2024-2025学年北京市密云区九年级（上）期中数学试卷

2024・2025学年北京市密云区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）在圆、正方形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的

图形个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2分）用配方法解方程，将方程，・4.r・3=0化成（A-m）?=〃的形式，则（）

A.m=2,n=7B.m=-2,n=7C.m=-2,n=-1D.m=-2,n=I

3.（2分）已知xi,r是方程/-2x-1=0的两个实数根，则下列说法正确的是（）

A.X\+X2=-2,XIX2=-IB.Xl+X2=2,XIX2=I

C.X\+X2=-2,X\X2=ID.X\+X2=2,X\X2=-I

4.（2分）已知方程2?-X-4=0,则方程的根的情况是（）

A.方程没有实数根

B.方程的两个实数根情况不痈定

C.方程有两个不相等的实数根

D.方程有两个相等的实数根

5.（2分）抛物线），=2?向左平移|个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）

A.y=2（A+1）2+3B.y=2（x+1：2-3

C.y=2（x-1）2-3D.y=2（x-1）2+3

6.（2分）已知二次函数y=q/+bx+c的图象如图所示，*，刈是方程4）+法+。=0的两根，且xiVx2.则下

列说法正确的是（）

C.-2<xi<-1,1<%2<2D.-l<xi<0,2<X2<3

7.（2分）如图，AB为。。的直径，弦、CD交AB于点、E,AC=CE.若NABC=35°,则NE8。的大小为

)

A.35°B.55°C.70°D.110°

8.（2分）如图，A8是的直径，CO是。0的一条弦，半径0A与CO交于点E（点E与点。不重合）,

C、。在4A两侧，OE长为d,00的半径长为r,以下说法中，

①NECB<90°；

②△8CQ可能是直角三角形或钝角三角形；

③若点D关于AB的对称点为。1,则D\E+EC<2r；

@CD长的最小值为2。丁2一62.

所有正确说法的序号是（）

A.②④B.①③C.①®®D.①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点（2,3）关于原点。的对称点的坐标为.

10.（2分）方程/+3x=0的解是.

11.（2分）关于x的方程/-X-阳=0有两个不相等实根，则机的取值范围是.

12.（2分）已知点A（-1,），i）,B（2,”）在抛物线y=2?上，则产，殍的大小关系是.

13.（2分）写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式.

14.（2分）若方程/+加什2=0的一个根是2,则用的值为.

15.（2分）如图，C7）是OO的直径，是。。的一条弦，AB_LCO垂足为£若CD=10,CE=2,则

弦A8长为

16.（2分）如图，在平面直角坐标系xO.v中，抛物线y=〃储-2〃?x经过A（xi,y\）,B（x2,y2）两点，

下列四个结论中：①抛物线与/轴的交点是（0,0）,（2,0）；②抛物线的对称轴是直线x=l；③〃1V0；

®X\+X2>2.所有正确结论的序号是.

匕

P

-------------------->

O.---------忆

A

三、解答题（本题共68分，其中17・22题每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分，解答应写出必

要的文字说明、演算步骤或证明过程）.

17.（5分）解方程：?+4x-1=（）.

18.（5分）已知：如图，△ABC绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△AIBICI,点A,B,C分别对应

点A\»B\»Ci♦

（1）在图中画出△AiBiCi；

（2）AAIBICI是以点（填“。|”，“3”或“03”）为旋转中心，将△ABC时针

19.（5分）已知m是方程X2-3%-1=0的根，求代数式（w+3）（〃?-3）+m2-61n的值.

20.（5分）已知一次函数），=r-2x・3.

（1）求二次函数图象的顶点坐标、对称轴；

（2）在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象.

21.（5分）已知方程7--1=0,

（I）求证：对任意实数机，方程总有两个实数根；

（2）任给一个用值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根.

22.（5分）某同学利用电脑进行画册封面设计，画册封面是矩形，该矩形相邻两边长分别为10c〃?和8c/〃，

封面内部是一个矩形科技画，科技画四周留有相同的宽度.已知科技画的面积是4&7"2,求科技画四周

的宽度.

