2024北师大版八年级数学上册期中模拟试卷（含答案解析）

北师大版（2024）八年级上册数学期中模拟试卷

满分120分，时量120分钟

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图标中轴对称图形的是（）

2.下列说法正确的是（）

A.两角及一边分别相等的两三角形全等

B.全等的网个图形•定成轴对称

C.三角形三内角平分线的交点到三个顶点的距离相等

D.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

3.如图，AB=DB,Z1=Z2,添加下列条件，不能判定△48C三△08E的是（）

A.BC=BEB.AC=DE

C.LA=乙DD.Z.ACB=乙DEB

4.如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形0A8C是边长为1的正方形,

。。与％轴正半轴的夹角为15。，则点〃的纵坐标为（）

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6.下列几组数中，是勾股数的有（）

5

①9,40,41；②3Q,4a,5a（a为正整数）；③13,14,15；2一

A.1组B.2组C.3组D.4组

7.若△48c三△/）£•「，则根据图中提供的信息，可得出工的值为（）

A.30B.27C.35D.40

8.如图，等腰的底边BC长为3,面积是18,腰力C的垂直平分线"

分别交4C,AB边于E,F点.若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动

点，则△COM周长的最小值为（）

A.6B.10.5C.13.5D.16.5

9.如图，在△力8c中，AB=AC,4。18c于点0,则下列结论中不一定成立的是（）

A.jB=Z.CB.BD=CDC.Zl=Z2D.AD=BD

10.如图，在Rt团ABC中，ZC=9O°,以顶点力为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC,48于点M、N,

再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P,作射线4P交边BC于点D,若CD=3,

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10,则5480的面积为（）

A.15B.20C.25D.30

11.△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P、Q同时从4、8两点出发，分别沿

AB.BC方向匀速移动，点P的运动速度是2sn/s,点Q运动速度是lsn/s,当点P到

达点B时，P、Q两点停止运动.设点P运动的时间为£（s）.当是直角三角形时，t的

值是（）

A.2.5B.4C.2.5或4D.5或2.5

12.如图，在直线4C的同一侧分别作两个等边三角形△48。和△0£1,连接4E,CD,BH,GF,有以下结

论①△ABE=△DBC-,@AG=DH;③8〃平分4/HC;©△GB尸是等边三角形;以上结论正确有（）

A.①③④氏①②③C.②③④D.①②④

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

13.若一个三角形的三边长分别是〃i+1,+2,nt+3,则当“I=时，它是直角三角形.

14.如图，D在BC边上,团48c三日力。£,Z.EAC=40°,则N8/1D的度数为.

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15.如图，在矩形48CD的边40上找一点P,使点P到从C两点的距离之和最短，则点。的位置应该

在.

16.如图，直线0E分别交△48C选4C、48于点。、E,将A/IBC沿0E翻折，使点力恰好与点C重合.若

AS=3,BC=2,则ABCE的周长是.

17.如图，在一个长为2米，宽为1米的纸板上有一长方体木块，它的长和纸板宽力。平行且大于/I0木块的正

面是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从4处爬行到C处需要走的最短路程是米.

18.如图，点B,F,C,E在同一直线上，且8F=EC,AC〃。产.要使△

OEF•，则还需添加一个条件为—.（只填一个即可）

19.在锐角△48。中，48=/1C,/1B垂直平分线与力。所在的直线相交所得的锐角为50。，则=

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20.如图，在Rt团48C中，4/180=90。，ABAC=30°,BC=4,。是AC的中点，E是8C上一动点，将线

段DE绕点。按逆时针方向旋转90。得到线段Dr,连接A凡EF.

(1)当点E和点C重合时，AF=.

(2)在点E运动的过程中，力户的最小值为.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.(本小题8分)

如图，在RtaABC中，乙4cB=90。，〃1=30。，BC=1.将三角板中30。角的顶点。放在AB边上移动，使

这个30。角的两边分别与△力8C的边相，8c相交于点£F,连接“，连接EF,且使DE始终与力B垂直.

(1)求证；ABOF是等边三角形.

(2)AD与。尸之间有怎样的数量关系？请你写出证明过程.

22.(本小题8分)

如图，在四边形A8OD中，48=90°,OE〃/18交8c于点£交AC于点、F,LCDE=LACB=30°.

(1)求证：△FC。是等腰三角形；

(2)若=DE,贝”々乙4。的度数为

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23.（本小题8分）

如图，LABC=LADC=90°,M,N分别是AC,8。的中点.求证：MN工BD.

24.（本小题8分）

如图，△48。中，点/1（一2,1）,8（-3,4）,。（一5,2）.在所给直角坐标系中解答下列问题:

（1）在图中画出△RBC关于y轴对称的△&81Q.

