2.在数列{an}中,已知a1=3,当n≥2时,1an1an-1=16,则aA.13 B.C.23 D.解析:选B当n≥2时,1an1an-1=16,即1an是公差为16的等差数列.因为1a1=13,所以1an=13+13.已知数列{an}满足2an+1=2an+1,其中a8=92,则a3=()A.1 B.3C.2 D.5解析:选C由2an+1=2an+1,得an+1an=12,即{an}是等差数列,a3=a85d=925×12=2.4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升 B.6766升C.4744升 D.37解析:选B设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,由条件得a1+a2+a3+a4=3,a7+5.[多选]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则()A.a2=3 B.an=2n1C.{a2n}是等差数列 D.{an}是递增数列解析:选ACa2=S2S1=3,故A正确;当n≥2时,an=SnSn1=n2+3(n1)23=2n1,当n=1时,a1=S1=4,不适合上式,故B错误;{an}从第2项开始为等差数列,所以其偶数项构成等差数列,故C正确;因为a1=4>a2=3,故D错误.6.已知数列{an}满足a1=1,若点ann,an+1n+1在直线xy+1=解析:由题设可得annan+1n+1+1=0,即an+1n+1ann=1,所以数列ann是以1为首项,1为公差的等差数列,答案:n2(n∈N*)7.已知数列{an}满足2an=an1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于.

解析:由2an=an1+an+1(n≥2)知,数列{an}是等差数列,设公差为d,由a6=a1+5d=47+5d=7,得d=8,所以a5=a6d=7(8)=15.答案:158.一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列,则这个正实数是.

解析:设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N*),自身是x+y,则2y=2x+x+y,所以y=3x,由于0≤x<1,y∈N*,当y=1时,x=13,x+y=43;当y=2时,x=23,x+y=83;当y≥3时,x=y3≥1,不符合题意.综上所述,答案:43或9.(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为8,求这四个数.解:(1)设这三个数依次为ad,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d(2)设这四个数为a3d,ad,a+d,a+3d(公差为2d),依题意得2a=2且(a3d)(a+3d)=8,即a=1,a29d2=8,所以d2=1,所以d=1或d=1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为2,0,2,4.10.已知数列{an}满足an+1=6an-4an+2,且a1=(1)证明:数列1an(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)证明:由1an+1-2=16an-4an+2-2=an+26an-(2)由(1)知1an-2=1a1-2+(n1)×14=n+34B级——应用创新11.《周髀算经》中有这样一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,则冬至的日影长为()A.4尺 B.8.5尺C.12.5尺 D.15.5尺解析:选D记十二节气日影长构成的等差数列为{an},设其公差为d,因为冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,所以a1+a4+a7=37.5,a12=4.5,即3a4=37.5,a12=4.5,即a4=12.5,12.若数列{an}的前n项积为Sn,且满足a1=32,2an+1Sn=2,则S11=A.92 B.C.112 D.解析:选B由题意知,当n≥2时,Sn1an=Sn.由2an+1Sn=2,得Sn2an+1Sn=2Sn,所以当n≥2时,Sn1an2an+1Sn=2Sn1+1=2Sn,即SnSn1=12,又a1=S1=32,所以{Sn}是首项为32,13.某城市的绿化建设有如下统计数据:年份2017201820192020绿化覆盖率/%17.017.818.619.4如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%?解:由表中数据可知,每年的绿化覆盖率成等差数列,设为{an},则a1=17,公差d=17.817=0.8,故通项公式为an=a1+(n1)d=17+0.8(n1)=0.8n+16.2,令0.8n+16.2>23.4,解得n>9,2017+9=2026.故至少到2026年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.14.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+nλ)an(n∈N*),λ是常数.(1)当a2=1时,求λ及a3的值;(2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.解:(1)因为an+1=(n2+nλ)an(n∈N*),且a1=1,所以当a2=1时,得1=2λ,解得λ=3.从而a3=(22+23)×(1)=3.(2)不存在实数λ使得{an}为等差数列.理由如下:由a1=1,an+1=(n2+nλ)an,得a2=2λ,a3=(6λ)(2λ),a4=(12λ)(6λ)(2λ).若存在实数λ,使得{an}为等差数列,则a3a2=a2a1,即(5λ)(2λ)=1λ,解得λ=3.于是a2a1=1λ=2,a4a3=(11λ)(6λ)(2λ)=24,a2a1≠a4a3,这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{an}为等差数列.第3课时等差数列的性质及综合应用(深化课题型研究式教学)课时目标能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;能运用等差数列的性质简化计算.题型(一)等差数列的性质等差数列的性质(1)an=am+(nm)d,此式也称为通项公式的推广式,还可以变形为d=an(2){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an1=…=ak+an-k微点助解(1)推广:若m+n+p=x+y+z,则am+an+ap=ax+ay+az.(2)由am+an=ap+aq不能得到m+n=p+q,如常数列.[例1]在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d=()A.1 B.2C.4 D.6解析:选B由题意知a10a2=8d,即8d=16,d=2.[例2][多选]已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增,且a5=2,则()A.公差d的取值范围是-B.2a7=a9+2C.a8+a4>a6+a5D.a1+a9=4解析:选BCD由题意得d>0,a1>0,a5=2,所以a1=24d>0,解得d<12,所以d∈0,12,故A错误;由2a7a9=(a5+a9)a9=a5=2,故B正确;由a8+a4(a6+a5)=a8a6(a5a4)=2dd=d>0,故a8+a4>a6+a5,C正确;由等差数列性质,a1+a9=2a5=4,[变式拓展]1.例1改为“a10=18,d=2”,则a5=.