10cm

23.（6分）如图，A,3是。。上的两点，/AO8=120°,点C是油的中点.

（1）求证：AC//OBx

（2）延长A。与OO交于点。，。。的弦与A。交于点尸（“不与。重合），且EF=BF,DF=\,

24.（6分）已知抛物线），=/+显+c经过两点A（1,0）,B（4,3）.

（1）求4c的值；

（2）当1WXW4时，求函数值y的取值范围；

（3）当KW4时，函数尸广〃的函数值总大于函数尸/+区+c的函数值，直接写出〃的取值范围.

25.（6分）某温室在20℃段5℃的温度范围内培育一种植物幼苜，该幼苗的生长速度受温度影响.为了提

高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料.实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长

速度.以下是部分实验数据：

设肥料用量为x克，20℃温度下的幼苗每天生长速度为产厘米/天，25c温度下的幼苗每天生长速度为

券厘米/天.

X023467810

1.01.51.61.81.71.61.21.1

1.11.61.71.91.61.41.31.2

（1）在不使用肥料的情况下，该幼苗在20c时的生长速度是厘米/天;

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画）1与川，户与x之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,

画出函数”的图象；

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①在20C下，使用约克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）;

②若希望幼苗的生长速度在20C和25℃下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为克,

最多约为克.（结果保留一位小数）.

X

2.0

1.8

1.6

1.4

1.24

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2•■­­:

O12345678910x

26.（6分）已知抛物线），=奴2-2〃2工

（1）若〃一1,求抛物线的对弥轴;

（2）A（a,y\）,B（1-m*）,C（〃+2,*）是抛物线上三点，且户Vy2V.y3,求a的取值范围.

27.（7分）如图，ZkABC中，AB=AC,ZBAC=180°-2a（0°<a<90°）,。是8c中点，。在线段

。。上（不与。、。重合），点E是内部一点，AEA.ED,ZADE=ZB.

（I）求/£4。的大小（用含a的式子表示）；

（2）已知点尸是的中点，连接EF.用等式表示DC与EF的数量关系，并证明.

八

28.（7分）在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围力（人>〃），函数值的取值范围为cW），

Wd（d>c）,给出如下定义：若"”=d-c称该函数为“正型函数”，若。-心d-c称该函数为“横

型函数”，若。・a〈d-c称该函数为“纵型函数”.

（1）下列函数中，是“纵型函数”的有（写出有所正确的序号）.

①y=/（-IWxWl）；®y=xL（1WXW3）；③、=%2（-14W2）；④y=/（OWxWl）.

（2）已知函数），=o?-2"（40）（0«）是“纵型函数”，求。的取值范围.

（3）若函数y=f-2x（〃?WKW〃?+2）是“纵型函数”，直接写出〃?的取值范围.

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参考答案与试题解析

一,选择题（共8小题）

题号12345678

答案BADCBBCB

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.（2分）在圆、正方形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的

图形个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据中心对■称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：在圆、正方形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形乂是中心对称图

形的图形有圆、正方形，共两个.

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

2.（2分）用配方法解方程，将方程/-4x・3=0化成Cx-m）?=〃的形式，则（）

A.〃?=2,n=lB.m=-2,n=lC.m=-2,n=-ID.m=-2,n=I

【分析】根据配方法将方程7-4x-3=0化成（厂〃?）2=〃的形式，然后即可得到加、〃的值.

【解答】解：•・・X2-4X-3=0,

-4x=3,

二』-4x+4=3+4,

工（x-2）2=7,

，机=2,n=7,

故选：A.

【点评】本题考查解一元二次方程一配方法，解答此题的关诞是将一元二次方程配方.

3.（2分）已知X2是方程1=0的两个实数根，则下列说法正确的是（）

A.X\+X2=-2,X\X2=-1B.X\+X2=2,X\X2=1

C.X\+X2=-2,X\X2=1D.Xl+.V2=2,X]X2=-1

【分析】直接利用根与系数的关系进行判断.