（2）求44/iG的面积是.

（3）在工轴上找一点P,使得/M+PB］的值最小，则点P的坐标为.

25.（本小题8分）

如图，在△?1%?中，4KB=90。，CO是中线，过点。作OE_L/1B,垂足为0,交BC干点、E,点尸在CD上,

且EF=EC,连接8口

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A

D

(1)求证AC=BF；

(2)若AB=10,BF=6,求BE的长.

26.(本小题8分)

如图，在I34BC中，AB=AC.

(1)尺规作图：作8c边上的高线AD.(不写作法，保留作图痕迹)

(2)若48=10,BC=12,求高线AO的长.

27.(本小题8分)

在Rt团中，^ACB=90°,点D,E分别是48,8C上的点，连接OE.

(1)【基础设问】若点E为BC的中点，BC=8,DE=3,8D=5,则08DE是三角形.(填“等

腰"''等边”或“直角”)

(2)如图1,连接力E,若力E平分乙84。，DE1AB,BD=4,8c=8,则BE=.

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(3)如图2,若40=4C,OE_L4区求证：点E在4B4C的平分线上.

(4)【能力设问】

如图3,点P在AC上运动，PD始终保持与PA相等，EF是跳)的垂直平分线，交BD于点、F.

②若4c=4,BC=6,PA=1,求线段0E的长.

28.(本小题8分)

在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长为8cm,宽为4cm的长方形纸片进行折纸探究活动.

(1)【操作说明】

如图①，在长方形纸片OEFG上任意画一条线段4B,将纸片沿线段48折叠(如图②).

①②

(1)试探究重叠部分团A3。的形状，并说明理由.

(2)求回力8。面积的最小值.

(2)【感悟作图】

把长方形纸片DEFG对折，折痕为MN,请你用无刻度的直尺和圆规作图(保留作图痕迹，不写作法).

(3)如图③，试在折痕MN上找•点P,使得⑦DEP为等边三角形.

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I)(;

1/

③

(4)如图①，在线段0G上找一点Q,在线段Er上找一点“，使得13EQH为等边三角形.

I)

④

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答案和解析

1.【答案】0

【解析】解：力、不是轴对称图形，故本选项错误；

从不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误：

。、是轴对称图形，故本选项正确.

故选：D.

根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称

图形，这条直线叫做对称轴.

本题考查r轴对称图形的定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重

合.

2.【答案】D

【蟀析】【分析】

此题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，等边三角形的判定，轴对称图形.

根据三角形的判定方法SSS、SAS、AS444S、HL分析4根捱轴对称图形的概念分析B,根据角平分线

的性质分析分析C,根据等边三角形的判定分析。.

【解答】

解：4、两角和一边对应相等的两三角形全等，故此说法错误；

8、全等三角形不一定成轴对称，故此说法错误；

C、三角形三内角平分线的交点到三个边的距离相等，故此说法错误；

。、有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，说法正确；

故选：D.

3.【答案】B

4.【答案】B

【脩析】【分析】

此题重点考查图形与坐标、正方形的性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理

等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.连结。8,作801%轴于点0,由0C=8C=l,Z.C=

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90S得OB=03+BC2=/^由NCOB=45。，^COD=15°,得W。8=30。，则BD=三，则点B的

纵坐标为-苧，于是得到问题的答案.

【解答】

解:如图，连结。8,作8。1%轴于点。，则4。。8=90。,

•.•匹边形。4BC是边长为1的正方形，

OC=BC=1,Z.C=90°,

:.OB=VOC2+FC2=Vl2+12=

vLCOB=乙CBO=45°,乙COD=15°,

:.乙DOB=乙COB-乙COD=45°-15°=30°,

:.BD=p)B=；x6.=华,

•••点B的纵坐标为-苧，

故选:B.

5.【答案】0

6.【答案】B

【解析】解：①9?+402=4",且以40,41都是正整数，是勾股数，符合题意；

②(3以+(4铲=(5以,且3a,4a,5a(a为正整数)都是正整数,是勾股数,符合题意;

@132+142^152,不是勾股数，不符合题意；

④去1，泳都是正整数，不是勾股数，不符合题意.

综上所述，有2组符合题意.

故选：B.

根据勾股数的定义：满足a2+82=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可.

本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较

小数的平方和等于最大数的平方.

