湖北省鄂东南教育联盟2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025年秋季高三年级期中考试

数学试卷

考试时间：2025年11月3日下午15:00-17:007试卷满分：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合A={x|-1≤x<5},B={x|0<x≤6},则AUB=()

A.{x|0<x<5}B.{x|-1<x≤6}C.{x|-1≤x≤6}D.{x|-1≤x<6}

2.已知复数(其中i为虚数单位),则z=()

ABD

3.已知幂函数f(x)=xᵐ⁻¹+m²-m的图象与坐标轴无公共点，则m=()

A.0B.1C.0或-1D.0或1

4.已知a=(1,-2),b=(x,2),若a/1B,则2a+b=()

A.(1,-2)B.(1,0)C.(3,-2)D.(6,-2)

5.已知a,b∈R,则b≠0的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在等比数列{an}中，a4,a₆是方程x²+30x+36=0的两个根，则a₁₀=()

A.±6B.6C.36D.-6

7.函数f(x)=cos2x·(lnx-2π+1),x∈[0,2π]零点的个数为()

A.4B.5C.3D.2

8.已知f(x)=e-sinx+cosx,a=f(log₂3),b=f(log₃4),a=f(log₄5),则()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如右图，函的部分图象与坐标轴分别交于点

D,E,F,且△DEF的面积为,则()

A.f(x)上单调递增

B.f(x)的对称中心是,k∈Z

C.点D的纵坐标为√3D.f(x)≥√3的解集

10.已知函数f(x)=2x³+6x²+ax-3,a∈R则()

A.当a=8时，f(x)在R上单调递增B.当a≤6时，f(x)有两个极值

C.若f(x)有三个不同零点x,x₂,x,则

D.过点(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有3条，则-5<m<-3

11.定

H(x)=max{f(x),g(x)}在区间[m,n]上的值域为[2,4],则n-m的可能取值为()

A.1B.2C.6D.5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.已知a=(1,2),b=(-1,3),则a在b方向上的投影向量的坐标为

13.记等差数列{an}的前项和为Sₙ,若a₄+a₆=2,则S₉=.

14.已知a∈R,函,若关于x的方

解集中恰好只有一个元素，则实数a的取值范围为

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)已知数列{a,}的首项a₁=1,且满,n∈N

(1)求数列{an}的通项公式；

求满足条件的最大整数n的值.

16.(本题满分15分)已知向

(1)求函数f(x)的单调增区间及对称中心；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所

有点的纵坐标变为原来的√2倍，横坐标不变，得到函数g(x)的图象，若存在使

8(x)-m≤2成立，求实数m的取值范围.

17.(本题满分15分)为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的

关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血

液内的浓度y₁与时间t满足关系式：,a为常数),若使用口服方式给药，

则药物在白鼠血液内的浓度y₂与时间t满足关系式：,现对小白鼠同时进

行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.(注：4小时内意思是

小于或等于4小时)

(1)若a=1,求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值?

(2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4,求实数a的取值范围.

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18.(本题满分17分)如图，△ABC中，AB=6,AC=2,点D在线段BC上，点E与点D位于直线AB

的异侧且△ABE为等边三角形.

(1)若3CD=DB,,求线段AD的长度；

(2)若CD=DB,求线段DE的最大值；

(3)若AD为∠CAB的平分线，求△ACD与△ABD内切圆半径之比的取值范围.

19.(本题满分17分)已知函数f(x)=x²-2x-me*,m∈R.

(1)当m=2时，证明：f(x)在R上单调递减.

(2)若f(x)有两个极值点x₁,x₂,满足x<x₂且2x₁-1≤x₂,求m的取值范围.

(3)将函数y=f(x)的图象绕原点O逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，求m的取值范围.

