2024-2025学年北京市某校九年级（上）期中数学试卷

2024・2025学年北京市人大附中丰台学校九年级（上）期中数学试卷

一、单选题（每小题2分，共16分）

1.（2分）每年的4月22日是世界地球FI,2023年世界地球日的主题是“众生的地球”.某校在此期间组

织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（）

2.（2分）用配方法解方程3=0,下列配方结果正确的是（）

A.（x-1）2=2B.（x-I）2=4C.（x+1）2=2D.（x+l）2=4

3.（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转/后能与原来的图案互相重合，则”的最

小值为（）

A.45B.60C.72D.144

4.（2分）将抛物线），=2d的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式

是（)

A.y=2(K-2)2-3B.y=2(x-2)2+3

C.y=2(x+2)2-3D.y=2(x+2)2+3

5.(2分)二次函数产/+灰+c(40)的图象如图所示，那么下列说法正确的是()

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b>0,c>0

C.aVO,/?>O,c<0D.aVO,b<0,c>0

6.（2分）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）

A.当％>2时，y随x的增大而增大

B.其图象的开口向下

C.有最大值2

D.其图象的顶点坐标为（-1,2）

8.（2分）如图，在菱形4BC。中，/朋。=60°,。为对角线的交点.将菱形ABC。绕点0逆时针旋转

90°得到菱形A'B'CD',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BF8'GDHD'E给出下

面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点O到该八边形各顶点的距离都相等；

④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A

A.①③B.①④C.②③D.②④

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）方程7-16=0的解为.

10.（2分）点（4,-5）关于原点的对称点的坐标是.

11.（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式.

12.（2分）如图，将△A8C绕点A顺时针旋转30°得到△AOE,点8的对应点。恰好落在边8。」：，则

ZADE=__________

13.（2分）点，（-3,#），4（2,在抛物线），=.J-5x上，则yi（填“>"V”或“=”）

14.（2分）二次函数），=/-x+k的图象与x轴有两个交点，则Z的取值范围是

15.（2分）如图*8为。。的直径,弦（7£），48,垂足为点£：,连结。。,若。。=5乂石=2,则。£）=

16.（2分）《代数学》中记载，形如/+81=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1,先构造一个面

积为小的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为

33+16=49,则该方程的正数解为7・4=3.”小聪按此方法解关于x的方程/+10r+m=0时，构造出如

图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50,则该方程的正数解是.

21.（5分）如图所示的直角坐标系中，解答下列问题:

（1）将AABC绕点A顺时针旋转90°,画出旋转后的△ABi。；

（2）在变换的过程中，求点8经过的路径8山的长度.

23.（6分）如图，在△ABC中，ZC=90°,8。平分NABC交AC于点。，过。作OE〃BC交AB于点E,

DF〃AB交BC于点F,连接EF.

（1）求证：四边形引力£是菱形；

（2）若A/3=8,AD=4,求8〃的长.

A

24.（5分）在平面直角坐标系人O.y中，•次函数）=心+〃（&关0）的图象由函数图象,=2x平移得到，且

经过（-1,0）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x>l时，对于x的每一个值，函数吠（mWO）均值大于一次函数（2W0）的值，

直接写出机的取值范围.

25.（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为330〃小圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案.他们

想探究容器表面积与底面半径的关系.

具体研究过程如下，请补充完整：

（1）建立模型：设该容器的表面积为Sa/,底面半径为工高为），。相则

330=//，①

5=2TLx-2+2nxy,②

由①式得）=驾，代入②式得

nx£

可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是。>0.

（2）探究函数：

根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值:

三

x/cm•••11.522.533.54.555.56•••

S/cm2•••666454355303277266266274289310336•••

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;

（3）解决问题：根据图表回答，

①半径为2Acm的圆柱形容器比半径为4.4c〃?的圆柱形容器表面积（填“大”或“小”）；

②若容器的表面积为3。05?2,容器底面半径约为cm（精确到0.1）.

八S尢m2

700--

600--

500---

400--

300---

200

100—

O1234567~^/cm

1/、］w

26.（6分）在平面直角坐标系xO.y中，点（xi,〃?），（X2，〃）在抛物线（4>0）上，设抛物

线的对称轴为直线x=z.