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7.【答案】A

8.【答案】C

【解析】解：如图，等腰△4BC的底边BC长为3,面积是18,点。是BC边的中点，连接AD,

•••AD1BC,

•••S&ABC=^BC-AD=^x3xAD=18,

解得:AD=12,

•••E尸是线段4C的垂直平分线，

•••点C关于直线E"的对称点为点力，

4)的长为CM+MD的最小值，

CDM的周长最小值=1(CM+MO)+CO=AD+8c=12+,x3=12+1.5=13.5.

故选:c.

连接力0,由于△力8c是等腰三角形，点。是BC边的中点，故4D18。，再根据三角形的面积公式求出

的长，再再根据EF是线段4。的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点4故A。的长为CM+M0

的最小值，由此即可得出结论.

本题考查轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性

质是解答本题的关键.

9.【答案】D

10.【答案】A

【解析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点。作0H_L/18于点H,根据作图可得力。平分N847,再

根据角平分线的性质可得CD=。，=3,即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作。H1/1B于点H,

C

由作图可得，力。平分匕34。，

ANHB

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vzC=90°,

ADC1AC,

•••CD=DH=3,

-AB=10,

••福ABD的面积为1•AB•DH=1x10x3=15,

故选：A.

11.【答案】C

【解析】解：•••△48。是边长为10cm的等边三角形，

:.AB=BC=10cm,乙B=60°,

由题意得：AP=2t,BQ=t,

:.BP=(10—2t)cm,

△PBQ中，8P=10-23BQ=3若aPBQ是直角三角形，则

乙BQP=900或48PQ=90°,

当，BQP=90。时，48=60°,

:.乙BPQ=90°一乙B=30°,

BQ[BP,

即t=?(10—2£),

t=2.5,

当，8PQ=90。时，48=60。，

••./BQP=90。一48=30°,

BP=^BQt

10-2t=1t,

t=4.

.•.当t=2.5或t=4时，ZiPBQ是直角三角形.

故选：C.

根据等边三角形的性质得直角三角形，8=60。，表示出BQ与P。的关系，分情况进行讨论：48PQ=90。或

乙BQP=90。.然后在股△BQP中列出方程进行求解即可.

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本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的30。角所对的直角边等于斜边的一半，利用数形结合以

及分类讨论是解题的关键.

12.【答案】A

【解析】【分析】

此题考杳了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识.利用等边三角

形的性质得到BA=BD,BE=BC,乙ABE=£DBC,即可证明用力BE三团CBC,即可判断①；证明团

AGB^DFB(ASA),则AG=DF>DH,即可判断②；过点8作8Ml4E于M,8N1CD于N,根据全等三

角形的性质和三角形面积得到我小8"="。-8从即可判断③；根据G8=F8,乙DBF=60°,即可证

明④.

【解答】

解：•.•团ABD,E18CE都是等边三角形，

£ABD=LEBC=60°,BA=BD,BE=BC,

A/.ABE=乙DBC,乙DBF=1800-Z,ABD-乙EBC=60°,

在回ABE和图OBC中，

BA=BD

Z.ABE=Z.DBC,

BE=BC

.••团ABE三团。8c(SAS),故①正确，

:*Z.BAE=Z.BDC,

在04G8和团。广B中，

Z.BAG=乙BDF

AB=DB,

/-ABG=乙DBF=60°

：.^AGB=^DFB(ASA),

：.AG=DF>DH,

故②错误；

过点B作BM1AE于M,BN1CD于N.

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DA

^^ABE=0DBC,

AE—CD,S^ABE—S&DBC

VBMLAE,BN1CD,

.JAE•BM=，D♦BN,

:.BM=BN,

BH平分4AHC,故③正确；

♦.,团AGB三团DFB,

•••GB=FB,

又•・2DBF=60°,

.•.团G8F是等边三角形，故④正确;

综上可知，正确的是①③④.

13.【答案】2

【解析】解:(机4-1)2+(m+2)2=(m+3/，

解得：m=±2,

当n=-2时，7九+1<0,不合题意舍去，

则?n=2.

故答案为：2.

根据勾股定理逆定理当：(m+1>+(m+2/=(m+3产时，它是直角三角形，解方程计算出m的值即

可.

此题主要考查了勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足。2+匕2=，2,那么这个三角形就是直

角三角形.

14.【答案】40°

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【解析】【分析】

本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，84?二4DAE,然后根据角的和差关系得出

Z-BAD=Z-EAC^.

【解答】

解：•.•△718。出△力DE,

:.Z.BAC=Z.DAE,

AZ.BAC-Z.DAC=Z-DAE—"AC,

•••/.BAD=^EAC=40°.

故答案为40。.

15.【答案】AD的中点处

【蟀析】【分析】

此题考杳轴对称-最短路线问题、矩形的性质以及全等三角形的判定和性质.根据轴对称的性质作出B关

于40的对称点夕，再连接Ce，利用矩形性质和全等三角形的判定得48勿P与△COP全等，再根据全等三

角形性质得4P=0P,即可解答.

