大学物理(上、下册)（侯兆阳）提升题答案 下册 9.16

9.16(1)一宽为2L的无限长均匀带电平面薄带，电荷面密度为σ(>0)，求带电薄带的电势和电场强度，电势和电场强度曲面有什么特点？(2)如果还有一块大小相同，带等量异号电荷的无限长薄带，相对平行放置，相距为d，求两块薄带之间单位长度上的作用力。[解析](1)一条带电直线的电势为，对于一条带电直线，a是零势线到轴线的距离。-L9.16a图LOxyP-L9.16a图LOxyPldlrExEyEαdλ=σdl，(9.1)到场点的距离为，产生的电势为，其中，x和y是空间坐标，l是变量，上式分部积分得，其中第一部分为，第二部分的积分为，利用积分，可得，因此总电势为，取薄带中心轴处的电势为零，即：当x→0，y→0时，U→0，可得a=L/e，因此得。(9.2)场强的x分量为，(9.3a)场强的y分量为，(9.3b)[讨论]①当x=0时，中垂线上的电势为。(9.4)中垂线上的场强的分量为，。(9.5)如果L<<y，利用σ=λ/2L，(9.6)这正好是无限长带电直线的电场。如果L→∞，则，(9.7)这正好是无限大带电平面产生的场强公式。②当y→0时，在x>L的轴线上的电势为。(9.8)场强的分量为，。(9.9)[算法]取L为长度单位，取U0=kσL为电势单位，电势可表示为。(9.2*)取E0=kσ为场强单位，场强的分量可表示为，(9.3a*)，(9.3b*)[程序]P9.16_1.m如下。%无限长带电薄带的电势和电场强度clear%清除变量xm=4;%x坐标范围ym=3;%y坐标范围x=linspace(-xm,xm);%横坐标向量y=linspace(-xm,ym);%纵坐标向量[X,Y]=meshgrid(x,y);%设置坐标网点R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2);%场点到左边端点的距离R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2);%场点到右边端点的距离Z1=(X+1)./Y;%左端角度余切Z2=(X-1)./Y;%右端角度余切U=2*Y.*(Z2.*log(R2)-Z1.*log(R1)+atan(Z2)-atan(Z1));%计算电势figure%创建图形窗口surf(X,Y,U)%画电势曲面shadinginterp%染色boxon%加框fs=16;%字体大小title('无限长薄带电荷的电势','fontsize',fs+4)%显示标题xlabel('\itx/L','fontsize',fs)%显示x坐标ylabel('\ity/L','fontsize',fs)%显示y坐标zlabel('\itU/k\sigmaL','fontsize',fs)%显示z坐标u=-9:-3;%电势向量holdon%保持图像contour3(X,Y,U,u,'r')%画三维等势线Ex=2*log(R1./R2);%场强的x分量Ey=2*(atan(Z1)-atan(Z2));%场强的y分量E=sqrt(Ex.^2+Ey.^2);%总场强TH=atan2(Ey,Ex)*180/pi;%角度EC={Ex,Ey,E,TH};%场强元胞tc={'电场强度\itx\rm分量','电场强度\ity\rm分量',...'总场强','场强方向'};%标题元胞zc={'E_x/k\sigma','E_y/k\sigma',...'E/k\sigma','\theta\rm/\circ'};%高坐标元胞figure%创建图形窗口fori=1:4%按子图循环subplot(2,2,i)%选子图surf(X,Y,EC{i})%画曲面shadinginterp%染色boxon%加框title(['薄带电荷'tc{i}],'fontsize',fs)%显示标题xlabel('\itx/L','fontsize',fs)%显示x坐标ylabel('\ity/L','fontsize',fs)%显示y坐标zlabel(['\it',zc{i}],'fontsize',fs)%显示z坐标axistight%图形范围end%结束循环[图示](1)如P9.16.1a图所示，无限长带电薄带的电势曲面像“圆顶山峰”，中间的电势最高，其值为零，其他点的电势小于零。(2)如P9.16.1b之左上图所示，场强的x分量在薄带两个边缘附近较大，左右方向相反。如P9.16.1b之右上图所示，场强的y分量在薄带附近较大，前后方向相反。如P9.16.1b之左下图所示，总场强在薄带两个边缘附近最大，在中轴线上稍小；距离越远，场强越小。如P9.16.1b之右下图所示，总场强的方向随极角增加而增加，当极度达到180°时，方向角就从180°向-180°跃变。P9.16.1a图P9.16.1b图-L9.16b图LOxyldlEx-L9.16b图LOxyldlExEyEθ1θ2d-LL-σ+σdλ=-σdl，根据(9.3)式可知：下板在上板线元处产生的电场强度为，(9.9a)。(9.9b)上板线元单位长度上所受的电场力为dFx=Exdλ，dFy=Eydλ，由于Ex是奇函数，所以。上板单位长度上所受的力为，即。(9.10)[讨论]①当L→0时，薄带趋于直线，可得，(9.11)这是等量异号平行直线电荷之间单位长度的作用力，负号表示吸引力。②当d→0时，两薄带无限接近(相互绝缘)，(9.10)式中的第一项为。设x=1/d，则x→∞，根据罗必塔法则，(9.10)式中的第二项为，因此可得。(9.12)[算法]取半长L为长度单位，取F0=4kσ2L为力的单位，则。(9.10*)其中，d*=d/L。同向平行直线电流单位长度的作用力可表示为。(9.11*)[程序]P9.16._2.m如下。%平行带电薄带之间的作用力clear%清除变量dm=6;%最大距离d=0:0.01:dm;%距离向量d(1)=eps;%零改为小量f=-(4*atan(2./d)-d.*log(1+4./d.^2))/2;%作用力fs=16;%字体大小figure%创建图形窗口plot(d,f,d,-2./d,'--')%画力曲线gridon%加网格xlabel('\itd/L','fontsize',fs)%标记距离ylabel('\itF/F\rm_0','fontsize',fs)%标记力title('平行带电薄带之间单位长度的作用力','fontsize',fs)%标记标题text(0,-1,'\itF\rm_0