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2025年秋季高三年级期中考试

数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.答案：C

【解析】AUB={x|-1≤x<5或0<x≤6}={x|-1≤x≤6}

2.答案：B

【解析】

3.答案：D

【解析】→m=0或1

4.答案：A

【解析】1×2-(-2)×x=0→x=-1→b=(-1,2)→2a+b=(1,-2)

5.答案：B

【解析】令b=1,a=1,此时满足b≠0,但不满,说明

b≠0假设b=0,则：

这与矛盾，故假设不成立，b≠0成立，说明

所以b≠0是的必要不充分条件

6.答案：D

【解析】→a₄<0,→a10=-6

7.答案：A

【解析】f(x)=0→cos2x=0或lnx-2π+1=0

cos2x=0→,k∈Z→,k∈Z

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∵x∈(0,2π),..或或或

设h(x)=e-x-1,h(x)=e-1≥0→x≥0,h(x)=e-1<0→x<0,所以函数h(x)在

(0,+∞)单调递增，在(-∞,0)单调递减，→h(x)=e-x-1≥0,当且仅当x=0取等号，

Inx-2π+1=0→x=e²π-¹>(2π-1)+1=2π.故函数f(x)只有4个零点.

8.答案：C

【解析】

当x>1时，,故函数f(x)在(1,+∞)单调递增.

方法一：构造函

(x+1)在(1,+∞)单调递减，→log₂3>log₃4>log₄5>1

→f(log₂3)>f(log₃4)>f(log₄5)→a>b>c

方法二：对数糖水不等式：a>b>0,m>0→log。b<loga+m(b+m)

先证明糖水不等式：a>b>0,,理由：

→log₂3>log₃4>log₄5>1

→f(log₂3)>f(log₃4)>f(log₄5)→a>b>c

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方法三：

→log₂3>log₃4>log₄5>1→f(log₂3)>f(log₃4)>f(log45)→a>b>c

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.答案：ACD

【解析】最小正周,故选项C正确；

令时，单调递增且,此时

,y=√3tanu,当

y=√3tanu单调递增，:在上单调递增，故选项A正确；

∈故选项错

→,k∈eZ,所以函数f(x)的对称中心为,kZ,B

,故选项D正确.

10.答案：ACD

【解析】当a=8时，f'(x)=6x²+12x+8→△=12²-4×6×8=-48<0,

→f(x)>0恒成立，则函数f(x)在R上单调递增，故选项A正确；f(x)=6x²+12x+a

→△=12²-4×6×a>0→a<6→f(x)有2个极值，但a=6时，△=0→f(x)≥0恒成立，

此时函数函数f(x)在R上单调递增，无极值，故选项B错误；

设函数f(x)=2(x-x₁)·(x-x₂).(x-x₃)

→f(x)=2x³-2(x+x+x)x²+2(xx+xx+xx)x-2x₁x₂x₃

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→-2x₁x₂X₃=-3→,故选项C正确；

设切点(x₀,f(x₀)),f(x)=6x²+12x+a,

则切线方程为：y-(2x³+6x²+ax₀-3)=(6x²+12x₀+a)·(x-x₀),代入点(0,m)得：

m=-4x³-6x?-3⇔y=m与h(x)=-4x³-6x²-3图象有3个不同的交点，

h(x)=-12x²-12x₀≥0→-1≤x₀≤0,h(x)=-12x²-12x₀<0→x₀<-1或x₀>0

函数h(x)在(-∞0,-1),(0,+∞)单调递减，[-1,0]上单调递增，且h(-1)=-5,h(0)=-3,

∴-5<m<-3,故选项D正确.

方法二：一元三次方程a₃x³+a₂x²+ax+ao=0(a₃≠0)

韦达定理：选项C正确；

三次函数切线问题：过三次函数对称中心做切线(有且仅有一条)

则坐标平面被该条切线和三次函数图象分为4个区域：过①③区域内的点(不含边界)作切线有且

仅有3条；过②④区域内的点(不含边界)作切线有且仅有1条；过切线或三次函数上的点(除去

对称中心)作切线有且仅有2条；

f(x)=12x+12=0→x=-1,所以函数f(x)的对称中心为(-1,-a+1),过该点的切线方程为：

y-(-a+1)=f'(-1)(x+1)→y=(a-6)x-5恒过(0,-5),而函数f(x)恒过(0,-3),故只有

-5<m<-3时，点(0,m)落在①③区域内，符合题意.