【解答】解：根据根与系数的关系得加+4=2,KUT2=-1.

故选：D.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若XI，X2是一元二次方程〃/+区+c=O（aWO）的两根，则川+X2=

bc

aX\X2=a

4.（2分）已知方程2『・.r・4=0,则方程的根的情况是（）

A.方程没有实数根

B.方程的两个实数根情况不询定

C.方程有两个不相等的实数很

D.方程有两个相等的实数根

【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可.

【解答】解：方程"-工-4=0,

b=-\,c=-4,

AA=Z>2-4ac=（-1）2-4X2X（-4）=l+32=33>0,

则方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）A>0o方程有

两个不相等的实数根；（2）A=0=方程有两个相等的实数根；（3）△<0=方程没有实数根，是解决问

题的关键.

5.（2分）抛物线），=#向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）

A.y=2（x+1）?+3B.y=2（x+1）2-3

C.y=2（.1）2-3D.>>=2（x-1）2+3

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=2?的图象向左平移1个单位，再

向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2（户1）2-3.

故选:B.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

6.（2分）已知二次函数），=a[+以+c的图象如图所示，川，X2是方程〃.1+/次+。=0的两根，且用</2.则下

列说法正确的是（）

A.-1<XI<0,1<X2<2B.-2<XI<-1,2<X2<3

C.-2<xi<-1,1<X2<2D.-l<xi<0,2<X2<3

【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到二次函数），=a?+/*+c的图象与x轴的交点坐标为（XI,0）,

（火，0）,然后利用图象中交点的横坐标的范围可对各选项进行判断.

【解答】解：VA-1,X2是方程ad+"+c=。的两根，

・••二次函数y=a/+〃x+c的图象与入轴的交点坐标为（xi,0）,（X2，0）,

由函数图象可得-2VxiV-L2<A2<3.

故选：B.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数），=&1+/状+。（小b,。是常数，与x

轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐

标特征.

7.（2分）如图，为。。的直径，弦CO交人8于点E,AC=CE.若NA4C=35°,则NEBQ的大小为

)

A.35°B.55°C.70°D.110°

【分析】先根据AB为。。的直径得出N4C8=90°,再由/A8C=35°可得出NA的度数，根据4C=

CE可知NA=NAEC,故可得出NACE的度数，由圆周角定理即可得出结论.

【解答】解：YAB为。0的直径，

.•・/AC8=9(T，

VZABC=35°,

AZA=90°-35°=55°,

'：AC=CE,

：.ZA=ZAEC=55°,

AZ4CE=1800-NA-NAEC=180°-55°-55°=70°,

：.ZEBD=ZACE=70°.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是圆周角定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键.

8.（2分）如图，A8是。。的直径，。。是。。的一条弦，半径OA与C。交于点£（点£与点。不重合）,

C、。在两侧，OE长为d,。。的半径长为「，以下说法中，

①NECBV90。；

②△BC。可能是直角三角形或钝角三角形；

③若点D关于AB的对称点为D\,则DiE+EC〈2r；

@CD长的最小值为2，产一d?

所有正确说法的序号是（）

A.②④B.①@C.①③@D.①②③④

【分析】①连接AC,A。，依题意得NECBVNACB,NEDBVNADB,再根据直径所对的圆周角是90°

得,据比可对故①进行判断；

②根据弦CO与半径CM交于点点E与点。不重合）得N8COV90。，再根据NECB<90°,NE7用

<90°即可对②进行判断；

③连接OC，OD,根据轴对称的性质得。归=力区的。1E+EC=CO,再根据三角形三边之间的关系得

CD<OC+OD=2r,据此可对③进行判断；

④依题意得当CEJ_A4时，C。为最小，此时CO=2CE,由勾股定理求出CE=7广一C?,则CO长的

最小值是24产一个,据此可刈•④进行判断，综上所述即可得出答案.

