大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案上册 2.15

2.15如图2.15所示，一链条长为l，放在光滑的桌面上，其中长为b的一段下垂。链条从静止开始运动，求链条的运动规律，链条滑出桌面的时间和速度各是多少？[解析]取桌面高度为坐标原点，向下的方向为正方向。设链条的质量线密度为λ，则链条的总质量为M=λl。当链条下垂的长度为y时，这一部分的质量为m=λy，受到的重力为G=mg。设链条的水平部分与下垂部分之间的作用力大小为T，根据牛顿第二定律可列方程yO题2.15图ayG-T=mayO题2.15图ayT=(M-m)a。(2.2)两式相加可得，即。(2.3)由于dy/dt=v，所以，可得，积分得，根据初始条件，当y=b时，v=0，可得C=gb2/l，因此速度为。(2.4)分离变量可得，积分得，根据初始条件，当v=0时，y=b，可得C’=-lnb，因此得，上式等号右边还可用反双曲余弦函数表示，即。(2.5)因此链条下落的高度为，(b≤y≤l)。(2.6)链条的速度为。(2.7)当链条全部滑下时，y=l，所需要的时间为。(2.8)由于cosh2a-sinh2a=1，所以链条。(2.9)初始长度b决定了链条的运动。[图示](1)如P2.15a图所示，链条滑下的长度随着时间的增加而增长。当下垂部分b=0.7l时，链条全部滑出桌面大约需要0.9t0；当下垂部分b=0.1l时，链条全部滑出桌面需要3t0(2)如P2.15b图所示，链条滑下的速度随着时间的增加而加速增加。当下垂部分b=0.7l时，链条全部滑出桌面的速度大约为0.714v0；当下垂部分b=0.1l时，链条全部滑出桌面的速度大约为0.995v0。链条下垂的部分越短，从桌面上全部滑下的速度就越大，但不会达到和超过极限速度vP2.15a图P2.15b图[算法]方法一：用解析式。取约化时间t*=t/t0，其中，再取约化长度y*=y/l和约化速度v*=v/v0，其中，则有链条的长度和速度分别为y*=b*cosht*，(2.6*)v*=b*sinht*。(2.7*)当链条全部滑下时所需要的时间可表示为tm=t0arccosh(1/b*)。(2.8*)链条全部滑下的速度可表示为。(2.9*)[程序]P2_15.m如下。%均匀链条从光滑桌面上滑下来的运动规律曲线同上(用解析式)同上clear%清除变量b=0.1:0.1:0.7;%b与l的比值向量y=0:0.01:1;%链条滑过的长度y与l的比值向量[B,Y]=meshgrid(b,y);%化为矩阵T=acosh(Y./B);%求时间T(imag(T)~=0)=nan;%将复数改为非数V=B.*sinh(T);%求速度figure%创建图形窗口plot(T,Y)%画曲线gridon%加网格fs=16;%字体大小xlabel('\itt/t\rm_0','fontsize',fs)%时间比标签ylabel('\ity/l','fontsize',fs)%长度比标签title('均匀链条从桌面上无摩擦滑下的长度','fontsize',fs)%加标题n=length(b);%比值个数legend([repmat('\itb/l\rm=',n,1)num2str(b')],4)%加图例text(1.5,0.1,'\itt\rm_0=(\itl/g\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%加时间单位文本tm=max(T);%求运动时间text(tm,ones(size(tm)),num2str(tm',2),'fontsize',fs)%标记时间holdon%保持图像stem(tm,ones(size(tm)),'--')%画杆图figure%创建图形窗口plot(T,V)%画曲线gridon%加网格xlabel('\itt/t\rm_0','fontsize',fs)%时间比标签ylabel('\itv/v\rm_0','fontsize',fs)%速度比标签title('均匀链条从桌面上无摩擦滑下的速度','fontsize',fs)%加标题legend([repmat('\itb/l\rm=',n,1)num2str(b')],4)%加图例text(1.5,0.1,'\itv\rm_0=(\itgl\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%速度单位文本vm=max(V);%求最终速度text(tm,vm,num2str(vm',3),'fontsize',fs)%标记最终速度holdon%保持图像plot([zeros(size(tm));tm],[vm;vm],'--')%画水平线b=0.1:0.01:1;%b与l的比值向量tm=acosh(1./b);%全部滑下的时间vm=sqrt(1-b.^2);%全部滑下的速度plot(tm,vm,'--')%画全部滑下的速度和时间曲线方法二：用微分方程的数值解和符号解。根据速度的定义和(2.3)式可得，。利用约化时间t*=t/t0、约化长度y*=y/l和约化速度v*=v/v0可得，。(2.3*)设y(1)=y*，y(2)=dy*/dt*，可得，。由于，当t=0时，y(1)=y*=b/l，y(2)=v*=0。由(2.3)式可二阶微分方程。据此可求解微分的符号解。[程序]P2_15_.m如下。