11.答案：BD

【解析】f(x)=-(x-2)²+4,

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依题意：观察函数f(x)与函数g(x)的图象，谁的图象在上方就是函数H(x)的图象包含边界，如图

所示：-x²+4x=2→x=2+√2

当n=2+√2时，

符合题意

当时符合题意

,故选项BD正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.答案：

【解析】

13.答案：9

【解析】2a₅=a₄+a₆=2→a₅=1,i

14.答案：

【解析】

且满

当a=3时，x=-2,此符合题意；

当a≠3时，

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,此符合题意；

,则：

综合：

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)方法一：累乘

依题意：

当n≥2时，

当n=1时，a=1符合，故a,=2n-1………6分

方法二：构造

依题意：,则数列为常数数列

→n<9,故满足条件的最大整数n的值为8....................................13分

16.【解析】(1)

..............................1分

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故函数f(x)的单调增区间

,………6分

故函数f(x)的对称中心为k∈Z………………7分

(2)依题意：

……………12分

|g(x)-m≤2→m-2≤g(x)≤m+2⇔→m∈F2,3]15分

17.【解析】(1)a=1时，y₁=6-t,

则小白鼠血液中药物的浓…………1分

当0<t<2时，,即时，

当2≤t≤4时，,即t=2时，H(t)max=5;

由于故小白鼠在时，浓度最高，达到

(2)

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在t∈(0,2)时单调递减，;……11分

当2≤t≤4时，

结合图象知：,即t=4时，ymin=1→a≤1;………………14分

又∵∴a∈(0,1……………15分

18.【解析】∵△ABE为等边三角形→

(1)

(2)方法一：CD=DB→D是线段BC中点，,不妨设∠CAB=θ

当时，

方法二：以线段AB中点为坐标原点0,AB方向为x轴，OE方向为y轴，建立平面直角坐标系：

不妨设∠CAB=θ,则E(0,3√3),A(-3,0),B(3,0),C(2cosθ-3,-2sinθ)

,DE=BE-BD=(-cosθ,3√3+sinθ)

|DE|=√(-coso)²+(3√3+sine)²=√28+6√3sine

时，

(3)由角平分线定理知：,不妨设|CD|=x,|BD|=3x,要构成△ACB则：

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………………9分

不妨设△ACD与△ABD内切圆半径分别为r、R,

……………11分

……12分

………………15分

……17分

方法二：不妨

不妨设△ACD与△ABD内切圆半径分别为r、R,

在△ABC中，由余弦定理得：|BC²=|AC²+|AB²-2|AC|·|AB|·cosθ=40-24cosθ

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在t∈(0,1)时单调递减

19.【解析】(1)证明：若m=2,则f(x)=x²-2x-2e*,→f(x)=2x-2-2e

令H(x)=2x-2-2e*,H'(x)=2-2e*,H'(x)≥0→x≤0,H(x)<0→x>0

故H(x)在(-∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减，→H(x)≤H(0)=-4<0,即

f(x)<0在R上恒成立，∴f(x)在R上单调递减………………4分

(2)f(x)=2x-2-me*,令h(x)=2x-2-me,h(x)=2-me*

①若m≤0,则h(x)>0在R上恒成立，→h(x)在R上单调递增，→f(x)在R上最多一个极值

点，不符合题意

②若m>0,

故h(x)单调递增，单调递减，

且h(1)=-me<0,h(2)=2-me²>0……………6分

依题意：且2x₁-1≤x₂

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,∵In2+1<