（1）若对于X|=l,X2=3,有机=〃，求，的值；

（2）若对于i-lVxiUr,2<,V2<3,存在相求/的取值范围.

27.（7分）如图，在等腰三角形ABC中，ZBAC<60°,AB=AC,。为8c边的中点，将线段AC绕点A

逆时针旋转60°得到线段AE,连接8七交八。于点F.

（1）依题意补全图形

（2）求NAFE的度数；

（3）用等式表示线段ARBF,E〃之间的数晟关系，并证明.

28.（7分）在平面直角坐标系xO.y中，已知点A和B,对于点尸定义如下：以点A为对称中心作点P的

对称点，再将对称点绕点8逆时针旋转90°,得到点Q,称点Q为点P的反转点.

(1)如图，点A(1,1),B(3,0),点P(0,b),点、Q为点P的反转点.

①当人=0时，在图中画出点。，并写出点。的坐标为；

②当时，求线段AQ长的取值范围；

(2)己知。0的半径为V5,点人是。0上一点，点B和2是。0外两个点，点。为点夕的反转点.若

点P在第一象限内，点8在第四象限内，当点A在。。上运动时，直接写出线段?。长的最大值和最

小值的差.

yjk

2024・2025学年北京市人大附中丰台学校九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号1235678

答案CDcBBBAB

一、单选题（每小题2分，共16分）

1.（2分）每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”.某校在此期间组

织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原

来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

【解答】解：选项A、8、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来

的图形重合，所以不是中心对称图形.

选项。中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对

称图形.

故选：C.

【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转18()度后与自身重合.

2.(2分)用配方法解方程/+2A-3=0,下列配方结果正确的是()

A.(x-1)2=2B.(x-1)2=4C.(x+1)2=2D.(x+1)2=4

【分析】配方法的一般步蛛：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

【解答】解：・・・/+2."3=0

・・.，+2x=3

.,•/+2r+1=1+3

:.(x+1)2=4

故选：D.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解•元

二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

3.(2分)如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转〃。后能与原来的图案互相重合，则〃的最

小值为()

A.45B.60C.72D.144

【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°,并且圆具有旋转不变性，因而

旋转72度的整数倍，就可以与自身重合.

【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，

故〃的最小值为72.

故选：C.

【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合,

这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.

4.(2分)将抛物线)，=2?的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式

是()

A.y=2(x-2)2-3B.y=2(x-2)2+3

C.y=2(x+2)2-3D.y=2(x+2)2+3

【分析】抛物线平移不改变。的值，利用平移规律解答即可.

【解答】解：原抛物线的顶点为(0,0),向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的

顶点为(2,3).可设新抛物线的解析式为y=2(x-/z)2+亿代入得),=2(x-2)2+3.

故选:B.

【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标.

5.(2分)二次函数产/+灰+c(g0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是()

B.a<0,b>0,c>0

C.aVO,b>3c<0D.aVO,b<0,c>0

【分析】利用抛物线开口方向确定〃的符号，利用对称轴方程可确定〃的符号，利用抛物线与)，轴的交

点位置可确定c的符号.

【解答】解：•・•抛物线开口向下,

•"VO,

•・•抛物线的对称轴在y轴的右侧,

•・•抛物线与5-轴的交点在x轴上方,

Ac>0,

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a^+hx+c(〃W0),二次项系数a

决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开匚；当时，抛物线向下开口；一次项系

数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与"同号时（即出?>0）,对称轴在y轴左；当。与/?

异号时（即HV0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与>'轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,c）；

抛物线与x轴交点个数由△决定：A=》2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=〃2-4ac=0时，

抛物线与x轴有1个交点；A=〃2・4«cV0时，抛物线与x轴没有交点.

6.（2分）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）

【分析】根据圆的有关定义进行解答.

【解答】解：根据半圆的定义可知，选项4的图形是半圆.

故选:B.

【点评】本题考查了圆的认识.解题的关键是掌握半圆的定义.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成

两条弧，每条弧都叫做半圆.

7.（2分）对于二次函数y=（X-1）2+2,下列描述正确的是：）

A.当E>2时，y随x的增大而增大

B.其图象的开匚I向下

C.有最大值2

D.其图象的顶点坐标为（-1,2）

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以

解答本题.