解析:由a10=a5+5d得a5=a105d=185×2=8.答案:82.例1改为“若已知a3+a11=6”,则S13=.

解析:S13=a1+a2+a3+…+a11+a12+a13=(a1+a13)+(a2+a12)+(a3+a11)+…+(a6+a8)+a7=2a7+2a7+…+2a7+a7=6×2a7+a7=13a7.又a3+a11=2a7=6,故a7=3,S13=13×3=39.答案:39[思维建模](1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(nm)d即变为an=a1+(n1)d,可以减少记忆负担.(2)等差数列运算的两种常用思路①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.[针对训练]1.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4a5+a6+a7+a8a9+a10的值为()A.84 B.72C.60 D.48解析:选C在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20,所以a4a5+a6+a7+a8a9+a10=(a4+a10)(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C.2.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0 B.a2+a100=0C.a3+a100≤0 D.a51=0解析:选BD设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;又∵a51=a1+50d=0,∴a1=50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(50d)+101d=d>0,故C错误.题型(二)由等差数列构造新数列[例3]已知{an}为等差数列,且a1=2,a2=3,若在每相邻两项之间插入三个数,使它们和原数列的数构成一个新的等差数列,求:(1)原数列的第12项是新数列的第几项?(2)新数列的第29项是原数列的第几项?解:(1)设新数列为{bn},则b1=a1=2,b5=a2=3,根据bn=b1+(n1)d,有b5=b1+4d,即3=2+4d,所以d=14,所以bn=2+(n1)×14=n+74.又因为an=a1+(n1)×1=n+1=(4n-3)+74,所以an=b当n=12时,4n3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项.(2)由(1)知an=b4n3,令4n3=29,得n=8,即新数列的第29项是原数列的第8项.[思维建模]对于任何形式的构造数列,判断是否为等差数列,一般从两个方面进行判断:(1)定义:an+1an是否为常数;(2)通项公式是否为关于n的一次函数.[针对训练]3.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b97是数列{an}的第()A.32项 B.33项C.34项 D.35项解析:选B设等差数列{an}的公差为d,等差数列{bn}的公差为d1,等差数列{an}各项为a1,a1+d,a1+2d,…,等差数列{bn}各项为a1,a1+d1,a1+2d1,a1+3d1,a1+4d1,…,显然有a1+d=a1+3d1⇒d=3d1⇒d1=13d,b97=a1+96d1=a1+32d=a33,故选B4.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15 B.16C.17 D.18解析:选B易知,第一个数列的公差为4,第二个数列的公差为6,故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数,其公差为12,首项为2,所以通项公式为an=12n10,所以12n10≤190,解得n≤503,又n∈N*,所以n的最大值为16题型(三)等差数列的综合应用[例4]首项为a1,公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件:①a3+a5+a7=93;②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值.解:由a3+a5+a7=93得a5=31,∴an=a5+(n5)d>100,n>69d+5∵n的最小值是15,故14≤69d+5<15∴6.9<d≤699∵d为整数,∴d=7,∴a1=a54d=3.[思维建模]解决等差数列综合问题的方法(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.[针对训练]5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则tan(a4+a6)的值为()A.12 B.C.3 D.3解析:选C因为{an}为等差数列,a1+a5+a9=3a5=π,所以a5=π3,所以tan(a4+a6)=tan2a5=tan2π36.在正项无穷等差数列{an}中,已知a5a7=12,a2+a10=7.(1)求通项公式an.(2)设bn=an+t,且对一切n∈N*,恒有b2n=2bn,求t的值.