2024北师大版八年级数学上册 第2章 实数 单元培优卷（含解析）

第2章实数单元培优卷

一.选择题（共10小题）

1.（2025春•林州市期中）下列计算中，正确的是（）

A.2V3x2V2=2V6B.（4>^）2=8

C.7（-2）2=-2D.旧+/=3

2.（2025春•志丹县期中）化简（V5-e）2。25（6+企）2024的结果为（）

A.V3+V2B.V3-V2C.1D.-1

3.（2025春•玳亭区校级期中）如图，数轴上点A表示的数为2,点B表示的数为3,以八月为边在

数轴上方作一个正方形A8CZ）,以8为圆心，为半径作圆与数轴交于EF两点（点E在点产

的左侧），若点E,尸表示的数分别是a,b,贝的值是（）

C.2V2-5D.5-3或

_____3

4.（2025春•狭亭区校级期中；在实数值；V3^；-；V9；4；2.101001000中，其中无理数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（2025春•沙市区期中）已知〃出〃=4,〃?〃=2,则册+源的值为（）

A.2声B.2C.V2D.1

6.（2025春•盐都区月考）已知p=Jq+2九+Jq—2m+2026（〃?,〃为两个连续奇数，（）<〃?〈〃,

q=mn）,则下列对〃的表述中正确的是（）

A.总是奇数

B.总是偶数

C.总是无理数

D.可能是有理数可能是无理数

7.（2025•房山区一模）实数a2,c,在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

-4-3-2-1012

A.b>-1B.h-c<0C.-ah>0D.a+c>0

8.（2025春•伊宁县期中）下列计算正确的是（）

A.y/2十73=\/5D.3x/2-0=3

C.V14XV7=7V2D.闻+相=V5

9.（2024秋•扬山县期末）已知1V〃?V2,则计算Y（m—一g-2|的正确结果是（）

A.-1B.1C.2ni-3D.3-2m

10.（2025春•喀什地区期中）已知V5到.732,则2x（V6+V3）（V6-V3）的值保留小数点

后两位是（）

A.6.93B.3.47C.3.46D.1.73

二.填空题（共5小题）

11.（2025•隆昌市校级一模）若m=门鬻则m3-3毋_2020^+2021的值是.

12.（2025春•潮南区期中）若立方根等于本身的数的个数为a,平方根等于本身的数的个数为b,

算术平方根等于本身的数的个数为c,则a+〃+c•的值为.

13.（2025春•开州区期中）已知〃、b、c在数轴卜的位置如图所示.则|。+〃+|/）-「|一

.

」」11A

a0bc

14.（2025春•渝北区校级期中）已知％=6+1,>-=V5-1,冲+>2=.

15.（2025春•滨海新区期中）81的平方根是；0石的算术平方根是；-27

的立方根是.

三.解答题（共8小题）

16.（2025春•涵江区期中）如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成

一个大的正方形纸片.

（1）求大正方形纸片的边长；

（2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3：1,

且面积为24cm2?若能，请求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由.

17.（2025春•西城区校级期中）已知"一。+26+|匕一3|二期且近』与碑口互为相反数，求

IOa+2力-c的平方根.

18.(2025春•翁牛特旗期中)计算:

(1)(V24-V2)-(V8+V6)；

(2)2712x^-^72；

(3)(5V48-6V27+4715)4-V3；

(4)(V6-V5)(V6+V5)4-(2V3-3V2)2.

19.(2025春•博兴县期中)某装修公司现有一块面积为64毋的正方形的木板，准备做装饰材料用，

设计师王师傅设计了如下两种方案：

方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60届的长方形装饰材料；

方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60小的长方形装饰材料，且长宽比为4：3.

王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由.

20.(2025春•根阳县期末)如图，数轴上点人，8表示的数分别是遮和2,点C表示的数为x.己

知点C在数轴的负半轴上，点B到点A的距离与点C到原点。的距离相等.

(1)请求出数x的值.

(2)化简：仅+2|・卜|.

01-732

21.(2025春•延边州期中)如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间/(单:立：s)与

钟摆的长度/(单位：机)之间满足，=2兀《，当钟摆的长度为0.4次时，摆动一个来回所用的时间

是多少秒？

(口取3.14,g取结果保留小数点后两位)

22.(2025春•盐城期中)如图，有一块矩形木板，木工王师傅采用如图所示的方式，在木板上截出

两个面积分别为1847和25dm2的正方形木板A,B.

(1)正方形木板4的边长为dm,木板B的边长为dm；

(2)求图中阴影部分的面积.

B

A

第2章实数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2025春•林州市期中）下列计算中，正确的是（）

A.275x2&=2遍B.（4V2）2=8

C.V（-2）2=-2D.9+夜=3

【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】。

【分析】根据二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简逐一进行计算即可判断.