%均匀链条从光滑桌面上滑下来的运动规律曲线同上(求微分方程的数值解和符号解)同上clear%清除变量b=0.1:0.1:0.7;%b与l的比值向量t=0:0.01:4;%时间向量(1)options=odeset('Events','on');%开启事件判断功能(2)f1=figure;%创建图形窗口holdon%保持图像f2=figure;%创建图形窗口holdon%保持图像c='bgrcymk';%字符串tm=[];%滑下的时间向量置空vm=[];%滑下的速度向量置空n=length(b);%比值个数fori=1:n%按比值循环y0=[b(i)0];%初值[tt,Y,event]=ode45('p2_15_fun',t,y0,options);%解微分方程计算长度和速度(3)tm=[tm,tt(end)];%连接时间向量vm=[vm,max(Y(:,2))];%连接速度向量figure(f1)%重开图形窗口plot(tt,Y(:,1),c(i))%画长度曲线figure(f2)%重开图形窗口plot(tt,Y(:,2),c(i))%画速度曲线end%结束循环figure(f1)%重开图形窗口gridon%加网格axis([0,inf,0,1])%坐标范围fs=16;%字体大小xlabel('\itt/t\rm_0','fontsize',fs)%时间比标签ylabel('\ity/l','fontsize',fs)%长度比标签title('均匀链条从桌面上无摩擦滑下的长度','fontsize',fs)%加标题legend([repmat('\itb/l\rm=',n,1)num2str(b')],4)%加图例text(1.5,0.1,'\itt\rm_0=(\itl/g\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%加时间单位文本text(tm,ones(size(tm)),num2str(tm',2),'fontsize',fs)%标记时间stem(tm,ones(size(tm)),'--')%画杆图figure(f2)%重开图形窗口gridon%加网格axis([0,inf,0,1])%坐标范围xlabel('\itt/t\rm_0','fontsize',fs)%时间比标签ylabel('\itv/v\rm_0','fontsize',fs)%速度比标签title('均匀链条从桌面上无摩擦滑下的速度','fontsize',fs)%加标题legend([repmat('\itb/l\rm=',n,1)num2str(b')],4)%加图例text(1.5,0.1,'\itv\rm_0=(\itgl\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%加速度单位文本text(tm,vm,num2str(vm',3),'fontsize',fs)%标记最终速度plot([zeros(size(tm));tm],[vm;vm],'--')%画水平线y=dsolve('D2y-y','y(0)=b','Dy(0)=0')%微分方程的符号解(8)v=diff(y);%求速度[B,T]=meshgrid(b,t);%化为矩阵Y=subs(y,{'b','t'},{B,T});%求高度的数值T(Y>1)=nan;%将链条落完后的时间改为非数Y(Y>1)=nan;%将链条落完后的长度改为非数V=subs(v,{'b','t'},{B,T});%求速度的数值figure(f1)%重开图形窗口plot(T,Y,'.')%画曲线figure(f2)%重开图形窗口plot(T,V,'.')%画曲线b=0.1:0.01:1;%b与l的比值向量f=finverse(y);%求反函数,t表示高度(9)s=subs(f,'t',1);%替换(相对)长度tm=subs(s,'b',b);%替换数值求全部滑下的时间vm=subs(v,{'b','t'},{b,tm});%替换数值求全部滑下的速度plot(tm,vm,'--')%画全部滑下的速度和时间曲线程序在求数值解时将调用一个函数P2_15_fun.m。%均匀链条从光滑桌面上滑下来的运动规律的函数(9)functionvarargout=fun(t,y,flag)%函数的输入和输出参数(4)switchflag%用标志做开关case''%如果标志为空varargout{1}=f(t,y);%调用函数case'events'%如果发生事件[varargout{1:3}]=events(y);%调用事件函数otherwise%否则error(['Unknownflag'''flag'''.']);%输出错误信息并终止程序执行end%结束开关%---------------------------------------------%均匀链条从光滑桌面上滑下来的运动规律的子函数(5)functionf=f(t,y)f=[y(2);%约化速度y(1)];%约化加速度%----------------------------------------------%事件判断子函数(6)function[value,isterminal,direction]=events(y)value=y(1)-1;%约化长度与1之差(7)direction=1;%由增加(1)的方向终止isterminal=1;%开启判断终止功能[说明](