对一切k,n∈N*,是否恒有bkn=kbn?请说明理由.解:(1)∵a2+a10=a5+a7=7,又∵a5a7=12,∴a5=当a5=4,a7=3时,an=1∴a5=3,a7=4,(2)bn=an+t=12n+t+12,b2n=n+t+∴n+t+12=n+2t+1∴t=12,∴bn=12因为bkn=12kn=kbn,所以恒有bkn=kbn[课时跟踪检测]A级——综合提能1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=20,则公差d等于()A.3 B.6C.4 D.3解析:选B由等差数列的性质得a8a3=(83)d=5d,所以d=-20-102.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=()A.12 B.8C.6 D.4解析:选B由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.又d≠0,∴m=8.3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn},则b2023=()A.4044 B.4046C.4048 D.4050解析:选B设数列{bn}的公差为d1,由题意可知,b1=a1,b5=a2,b5b1=a2a1=8=4d1,故d1=2,故bn=2n,则b2023=2023×2=4046.4.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是()A.(∞,3) B.(3,6)C.(3,+∞) D.(6,+∞)解析:选C因为{an}为等差数列,设公差为d,因为数列{an}单调递增,所以d>0,所以a1+a8=a3+a6=2a63d=6,则2a66=3d>0,解得a6>3,故选C.5.将2至2024这2023个整数中能被3除余2且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列,则此数列的项数是()A.132 B.133C.134 D.135解析:选D设所求数列为{an},该数列为11,26,41,56,…,所以数列{an}为等差数列,且首项为a1=11,公差为d=2611=15,所以an=a1+(n1)d=11+15(n1)=15n4,则2≤an≤2024,即2≤15n4≤2024,解得25≤n≤13515,则满足25≤n≤13515的正整数n的个数为135,因此该数列共有6.各项都为正数的等差数列{an}中,2a3a72+2a11=0,则a5+a9=解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列,又2a3a72+2a11=0,所以4a7a72=0,即a7=4,所以a5+a9=2a答案:87.设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=.

解析:∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5.设公差为d>0,则a1a2a3=(a2d)a2(a2+d)=5(25d2)=80,又d为正数,∴d=3.∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105.答案:1058.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n+1列的数是.

解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n9.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.(1)求a20的值;(2)若bn=32an412,试判断数列{bn}从哪一项开始大于解:(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2,所以a20=a3+17d=40.(2)由(1)得an=a3+(n3)d=6+(n3)×2=2n,所以bn=32×2n412=3n由bn>0,即3n412>0,得n>41所以数列{bn}从第7项开始大于0.10.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求{bn}的通项公式;(3){bn}中的第506项是{an}中的第几项?解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列.(1)因为a1=3,d=5,所以an=3+(n1)×(5)=85n.数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,所以b1=a3=7,b2=a7=27.(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4(n1)=4n1,所以bn=am=a4n1=85(4n1)=1320n,即{bn}的通项公式为bn=1320n(n∈N*).(3)由(2)得m=4n1=4×5061=2023,即{bn}中的第506项是{an}中的第2023项.B级——应用创新11.已知正项等差数列{an}满足tana5tana7+tana5+tana7