【解答】解：①连接4C，AD,如图1所示:

图1

•・•弦C。与半径。八交于点E（点七与点。不重合），且C、。在人8两侧,

NECB</ACB,NEDB</ADB,

•・SB是。。的直径，

AZACB=ZADB=9Q°,

AZFCB<90°,NEZ）8V90"，

故①正确，符合题意；

②•・•弦CD与半径OA交于点E（点、E与点O不重合），

AZBCD<90°,

乂・・・NECBV90°,NEDBV900,

•••△8C。是锐角三角形，

故②不正确，不符合题意；

图2

丁点D关于AB的对称点为D\,

:.DiE=DE,

：,D\E+EC=DE+EC=CD,

在△0C。中，OC=OD=r,

：.CD<OC+OD=2r,

：.D\E+EC<2n

故③正确，符合题意；

④是。0的直径，

・••当C及LAB时，CO为最小，连接OC,如图3所示:

图3

则CE=DE,即CD=2CE,

在RtZ\OC£中，OA=r,OE=d,

由勾股定理得：CE=7OC2-CE2=7丫2-d2,

・・・。£>=2比=是242一12,

即CD长的最小值是-是,

故④不正确，不符合题意，

综上所述：正确说法的序号是①③.

故选:B.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，熟练掌握圆周角定理，轴对称的性质是解决问题

的关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.（2分）在平面直角坐标系X。），中，点（2,3）关于原点0的对称点的坐标为（-2,-3）.

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案.

【解答】解：点（2,3）关于原点0对称的点的坐标是：（・2,-3）.

故答案为：（-2,-3）.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键.

10.（2分）方程.P+3x=0的解是Xi=0,X2=-3

【分析】首先对原方程的左边进行因式分解，然后即可得％的值.

【解答】解：•・・/+3x=0,

.*.x（x+3）=0,

**•xi=0>X2=~3.

故答案为xi=0,X2=・3.

【点评】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程，关键在于正确的对方程的左边进行因式分解.

II.（2分）关于x的方程有两个不相等实根，则，〃的取值范围是力一>—1.

【分析】根据根的判别式，令A>0,即可计算出，〃的值.

【解答】解：•・・关于X的方程/-工-〃2=0有两个不相等实艰，

AA=1-4X1X（-w）=1-46>0,

解得m>—

故答案为〃

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△>（）=方程有两个不相等的实数根；

（2）A=0=方程有两个相等的实数根；

（3）△<（）0方程没有实数根.

12.（2分）已知点4（-1,yi）,B（2,在抛物线yuZv2.上，则yi,）2的大小关系是yiUy2.

【分析】把点A、B代入解析式y=3：,然后比较大小即可.

【解答】解：・・•点A（-1,户），B（2,”）在抛物线y=2?上,

，yi=2X|=2,”=2X4=8,

Vy2.

故答案为：y\<y2.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关健是熟练掌握二次函数的性质.

13.（2分）写出一个开口向上且与x轴没有公共点的抛物线的表达式v=.P+3（答案不唯•）.

【分析】开口向上即为〃大于0,与x轴只有一个交点即为根的判别式小于0,写出满足题意的抛物线

解析式即可.

【解答】解：一个开口向上，并且与x轴只有一个公共点的效物线的解析式为y=f+3.

故答案为：），=7+3（答案不唯一）.

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题关犍是正确记忆抛物线与x轴的交点与根的判别式的关

系为：两个交点即为根的判别式大于0;一个交点即为根的判别式等于0;没有交点即为根的判别式小

于0.

14.（2分）若方程/+加什2=0的一个根是2,则m的值为-3.

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解.把x=2代入方程式即可求解.

【解答】解：己知方程/+〃a+2=0的一个根是2,则把x=2,代入方程得到4+2/〃+2=0,解得机=-

3.

故答案为：-3.

【点评】本题主要考查了方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值.

15.（2分）如图，是。。的直径，是。。的一条弦，A8_LC。垂足为£若C£>=10,C£=2,则

弦AB长为8.

【分析】根据垂径定理求出6£=/从根据勾股定理求出8E=4,据此求解即可.