【解答】解：二次函数），=G-1）?+2图象开口向上，顶点坐标（1,2）,对称轴为直线工=1,

A、当x>2时，），随工的增大而增大，正确，符合题意；

从其图象的开口向上，原说法错误，不符合题意；

C、最小值为2,原说法错误，不符合题意；

。、顶点坐标（1，2）,原说法错误，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

8.（2分）如图，在菱形ABC。中，N8AO=60°,。为对角线的交点.将菱形48CQ绕点。逆时针旋转

90°得到菱形A'夕CD',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BFB'GDHD'E给出下

面四个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点。到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【分析】通过△人。”且△。。“和可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过

角度计算判断②：通过长度计算判断③.

【解答】解：延长B。和。8,连接0”,

•・•菱形ABC。，NZMO=60°,

・・・N£MO=/Q4O=30°,NAOQ=NAO4=90°，

•・•菱形ABCD绕点0逆时针旋转90°得到菱形A'BCD\

1点A；D',小，C一定在对角线AC,B。上，且OD=OD=OB=OB,OA=OA'=OC=OC,

：,AD'=CD,ZD'AH=^DCH=30°,

VZD，HA=ZDHC',

•••△AO77经△CO"(AAS),

•MH=DH,C'H=AH,

同理可证D'E=BE,BF=B,F,B'G=DG,

•••NE4'B=N〃CO=30°,A'B=CD,ZA'BE=ZCDH=120°,

AAA'BE^ACD/7(ASA),

:,DH=BE,

：.DH=BE=D,H=D'E=BF=FB'=BrG=DG,

工该八边形各边长都相等，故①正确：

根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确;

根据题意，得NEQH=120°,

VZDW=90°,NOD'H=/ODH=60°,

：,ZD'HD=\50°,

，该八边形各内角不相等，故②错误；

•：OD=OD',D'H=DH,OH=OH,

:.△iyOH&N）OH（SSS）,

:,ND'OH=NDOH=45°,ND'HO=NDHO=75°,

：・0D于OH,

・••点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，全等二•角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三

角形的性质与判定是解题的关键.

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2分）方程16=0的解为川=4,12=-4.

【分析】移项，再直接开平方求解.

【解答】解：方程16=0,

移项，得7=16,

开平方，得工=±4,

故答案为：XI=4,X2=-4.

【点评】本题考查了直接开方法解一元二次方程.用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：?=«

（«^0）；cu?=b（a,/?同号且aWO）；（x+fl）2=b（820）；aCx+b）2=c（a,c,同号且。工0）.法则：

要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”.

10.（2分）点（4,-5）关于原点的对称点的坐标是（-4，5）.

【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案.

【解答】解：点（4,-5）关于原点的对称点坐标是（-4,5）.

故答案为：（・4,5）.

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横坐标互

为相反数、纵坐标互为相反数.

II.（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式v=-/.

【分析】根据开口向下，可知4<0,再根据经过原点，可知C=0,从而可以写出一个符合要求的二次

函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一.

【解答】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是），=-/,

故答案为：），=-』.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

12.（2分）如图，将△A4C绕点A顺时针旋转30°得到△AQE点8的对应点。恰好落在边3c上，则

【分析】根据旋转的性质得到AO=A8,/ADE=/B,根据等腰三角形的性质得到NAO8=N8,求得

NAOE=N4OB=70°.

【解答】解：由旋转的性质可知，AD=AB,ZADE=ZB,

：.NADB=NB,

•••NZM/）=30°,

AZADE=ZADB=ZB=1x（1800・30°）=75°,

故答案为:75°.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

13.（2分）点A（-3,yi）,8（2,yi）在抛物线y=r-5x上，则vi>yi.（填“>”，"V”或“=”）

【分析】分别计算自变量为-3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可.

【解答】解：当％=-3时\yi=7-5x=24；

当x=2时,”=，-5x=-6：

V24>-6,

故答案为：>.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了

二次函数的性质.

14.（2分）二次函数y=7-x+A的图象与％轴有两个交点，则上的取值范围是一<；.

【分析】根据二次函数），=』-/女的图象与x轴有两个交点，可知判别式A>0,列出不等式并解之即

可求出A的取值范围.

【解答】解：•・,二次函数・"攵的图象与x轴有两个交点，

.・.△=（-1）2-4X1XQ0，

解得：V，

故答案为：k<1.