【解答】解：4、2V3x2V2=4V6,故原选项计算错误，不符合题意；

B、（4鱼产=32,故原选项计算错误，不符合题意；

C、'*=2,故原选项计算错误，不符合题意；

。、V18-V2=372-72=3,故原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根

式的乘除法、二次根式的性质与化简.

2.（2025春・志丹县期中）化简（百一企）2。25（75+&）2。24的结果为（）

A.V3+V2B.V3-x/2C.1D.-1

【考点】二次根式的混合运算；哥的乘方与积的乘方；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】利用积的乘方变形原式为［（6-e）（6+&）］2。24乂（6-&），然后利用平方差公式

计算即可.

【解答】解：原式=（V3-&产。24X（V3+加/。24X（逐一企）

=［（V3-V2）（^+V2）］2024x（V3-V2）

=12024x（V5_&）

=V3—V2,

故选：B.

【点评】本题主要考杳了积的乘方的逆用、平方差公式、二次根式的混合运算，熟记运算法则、

正确计算是解题的关键.

3.（2025春•虢亭区校级期中）如图，数轴上点A表示的数为2,点〃表示的数为3,以A5为边在

数轴上方作一个正方形48CQ,以8为圆心，B。为半径作圆与数轴交于E,尸两点（点E在点产

的左侧），若点E,尸表示的数分别是a,b,则的值是（）

A.3-3A/2B.1-4V2C.2V2-5D.5-372

【考点】实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】B

【分析】由题意可得AB=BC=1,进而得到BO=&,从而可得a=3-8=3+a,再代入

计算即可.

【解答】解：由条件可知A8=l,

以AB为边在数轴上方作一个正方形ABCD,则AB=BC=\,

：.BD=A/2,

以B为圆心，3。为半径作圆与数轴交于E,r两点，

:.BE=BF=0,

若点、E,产表示的数分别是〃、b,

则Q=3-a，b=3+日

Aa-V2b=3->/2-V2x（3+V2）=3-V2-3&-2=1-4也

故选：B.

【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，二次根式的计算，得出点E，尸表示的数是

解题关键.

____3

4.（2025春•虢亭区校级期中）在实数W；凤；-：炳;4：2.101001000中，其中无理数有（）

7

A.（）个B.1个C.2个D.3个

【考点】无理数；算术平方根；立方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】B

【分析】初中范围内涉及到的无理数有二种：开方开不尽的数.如VL特定意义的数，如7T：特

定结构的数，如0.3030030003….先化简，再根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案.

【解答】解；根据无理数定义及无理数有三种形式可得；

____3

口=-2是整数，不是无理数；V5石是无理数；^是分数，不是无理数：

晒=3是整数，不是无理数；4是整数，不是无理数；2.IOIOO1（）（X）是小数，不是无理数；

即无理数有1个，

故选：B.

【点评】本题考查了无理数的概念，立方根和算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键.

5.（2025春•沙市区期中）已知〃什〃=4,〃?〃=2,则居+盘的值为（）

A.2V2B.2C.V2D.1

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】4

【分析】根据二次根式的运算法则进行化简,再将数值代入求出结果.

【解答】解：•・•〃】+〃=4,〃切=2,则

n>.

［百寸_、玩x、阮丫而x师

坊、口二师X而十而X师

_n+m

-Vmn,

Vm+n=4,mn=2,

:.原式=y==2\/2.

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算.

6.（2025春•盐都区月考）已知p=y/q+2n+—2m+2026（〃?，n为两个连续奇数，OV〃?V〃，

q=mn）,则下列对〃的表述中正确的是（）

A.总是奇数

B.总是偶数

C.总是无理数

D.可能是有理数可能是无理数

【考点】二次根式的加减法；实数.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】先得到〃=〃?+2,将其代入口=府两十左而+2026,结合完全平方公式进行化简

得到p二九十2.十加十2026,再由二次根式的性质化简求解.

【解答】解：由条件可知〃=〃?+2,

.*.p=ylm(m+2)+2(m+2)+yjm(m+2)-2m+2026

=y/(m+2)2+>Jm^+2026

=〃?+2+〃?+2026

=2m+2028,

由条件可知〃=2〃计2028为偶数，

故选：B.

【点评】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，掌握必=|。|是解题的关键.

7.(2025•房山区一模)实数a",c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()

I：।I?।I；i।.

-4-3-2-10I2

A.b>-IB.b-c<0C.-ab>0D.a+c>()

【考点】实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】C

【分析】根据实数在数轴上的表示进行化简整理判断即可.