【解答】解：如图，连接。从

是。。的直径,AB1CD,

/.RE=^ARt

VCD=10,

OC=OB=5,

,:CE=2,

：,OE=OC-CE=3,

111

在RtZ\08E中，OB=BE+OEf

：,52=BE2+32,

，8E=4（负值已舍）,

・"8=8,

故答案为：8.

【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理、勾股定理是解题的关键.

16.（2分）如图，在平面直角坐标系xQv中，抛物线比经过A（xi,yi）,B（r,”）两点，

下列四个结论中：①抛物线与x轴的交点是（0,0）,（2,0）；②抛物线的对称轴是直线x=l；③加<0；

@Xl+X2>2.所有正确结论的序号是①②④.

匕

P

----O---.---------------x--►

A

【分析】根据二次函数的解析式，可知抛物线过定点（0,0）,结合点A和点8的位置即可解决问题.

【解答】解：：抛物线y=rnx2-2nix=m（A-1）2-W,

・••抛物线的对称轴是直线x=l,故②正确；

由y=m^-2g可知抛物线y=nvr-2nix过原点，

•••抛物线的对称轴是直线x=l,

・••抛物线与x轴的交点是（0,0）,（2,0）,故①正确；

.・,抛物线-2〃LI经过A（xi,yi）,B（x2»y2）,（0,0）,（2,0）,

・•・抛物线开口向上，

/./7Z>0,故③错误；

TA（xi,），］）到对称轴的距离小于点B（虫，”）到对称轴的距离,

Al+A：2>2>故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能根据二次函数解析式得出其图象过定点（0,0）是

解题的关键.

三、解答题（本题共68分，其中17・22题每题5分，23・26每题6分，27、28题每题7分，解答应写出必

要的文字说明、演算步骤或证明过程）.

17.（5分）解方程：/+4x・1=0.

【分析】首先进行移项，得到/+4x=l,方程左右两边同时加上4,则方程左边就是完全平方式，右边

是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解•.

【解答】解：・・・/+4%-1=0

，/+4x=l

，/+4"4=1+4

:.(x+2)2=5

・”=-2±V5

.*.X1=-2+V5,X2=-2-V5.

【点评】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为I；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

18.(5分)已知：如图，△A8C绕某点按一定方向旋转一定角度后得到△AIBICI,点八，B,C分别对应

点A1»Bi»Ci.

(1)在图中画出△A181C1；

(2)44向。是以点。(填“Oi”,“。2”或“。3”)为旋转中心，将△ABC顺时针旋转_90

【分析】(1)△481C1是以点01为旋转中心，将△ABC顺时针旋转9()度得到的.

(2)利用旋转变换的性质判断即可.

【解答】解：(1)如图,AAiBiCi即为所求;

(2)△AIBICI是以点。为旋转中心，将△48C顺时针旋转90度得到的.

故答案为：。1，顺，90.

【点评】本题考查作图-旋转变换，解答本题的关键是熟练掌握旋转变换的性质.

19.(5分)已知6是方程31-1=0的根，求代数式(m+3)(m-3)+〃P-6/〃的值.

【分析】先根据一元二次方程根的定义得到〃P-3，〃=l,再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方

法计算.

【解答】解：••加是方程7-3x-1=0的根，

工序-3〃?=1,

(m+3)(〃？・3)+/H2-6m

=m-9+"广-6m

=2m2-6m-9

=2(w2-3m)-9

=2X1-9

=-7.

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

20,(5分)已知二次函数y=/3.

(1)求二次函数图象的顶点坐标、对称轴；

(2)在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象.

【分析】(1)将解析式转化为顶点式即可得到结果；

(2)利用(1)中条件进而画出函数图象.

【解答】解：(1)・2”3=(x-1)2-4,

・•・二次函数图象的顶点坐标为(1,-4)、对称轴为直线x=l；

(2)根据y=f-2r-3可知，抛物线与x轴交于点(-1,0),(3,0),图象如下:

【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，配方法求其顶点坐标是关键.