【解答】

解：作关于4。的对称点夕，连接C8'交4。于P,此时点P到&C两点的距离之和最短，

如图：

••长方形H8C。，

:.AB=CD,LB'AP=乙PDC=90°,

•；AB'=AB,

：.ABr=CD,

在AB'”与△CDP中，

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乙B'PA=^CPD

{2B'AP=乙PDC=90°，

AB'=CD

.••△8\4PwZiCDPG4AS),

•••4P=DP.

故答案为：的中点处.

16.【答案】5

【解析】解：•••将△48C沿0E翻疔，使点4恰好与点C重:合.

•••AE=CE,

AB=3,BC=2,

•••△8CE的周长=BE+CE+BC=BE+AE+BC=AB+BC=3+2=5,

故答案为：5.

根据翻折的性质解答即可.

此题考杳翻折变换，关键是根据翻折得出4E=CE.

17.【答案】2.6

【解析】如图，将木块看成是由纸片折成的，将其拉平成一个长方形，连接力C,

M—FC

B

48=2+0.2x2=2.4米，BC=1米，

：・AC2=2.42+I2=6.76=2.62>

：.AC=2.6米，

.•・蚂蚁从｛处爬行到。处需要走的最短路程为2.6米.

18.【答案】AC=DF

【解析】解：添加的条件为：AC=DF,证明如下:

•••BF=EC,

BF+CF=EC+CF,即8c=EF,

vAC//DF,

:，Z.ACB=乙EFD,

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在ZiABC和△DE尸中,

AC=DF

/-ACB=乙EFD,

BC=EF

:.AABC"DEF(SAS),

故答案为：AC=DF.

添加的条件为4C=D凡再根据平行的性质得出4/C8=4EF。，进而根据边角边证明全等即可.

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键.

19.【答案】70°

【解析】解：如图1,

♦••OE是力B的垂直平分线,

A/.DEA=90°,

vLEDA=50°.

.•・z/1=40°,

'：AB=AC,

:•乙B=Z.ACB,

又24++Z-ACB=180°,

•••LB=70°.

故答案为:70°.

根据题意画出图形，求出，B/1C的度数，求出氏根据三角形内角和定理求出即可.

本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的应用，关键是求出N8/C的度数和得

出Z8=Z.ACB.

20.【答案】【小题1】

4/2

【小题2】

2+2/3/2/3+2

【解析】1.

先根据含30度角的直角三角形的性质AC=2BC=8,再根据线段中点定义和旋转性质得到。r=CO=

AD=4,4ADF=4CDF=90°,然后利用勾股定理求解即可；

【详解】解：如图，

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•••Rt□ABC中，乙ABC=90八,Z.BAC=30n,BC=4,

:.AC-2BC-8,

•••。是4。的中点，

：

:.AD=CD=7乙AC=4»

由旋转性质，得D尸=CO=4。=4,^ADF=^CDF=90°,

AF=VAD2+DF2=742+42=4^/2,

故答案为：4，之；

2.

如图，作。M_LBC于M,FJ工DM于J,延长F/交43于N.首先借助相似三角形的性质和全等三角形的性质

说明点尸在直线/上运动（直线呜直线48之间的距离为2+2门），根据垂线段最短可知，当月9JL直线Z时，

"最短，则最小值为2+20.

如图，作OM1BC于M,FJ上DM于J,延长尸/交48于N.

则4OM8=乙DMC=^ABC=90°,

:.DM//AB,

.-.0CDM^CAB,

.DM_CM_CD_1

''~AB='BM=CA=2'

DM=^AB=273,BM=CM=2,

vZF=乙BMJ=Z.DJM=90°,

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匹边形8M/N是矩形，

：.JN=BM=2,Z.JNB=90°,

由旋转性质得匕EDF=90°,DE=DF,

Z.FDJ+LEDM=90°,又乙EDM+乙DEM=90°,

AZ.FDJ=ZDEM,

•••Z.FJD=乙DME=90°,

.*.0FJD^DME（AAS）,

:.FJ=DM=2/3,

FN=FJ+]N=2+2/3,又"NB=90。，

•••点F在直线[上运动，此时直线//"B（直线1与直线之间的距寓为2+2/3）,

根据垂线段最短可知，当4FJ■直线2时，AF最短，则最小值为：2+20,

故答案为：2+26.