【点评】本题考查二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种

对应关系并熟练运用是解答的关键.

15.（2分）如图,八3为00的直径,弦。。3_48,垂足为点£：,连结OC若OC=5,AE=2,则。。=8.

【分析】由垂径定理得到CO=2CE,根据OC=OA=5,AE=2可求出OE的长，利用勾股定理可求出

CE的长.

【解答】解：・・・A8为圆。的直径，弦CO_LAB,

：,CD=2CE,

VOC=5,AE=2,

・・・OA=5,

：.OE=OA-AE=5-2=3,

，CE=>/OC2-OE2=V52-32=4.

，CO=2C£=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据垂径定理得出CQ=2CE是解答此题的关键.

16.(2分)《代数学》中记载，形如/+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1,先构造一个面

积为?的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2v的矩形，得到大正方形的面积为

33+16=49,则该方程的正数解为7-4=3.”小聪按此方法解关于x的方程/+l(k+/〃=O时，构造出如

图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50,则该方程的正数解是％=-5+58.

x

I2

图1图2

【分析】根据阴影部分的面积+四个正方形的面积=大正方形的面枳，得出50+4X(|)2=(x+2xf)2,

解方程即可.

【解答】解：•・•阴影部分的面积+四个小正方形的面积=大正方形的面积,

A50+4X(1)2=(X+2X1)2,

即75=(.r+5)2,

解方程得》=-5±5V3,

.•.X的正数解为：t=-5+5VS,

故答案为：x=-5+5V3.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程5O+4x(52=(%+2乂多2是

解决本题的关键.

三、解答题(本题共68分.第17・19题，每题5分；第20题6分；第21・22题，每题5分，第23题6分，

第24题5分，25-26®,每题6分，27・28题，每题7分.)

17.(5分)解方程：』-4x-3=0.

【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化

为常数.

【解答】解：移项得，-标=3,

配方得x2-4X+4=3+4,

即（x-2）2=方，

开方得x・2=±夕，

/»Xi=2+V7»X2=2—y/7.

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如，+px+9=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一

半的平方：第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可.

（2）形如/+加+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，+*+4=0,然后配方.

18.（5分）如图，四边形A4CO中，NA8C=NAQC=9（）°,求证：点A,B,C,。四个点在同一个圆上.

【分析】取AC的中点O,连接08,OD,只要证明04=03=00=0。即可.

【解答】证明：取AC的中点0,连接。从OQ.

ZBAD=ZBCD=90°,0A=0C,

：.OA=OB=OD=OC,

，A,B,C,。四个点在同一个圆上.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角二角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.（5分）已知关于x的一元二次方程，-6x+〃?+4=0有两个不相等的实数根.

（1）求加的取值范围；

（2）当加取满足条件的最大整数时，求方程的根.

【分析】（1）由△＞（）得到关于m的不等式，解之得到机的范围，根据一元二次方程的定义求得答案：

（2）由（1）知加=4,可得方程』-6x+8=0,利用因式分解法求解可得.

【解答】解：（1）由题意知，△=（-6）2-4（m+4）>0,

解得：〃?V5,

则小的取值范围是/“V5；

(2)由(1)知〃1=4,

则方程为W・6x+8=0,

即(x-2)(x-4)=0,

解得x=2或x=4.

二•方程的根为x=2或x=4.

【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判

别式的值之间的关系.

20.（6分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：

X•••-3-2-101•••

••••••

y0-3-4-30

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

(3)当-4Vx<-2时，直接写出），的取值范围.

•••••_•*___*•_____•____a♦

••••*・••.

•••••••,

••••*•••・♦

••・！

••••••••,

■•■•*••・•.,

••••*••♦••,.

••••••••,

*■•••,

•••:•1*•••,

1!

:0：X：

•..•.•.••...

••••*•••,

••••・•・•・•.,

••••*__••____■•_____•_.

••••*•••,

••••••••,

•••••••,

....1...........•........

••••••••.

■•••■・•・・.

••••*■♦•・♦

•••••*•••,

•・•••*••••,

【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1,-4）,则可设顶点

式y=a（x+1）2-4,然后把点（0,-3）代入求出］即可；

（2）利用描点法画二次函数图象；

（3）根据x=-4、-2时的函数值即可写出y的取值范围.