21.(5分)已知方程/-2/址+2〃L1=0,

(1)求证：对任意实数〃?，方程总有两个实数根;

(2)任给•个〃“直，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根.

【分析】(1)根据根的判别式的符号进行证明；

(2)在(1)中加的取值范围内取阳=2,把切=2代入原方程,求出x的值即可.

【解答】解：(1),:卜=(-2机)2-4(2m-I)=4(m-1)2,

・•・无论〃，取何值，在实数范围内(〃?-1)22。总成立，即△2(),

,对任意实数，小方程总有两个实数根；

(2)取/〃=2,则原方程化为/-4x+3=0,

解得X1=l,X2=3.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，解答此题的关键是熟知以下知识，即一元二次方程

«?+以+c=0(aW0)的根与A=b2・4ac有如下关系：①当△>()时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当A=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当AV0时，方程无实数根.

22.(5分)某同学利用电脑进行面册封面设计，画册封面是矩形，该矩形相邻两边长分别为10c/〃和8cm,

封面内部是一个矩形科技画，科技画四周留有相同的宽度.已知科技画的面积是48C/M,求科技画四周

的宽度.

IOcm

【分析】设科技画四周的宽度为x5?,则科技画的长为（10-2x）cnb宽为（8-2x）c〃7,根据科技画

的面积是48c〃P,列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可.

【解答】解：设科技画四周的宽度为工。〃，则科技画的长为（10-20an,宽为（8-2r）cm,

由题意得：（10-2A）（8-2r）=48,

整理得：f・9.计8=0,

解得：xi=l,r=8（不符合题意，舍去），

答：科技画四周的宽度为

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.（6分）如图，A,3是。。上的两点，NAO4=120°,点C是的中点.

（1）求证：AC//OB-,

（2）延长A。与OO交于点。，。0的弦BE与4。交于点尸（尸不与。重合），且DF=1,

【分析】（1）连接OC,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到/AOC=N8OC=6（）°,根据等边三角形

的性质得到NOC4=60°,得到NOCA=NBOC,根据平行线的判定定理得到AC〃OB；

（2）根据垂径定理的推论得到4O_L8E,再根据勾股定理计算即可.

【解答】（1）证明：如图，连接。C,

•・•点C是油的中点，

：.AC=BC,

VZAOB=\20°,

AZAOC=ZBOC=60°,

,：OA=OC,

•••△40C为等边三角形，

AZOCA=60°，

：・40CA=4B0C,

・・・AC〃。&

(2)解：:A。是OO的直径，EF=BF,/不与。重合,

ADA.BE,

•・・NAO4=120°,

・・・N8O产=60°,

・・・NO8尸=30°,

11

：.OF=^OB=沙1),

VDF=1,

：,OF=\,08=2,

：.BF=>JOB2-OF2=V3,AF=OA+OF=3,

:.EF=V3,

：.AE=>JAF2+EF2=J32+L=2V3.

【点评】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

24.（6分）已知抛物线）=/+hx+c经过两点A（1,0）,B（4,3）.

（1）求"c的值;

（2）当1W/W4时，求函数值），的取值范围；

（3）当1«4时，函数尸K〃的函数值总大于函数y=/+纵+c的函数值，直接写出〃的取值范围.

【分析】（1）依据题意，由抛物线），=/+区+C经过两点4（1,0）,8（4,3）,从而｛:

进而计算可以得解；

（2）依据题意，由（1）可得，抛物线为），=/-4x+3=（x-2）2-1,从而当x=2时，）:取最小值为

・1,结合当x=l时，y=0：当工=4时，y=3,进而可•以判断得解.：

（3）依据题意，由函数），=户〃的图象为平行于），=工的直线，从而结合图象，可以判断得解.

【解答】解：（1）由题意，•・•抛物线），=/十6十u经过两点A（1,0）,6<4,3）,

.（l+b+c=0

，，116+4/J+C=3，

（c=3

（2）由（1）可得，抛物线为y=』-4x+3=（x-2）2-1,

・••当x=2时，y取最小值为-1.