21.【答案】-ED1AB,

:.Z.EDB=90%

♦:乙EDF=30°,

乙FDB=60°,

•••Z71=30。，LACB=90°,

:.乙B=60°,

.•.△8。尸是等边三角形；

AD-CF=1,理由：

v/.ACB=90°,Z/1=30°,

•••AB=2BC=2,

•.△80尸是等边三角形，

BD=BF=BC-CF=1-CF,

40=48—BD=2—（1-CF）=1+CF,

AD-CF=1

【解析】（1）证明：•・•£/）1AB,

4EDB=90°,

•••LEDV=30°,

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Z.FDB=60°,

♦••Na=30。，£ACB=90°,

:.乙B=60°,

••.△BDF是等边三角形;

(2)解：AD-CF=1,理由：

•••Z.ACB=90°,Z-A=30°,

AB=2BC=2,

••・△BDF是等边三角形,

ABD=BF=BC-CF=1-CF,

:.AD=AB-BD=2-(1-CF)=1+CF,

AD-CF=1.

⑴先由垂直的定义求出“D8=60%再通过百角三角形的性质得到用=60%根据等i力三角形的判定定

理证明结论；

(2)含30。角的直角三角形的性质得出48=2BC=2,根据△BDF是等边三角形可得BD=BF=BC—CF=

1-CF,最后通过线段和差即可求解.

本题主要考查了等边三角形的判定与性质，含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些性质.

22.【答案】【小题1】

V乙B=90°,4ACB=30°,

:.乙BAC=60°.vAB//DE,:.Z.EFC=乙BAC=60°,v乙CDE=30°,:.Z.FCD=乙EFC-Z-CDE=60°-

30°=30°,AZFCD=ZFDC,FD=FC,即△尸CD为等腰三角形；

【小题2】

75°

【解析】2.vDE//AB,

:.乙DEC=Z.F,vBC=DE,Z.ACB=乙CDE=30°,DCE=△CAB(ASA)t:.CA=CD,二LCAD=

=竺学£=75。.

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23.【答案】证明：连接8M、DM,

v/.ABC=Z.ADC=90°,M是AC的中点，

BM=^AC,DM=^AC,

:・BM=DM,

义,:N为BD的中点,

MN1BD.

【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线

等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键.

连接BM、DM,根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到DM=\AC,再根

据等腰三角形的三线合一即可得到证明.

24.【答案】解:(1)如图1,△4B1C1即为所求;

(2)4；

(3)(—1,0).

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【解析】【分析】

本题考查了作图-轴对称变换，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标

特征，也考查了最短路径问题.

(1)利用轴对称的性质找出A、B、C关于y轴对称的点4、B】、G，然后连线即可；

(2)利用割补法与三角形的面积计算公式解答即可；

(3)作4点关于％轴的对称点4,连接为4交工轴丁尸点，根据两点之间线段最短判断P点满足条件，然后写出

P点坐标.

【解答】

解：(1)见答案：

(2)SM]B]CI=3X3—1xlx3—1xlx3-^X2X2=4；

故答案为4；

(3)作点力(-2,1)关于x轴的对称点4(-2,-1),连接Aa,交工轴十P,如图2,

图2

则PA=PAr,

此时，PA+PBX=PA'+PBr=

设直线大々的解析式为y=kx+6,则：

(—2k+b=—1

hk+b=4'

解律｛*，

.•.直线“当的解析式为y=x+1,

令》,=0,得乃+1=0,

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解得：X=-1,

・•.尸点的坐标为(一1,0).

故答案为(-1,0).

25.【答案】【小题1】

证明：连接AE.在中，/.ACB=90°,CO是中线，二40=BO=CD.OEJ,垂足为D,OE是

线段48的垂直平分线.二BE=AE..'.Z.EAB=乙EBA.；.^AEC=Z-EAB+Z.EBA=2/.EBA.vBD=CD,:.

Z.DCB=Z.EBA.vEF=EC,:.Z.DCB=乙EFC.：•Z.DCB=乙EFC=4EBA.：.乙BEF=Z.DCB+乙EFC=

2/.EBA.-.Z.BEF=Z/IEC.aABFE^\LACE^P，BE=AE,Z.BEF=Z.AEC,EF=EC.：・&BFE三AACE.，

8F=AC-|MC=BF.

【小题2】

由(1)得AB户E三△ACE.：.4C=BF=6,/.BFE=LACB=△ABC^,根据勾股定理，^AC2+

BC2=AB2,即62+8。2=102,...8。=8.设后尸=。我=%，则BE=8C—CE=8一箱在Rt△BFE中,根

222

据勾股定理，^EF+BF=BE,即/+62=(8T)2,解得％=[..••BE=8—;=今

26.【答案】【小题1】

解：分别以8、C两点为圆心，大于1