【解答】解：(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为(・1，-4),

设二次函数的解析式为：Cv+1)2-4,

把点(0,-3)代入y=a(x+1)2-4,得4=1,

故抛物线解析式为y=(x+1)2-4,即)，=』+法-3；

(2)如图所示:

(3)•・•)，=(x+1)2-4,

当％=-4时，产(-4+1)2-4=5,

当x=-2时，y=-3,

又对称轴为x=-1,

・•・当・4VxV・2时，y的取值范围是-3V)，V5.

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根

据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的图象与性质.

21.(5分)如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：

(1)将△ABC绕点A顺时针旋转90°,画出旋转后的△A3］。；

(2)在变换的过程中，求点B经过的路径4出的长度.

y

【分析】（1）利用网格特点和性质的性质画出反。的对应点小、Ci即可；

（2）先利用勾股定理计算出A8,然后利用弧长公式计算点8的移动路径长.

(2)*：AB=V32+42=5,

5

••・点B的移动路径长=能好

2-7T

【点评】本题考查了作图-旋转变换，勾股定理，弧长的计算.解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质.

22.（5分）如图，某小区计划在一块长为32/〃，宽为20加的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的

空地上种植草坪，使草坪的面积为570/户.求每条道路的宽.

【分析】将六小块草坪合在一起可得出一个长方形，设道路的宽为.口〃，则草坪的长为（32-2x）小，宽

为（20-x）如根据矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设道路的宽为初】，则草坪的长为（32・"）m,宽为（20-x）〃?,

根据题意得:（32-2x）（20-x）=570

整理得：，-36X+35=0,

解得：片=1,也=35（不合题意，舍去）.

答：每条道路的宽为1米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.（6分）如图，在△ABC中，NC=90°,8。平分NA8C交AC于点。，过。作。E〃8C交AB于点E,

DF〃AB交BC于点F,连接£立

（1）求证：四边形引也陀是菱形；

【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB=ED即可得到平行四边

形8FOE是菱形；

（2）设8/=工，所以可得OE=8E=x,AE=S-x,在RtZYAOE中，由勾股定理可得4序=。d+4。2,

求出x的值即可.

【解答】（1）证明：'：DE//BC.DF//AB,

，四边形是平行四边形.

:8。平分乙48C,

/.4ABD=/CBD.

■:DE/IBC,

:,NCBD=NEDB.

：.NABD=NEDB.

：,EB=ED.

・•・平行四边形BFDE是菱形;

(2)解：*：ED//BF,ZC=90°,

：.ZADE=90°.

设BF=x,

:.DE=BE=x.

-x.

在RtZXAOE中，AE2=DE1+AD2

/.（8-x）2=/+42

解得x=3,

:.BF=3.

【点评】本题考杳了菱形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质以及勾股定理的运用，熟记菱

形的各种判定方法和性质是解题的关键.

24.（5分）在平面直角坐标系入Qv中，一次函数丁=依+匕（AHO）的图象由函数图象y=2t平移得到，且

经过（-1,0）.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当时，对于x的每一个值，函数MW0）的值大于一次函数'=依+。（&W0）的值，

直接写出机的取值范围.

【分析】（1）据一次函数平移时k不变可知2=2,再把点（-1,0）代入求出b的值，进而可得出结

论.

（2）根据点（I,4）结合图象即可求得.

【解答】解：（1）•・•一次函数（20）的图象由函数）=2A•的图象平移得到，

:.k=2.

•・•一次函数y=2t+b的图象过点（・1,0）,

.*.0=-2X1+/?.

:・b=2.

・•・这个一次函数的表达式为）=2x+2.

（2）当x=1时，y=2x+2=4,

把点（1,4）代入y=〃a，求得〃?=4,

;当x>l时，对于x的每一个值，函数y=〃?x（〃?W0）的值大于一次函数y=2i+2的值，

【点评】本题考杳的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性

质是解答此题的关犍.

25.（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为330〃龙圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案.他们

想探究容器表面积与底面半径的关系.

具体研究过程如卜，请补充完整:

（1）建立模型：设该容器的表面积为Sa/,底面半径为高为ycm,则

33O=n.ry,①

由①式得）=整，代入②式得

S=2g2+哈③

可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是£＞（）.