又当x=1时，，y=0；当x=4时，y=3,

・••当1WXW4时，-I0W3.

（3）由题意，•・•函数的图象为平行于），=x的直线，

・••当KW4时，函数），=户”的函数值总大于函数产/+次+c的函数值，故结合图象如下.

•・•函数y=x+〃的图象过(1,D)时，1+〃=0,

.*.//=-1.

••・当时，困数）=%+八的函数值总大于困数），=r+6+c的函数值，贝

【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、

二次函数图象上点的坐标特征，解题时要能熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.

25.（6分）某温室在20CE5C的温度范围内培育一种植物幼苜，该幼苗的生长速度受温度影响.为了提

高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料.实验发现，肥料的用最也会显著影响幼苗的生长

速度.以下是部分实验数据：

设肥料用量为x克，2（）℃温度下的幼苗每天生长速度为A厘米/天，25℃温度卜.的幼苗每天生长速度为

yi厘米/天.

X023467810

V1.01.51.61.81.71.61.21.1

1.11.61.71.91.61.41.31.2

（1）在不使用肥料的情况下，该幼苗在20℃时的生长速度是L0厘米/天；

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画yi与川，户与x之间的关系.在给出的平面直角坐标系中,

画出函数"的图象；

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①在20℃下，使用约5.0克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）；

②若希望幼苗的生长速度在20℃和25c下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为2.0克，最多

约为6.5克.（结果保留一位小数）.

X

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0-

0.8

0.6

0.4

0.2

O12345678910

【分析】（1）有表格可直接得解;

（2）描点连线即可；

（3）①根据数据和函数图象观察即可得解；②根据表格数据和函数图象观察即可得解.

【解答】解：（1）由表格可知幼苗在20c时的生长速度是1.0J里米/大,

故答案为：1;

(2)函数图象如下图;

(3)由图象观察可知，当戈=5时，)，1最大,

故答案为：5.0；

(4)由表格和图象我们发现，当2WxW6时，)，1和月都不低于1.5厘米/天，

此时最少用料为2.0克，最多为6.5克；

故答案为：2.0,6.5.

【点评】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.

26.(6分)已知抛物线y=o?・2a%.

(1)若4=1,求抛物线的对称轴；

(2)A(a,yi),B(1-a,*),C(a+2,*)是抛物线上三点，且户<)，2<y3,求。的取值范围.

【分析】(1)依据题意，当。=1时，)，=7-2r,从而可得对称轴是直线工=一年=1,进而得解；

(2)依据题意可得，抛物线y=--2/r的对称轴是直线x=一驾=小又当。>0时，抛物线上的

点离对称轴越近函数值越小，结合yiV”V*,可得|a-〃|=0<|a-l+a|<|〃-a+2|,即0<|称-1|V2,

进而计算可以得解；再由4Vo时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，乂由户可得I。

-d|=0>|d-\+a\>\a-a+2\,即0>|2a-l|>2,不合题意，最后可以判断得解.

【解答】解：(1)由题意，当。=1时，-2A-,

工对称轴是直线x=--2~=1.

-2a2

(2)由题意可得，抛物线丁=―-2〃2%的对称轴是直线x=—=a.

2a

当a>()时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小,

又Vy3,

-a\=O<\a-\+a\<\a-a-2|，即0<|2«-1|<2.

-2V2a-1<2»且。丰

***—/<aV,,且aH

13

・・.OVaV微或一<67<4.

22L

当4Vo时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，

又2Vly3，

\\a-a\=0>\a-\+a\>\a-a-2\t即0>|2a-l|>2,不合题意.

综上，OVaV用gvaV9.

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练学

握井能及活运用一次函数的性质是关键.

27.（7分）如图，△人8c中，AB=AC,ZBAC=I8O°-2a（0°<a<90°）,。是8C中点，。在线段

0C上（不与0、。重合），点E是△4BO内部一点，AELED,NADE=NB.

（1）求NEA。的大小（用含a的式子表示）；

（2）已知点尸是8。的中点，连接EF.用等式表示