【解答】解：由数轴可知：OVaVl,-4<c<-3,-2<b<-1,

A、b<-\,故选项说法错误，不符合题意；

B、故选项说法错误，不符合题意；

C、-ab>0,选项说法正确，符合题意；

。、a+c<0,选项说法错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数在数轴上的表示方法是关键.

8.(2025春♦伊宁县期中)下列计算正确的是()

A.V2+V3=V5B.3V2-V2=3

C.A/14xV7=7V2D.\/45-J-V5=V3

【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法.

【答案】C

【分析】根据二次根式的加减法法则、二次根式的乘除法法则分别计算判断即可.

【解答】解：A、企与百不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意：

B、3/2-夜=272,故此选项不符合题意；

C、>/14xV7=V98=7^,故此选项符合题意；

。、V45-V5=V9=3,故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了二次根式的加减法、二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

9.(2024秋•扬山县期末)已知1VMV2,则计算-1为一|m-2|的正确结果是()

A.-1B.1C.2m-3D.3-2m

【考点】二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据〃7的取值范围，判断〃7-2,〃L1的正负，进行化简，合并同类项，得出结果.

【解答】解：由条件可知5-2V0,〃[-1>(),

・,•原式=/%-1+(m-2)

=m-1+w-2

=2m-3.

故选：C.

【点评】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键.

10.(2025春•喀什地区期中)已知75*1.732,则2gx(V6+V3)(V6-V3)的值保留小数点

后两位是()

A.6.93B.3.47C.3.46D.1.73

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算乘法后得到对应式子的结果即可得到

答案.

【解答】解：原式=2x*x(6—3)

=2x^x3

=2V3,

VV3«1.732,

：・2⑰«3.46,

故选；c.

【点评】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握运算法则是关键.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•隆昌市校级一模）若m=I黑,,则苏-3―-2020^+2021的值是-1

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】-1.

（分析］先分母有理化得出m-1=12023,求出nr-2/w=2022»将原式变形为m（/n2-2m）

m2-2020m+2021再将m2-2m=2022代入求值即可.

20222022Q而石+1)

【解答】解：•・•6==\/2023+1,

v'2()23-l(^"2023-1)^/20234-1)

：.m-1=V2023,

:,(m-1)2=2023,

"2-2m+1=2023,

：,nr-2m=2022,

・・・〃?3-3"P-20206+2021

=m(m2-2/〃)-m2-2020/W+2021

=2022〃?--2020///+2021

--n^+2m+202\

=-(w2-2/n)+2021

=-2022+2021

=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是进行分母有理化.

12.（2025春•湖南区期中）若立方根等于本身的数的个数为a,平方根等于本身的数的个数为b,

算术平方根等于本身的数的个数为c,则a+0+c的值为6.

【考点】立方根；平方根；算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】6.

【分析】根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果.

【解答】解：由条件口J知a=3,b=l,c=2,

a+/?+c=3+1+2=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，

它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根.同时注意。和±1的特殊性.

13.(2025春•开州区期中)已知〃、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a++g-c|一=

2a+c.

।11A

a0b。

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】2a+c.

【分析】先根据数轴上小上。的位置确定〃+方>0,b-c<0,〃2>(),再根据绝对值的性质化简

即可.

【解答】解：由条件可知〃+。>0,b-c<0,a2>0,

原式=Ca+b)~(b-c}-(-£7)

=a+h-b+c+a

=2〃+c,

故答案为：2a+c.

【点评】本题主要考查绝对值的化简和去根号，关键是要能根据数轴上点的位置确定各式子的符

号.

14.(2025春•渝北区校级期中)已知x=V5+l,>*=V5-1,x2-x5H-y2=8.

【考点】二次根式的化简求值；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】8.

(分析］由题可得％-y=x/5+l-V5+l=2,xy=(V5+1)(V5-1)=4.利用x2-xy+y1=

(x-y)2+孙，将所求式变形后可解答.

【解答】解：••,》=y+1,y=V5—1,

Ax-y=V5+l—V5+l=2,xy=(V5+1)(V5—1)=4,

/.A-2-xy+)^=Cx-y)2+.xj'

=22+4

=4+4

=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答本题的关键是熟练掌握整体代入法

的使用.

15.（2025春•滨海新区期中）81的平方根是±9；0猿的算术平方根是2；・27的立方

根是・3.

【考点】立方根；平方根；算术平方根.

【答案】±9,2,-3.

【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可.

【解答】解：；（±9）2=81,22=4,（-3）3=-27,

，81的平方根是±9,V16=4的算术平方根是2,-27的立方根是-3.

故答案为：±9；2；-3.

【点评】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，注意求3%的算术平方根时，要先

求出VI石，即求4的算术平方根.

三.解答题（共8小题）

16.（2025春•涵江区期中）如图，把两个面积均为18“枯的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成

一个大的正方形纸片.