（2）探究函数：

根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值:

x/cm•••11.522.533.544.555.56

S/cnr•••666454355303277266266274289310336•••

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;

（3）解决问题：根据图表I可答,

①半径为2Acm的圆柱形容器比半径为4.45?的圆柱形容器表面积大（填“大”或“小”）；

②若容器的表面积为300切?2,容器底而半杼约为2.5或5.3C/H（精确创0.1）.

尢I2

JSIT

11

7001

1

1

6001

1

1

1

5001

•1

1

400

1

<1

—-----------

300—"1一-一••

i

i

200i

i

i

1

10()i

i

i

O1234567x/cm

【分析】（2）根据图象上点连线即可;

（3）根据图表即可求出答案.

【解答】解：（2）函数图象如图所示:

（3）①根据图表可知，半径为2.4°〃的圆柱形容器比半径为4.4a〃的圆柱形容器表面积大，

故答案为：大.

②根据图表可知，当s=300c〃P,工比2.5。〃或产力.?。％,

故答案为：2.5或5.3.

【点评】本题考查了函数图象，根据结合图象和表格信息是解题的关键.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（xi，机），（必〃）在抛物线产/+法+。（a>0）上，设抛物

线的对称轴为直线X=九

（1）若对于内=1,也=3,有〃?=〃，求/的值；

（2）若对于L1V%]V/,2<X2<3,存在求，的取值范围.

【分析】（1）利用抛物线的对称性即可求解：

（2）设抛物线上的四个点的坐标为A（L1,〃以），B（/,，帖），C（2,〃c），D（3,/加，分5种情况

讨论，根据二次函数的性质判断即可.

【解答】解：（1）•:点、（XI，加），（小〃）在抛物线y=o?+辰+c（a>。）上，且川=1,刈=3,m=〃,

（2）V«>0,

・••当时，），随x的增大而增大；当工W时，丁随x的增大而减小，

设抛物线上的四个点的坐标为A（f・1,mQ,B6〃⑴，C（2,〃c），D（3,〃/5）,

工•点A关丁对称轴人=/的对称点为4（什1，/7M）.

•••抛物线开口向上，点8是抛物线顶点，

①当时，HC<HD»

A./+1W2.

/.不存在m>n,不符合题意；

②当1V忘2时，〃CV/ID，

•••2V/+1W3.

，存在〃?>〃，符合题意；

③当2V）W3时，〃的最小值为〃IB，

，存在/〃>〃，符合题意;

④当3<r<4时,HD〈nc，

：.2<t-I<3,

:.存在〃?>〃，符合题意；

⑤当时，〃QV〃C，

・・・L123,

，〃乂不存在〃1>〃，不符合题意；

综上所述，/的取值范围是IV/<4.

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的

关键.

27.（7分）如图，在等腰三角形ABC中，ZBAC<60°,AB=AC,。为8c边的中点，将线段AC绕点A

逆时针旋转60°得到线段连接BE交AO于点立

（1）依题意补全图形

（2）求NA房的度数；

（3）用等式表示线段4凡BF,E尸之间的数量关系，并证明.

【分析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）利用圆周角定理解决问题即可.

（3）结论：EF=AF+BF.如图，连接CREC,在石尸上取一点。使得FT=/C连接CT.证明△

FCAmATCE（SAS）,推出4/=七7,可得结论.

【解答】解：（1）图形如图所示：

(2)*：AB=AC=AE,

・••点A是△BCE的外心，

••,NC4E=60",ZCBE=^ZCAE,

••・NCBE=30°,

9：AB=AC,BD=DC,

：.ADA.BC,

:.NBDF=90°,

:・NAFE=NBFD=900-30°=60°.

(3)结论：EF=AF+BF.

理由：如图，连接。尸，EC,在所上取一点7,使得/^=尸。，连接cr.

:4。垂直平分线段8C,

:・FB=FC,

工NBFD=NCFD=NAFE=600,

，NCFE=60",

•：FT=FC,

•••△CTT是等边三角形，

:.CF=CT,ZFCT=60°,

\*AC=AE,ZCAE=60°,

•••△AC£是等边三角形，

:・CA=CE,ZACE=ZFCT=60°,

：.4FCA=4TCE,

△尸。且△7CE(.SAS\

：,AF=ET,

：,EF=FT+ET=BF+AF.

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，

全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

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