（1）求大正方形纸片的边长；

（2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3：1,

且面积为24cm2?若能，请求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由.

、、\-►「

【考点】算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】（1）6。〃；（2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由见解

析.

【分析】（I）由正方形的面积公式即可求解；

（2）设长方形纸片的长和宽分别是3Xcm,xcm,得到3六x=24,求出％的值,即可解决问题.

【解答】解：⑴由题意得：大正方形的面积=18X2=36°〃/,

・••大正方形纸片的边长后=6（cm）.

（2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：

•・•长方形纸片的长宽之比为3：1,

设长方形纸片的长和宽分别是3xcm,xcm,

，3x・x=24,

・・・»=8,

Vx>0,

:・xS

，长方形纸片的长是3x=6岳m,

V6V2>6,

・•・沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片.

【点评】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽.

17.(2025春•西城区校级期中)已知“一。+26+|匕-3|=0,旦衍七元与裔』互为相反数，求

10a+28-c的平方根.

【考点】立方根；非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】±8.

【分析】因为V-a+2b+|6-3|=0,根据绝对值和算术平方根的非负性，可得a=6,b=3,因

为VT而与互为相反数，求出c=2,然后代入求出代数式的值，求出平方根即可.

【解答】解：因为>/一。+25+|6-3|=0,

所以-a+2b=0,h-3=0,

所以。=6,b=3,

因为行行与我口互为相反数，

所以1-2c=3-3c,

c=2,

10a+2b-c

=10X6+2X3-2

=64,

±764=±8,

10a+2b-c的算术平方根是±8.

【点评】本题考查了立方根、非负数的性质：绝对值、平方根、非负数的性质：算术平方根，解

决本题的关键是求出。、b、c.

18.(2025春•翁牛特旗期中)计算：

(1)(V24-V2)-(V8+^)：

(2)2，12x京+，2

(3)(5V48-6V274-4715)4-V3：

(4)(V6-V5)(V6+V5)4-(2V3-3V2)2.

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)V6-3V2：

35/2

(2)；

2

(3)2+4后

(4)31-12V6.

【分析】(I)化简二次根式后运算即可；

(2)化简二次根式后运算即可；

(3)利用分配律运算后,再化简二次根式运算即可:

(4)利用平方差公式和完全平方公式运算即可.

【解答】解:(1)(V24-V2)-(V8+V6)

=2V6-V2--V6

=y/6—3\/2；

(2)2V12

=4氏孚

3&

~~

(3)(5V48-6V27+4V15)V3

=5V16-6V9+4V5

=20-18+475

=2+4V5；

(4)(V6-V5)(V6+75)4-(2V3-3或产

=(V6)2-(花/+[(2V3)2-(2x2百x3或)+(3>/2)2]

=6-5+12-1276+18

=31-12V6.

【点评】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式的混合运算，完全平方公式与平方差公

式，熟悉掌握运算法则是解题的关键.

19.(2025春•博兴县期中)某装修公司现有一块面枳为641的正方形的木板，准备做装饰材料用,

设计师王师傅设计了如下诙种方案；

方案一：沿着边的方向裁出一块面积为60届的长方形装饰材料；

方案二：沿着边的方向裁出一块面积为60届的长方形装饰材料，且长宽比为4：3.

王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由.

【考点】算术平方根.

【专题】实数；运算能力.

【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析.

【分析】先求出正方形的边长为8〃?，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可.

【解答】解:方案一可行.

•・•正方形木板的面积为64/，

正方形木板的边长为石5=8(771).

如图所示，沿着石尸裁剪，

・•・只要使8E=C尸=60+8=7.5(〃?)就满足条件；

方案二不可行.理由如下：

设所裁长方形装饰材料的长为4x〃?、宽为3xm,

贝ij4x・3%=60,即⑵2=60,

解得“=而(负值已舍去)，

・•・所裁长方形的长为4代m,

V4A/5>8,

・••所裁长方形的长大于正方形的边长，

・••方案二不可行.

【点评】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小.正确记忆相关

知识点是解题关犍.

20.(2025春•根阳县期末)如图，数轴上点4,4表示的数分别是百和2,点C表示的数为工.已

知点C在数轴的负半轴上，点B到点4的距离与点C到原点O的距离相等.

(1)请求出数x的俏.

(2)化简:k+21-M.

coAB

0Ix/32

【考点】实数与数轴.

【专题】实数；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】（I）根据0C=八用利用数轴上两点间的距离公式列出关于x的方程，即可求得x的值；

（2）根据（1）中x的值代入计算即可.

【解答】解：（1）•・•点八，8表示的数分别是6和2,点C表示的数为r已知点C在数轴的负

半轴上，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，则：

=2-V3,

由已知得CO=AB=2一遍,

•・•点C在数轴的负半轴上，