2024北师大版八年级数学上册《平行线的证明》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第七章3平行线的证明教案

第।课时平行线的判定

新课导入设计

【情境导入】

暑假的一个晚上，小华和爸爸吃完饭到马路边乘凉•爸爸突然问了小华一个问题：“小

华，你看路边的路灯，都笔直地站着，你知道它们之间是4么位置关系吗？”小华想了想，

就说出了答案，并且用不同的道理问答了爸爸的问题.你知道小华是怎么回答的吗？

教学设计

课题第1课时平行线的判定授课人

1.了解证明的基本步骤和书写格式.

2♦从用三角尺和直尺画平行线的活动过

程中发现“同位角相等，两直线平行”，

并会根据这个基本事实来证明“内错角

相等，两直线平行”和“同旁内角互补，

素养目标两直线平行”.

3•掌握平行线的判定方法，会判定两直

线平行，会简单的推理与表述.

4•经历证明的基本步骤，熟悉正确的书

写格式，感受几何中推理的严谨性，发

展初步的演绎推理能力.

理解和掌握由“同位角相等，两直线平

行”来证明“内错角相等，两直线平

教学重占

行''及"同旁内角互补，两直线平行”，

并进行简单应用.

教学难点对公理和定理的理解和应用.

授课类型新授课课时

教学活动

第1页共21页

教学步骤师生活动设计意图

1•对顶角____________.

2•同角（等角）的余角

，同角（等角）的

补角________.

3.平行线的判定：

通过回顾旧知为学生学习新

回顾（1）____________相等，两直

知做准备.

线平行；（2）____________相

等，两直线平行；

（3）____________互补，两直

线平行；（4）平行于同一条直

线的两条直线____________.

【课堂引入】

上节课我们谈到了要证明一

个命题是真命题.除公理、定

义外，其他真命题都需要通过

推理的方法证明.

我们知道；“在同一平面内，

不相交的两条直线叫作平行回顾命题的几种形式，顺利引

活动一：创设情境、导入新课

线”是定义.“两条直线被第出本节课课题.

三条直线所截，如果同位角相

等，那么这两条直线平行”是

公理.那其他的三个真命题如

何证明呢？这节课我们就来

探讨第三节：平行线的判定.

【探究新知】

活动二：实践探究、交流新知1•证明：内错角相等，两直

线平行

第2页共21页

师：小明用如图所示的方法作

出了两条平行线，你认为他的

作法对吗？为什么？

续表

教学步骤师生活动设计意图

生：我认为他的作法

对.他的作法可用下图来表

示：ZCFE=45°，ZBEF=

45°.因为NGFD与NCFE是

对顶角，所以NGFD=NCFE

=NFEB.因为/GFD与1.通过对学生熬悉的平行线

ZFEB是同位角，所以判定定理的证明，使学生掌握

CD〃AB.由平行线判定的基本事实推

导出的另一个判定定理，并逐

口-------0

步掌握规范的推理格式.

活动二：实践探究、交流新知2•让学生经历利用层本事实

来证明命题是其命题的过程，

师：很好.从图中可知：Z

CFE与NFEB是内错角.因并能够结合图形正确地用数

此可知”内错角相等，两直线学符号表示证明的过程.同时

平行”是真命题.下面我们来在证明过程中，培养学生初步

用规范的语言书写这个真命的演绎推理能力.

题的证明过程.

师生分析：如图，Z1和N2

是直线a，b被直线c截出的

内错角，且N1=N2.求证：

a/7b.

第3页共21页

Z3=180°，所以N3=18O°

一N2.又因为已知条件中有

Z2与N1互补，即N2+N1

=180°.所以Nl=180°-

N2，因此由等量代换可以知

道N1=N3.

证明：・・・/1与N2互补（已

知），

・・・N1+N2=18O°（互补的

定义）.

AZI=180°-N2（等式的

性质）.

•・・N3+N2=180°（平角的

定义），

AZ3=180°-N2（等式的

性质）.

・・・N1=N3（等量代换）.

・・.a〃b（同位角相等，两直线

平行）.

这样我们就得到了两直线平

行的另一个判定定理.

这一定理可简单地写成：同旁

内角互补，两直线平行.

注意：（1）己给的基本事实、

定义和已经证明的定理以后

都可以作为依据，用来证明命

题.（2）证明中的每一步准理

都要有根据，不能“想当

然”.这些根据，可以是三知

第5页共21页

条件，也可以是定义、基本事

实、已经学过的定理.在初学

证明时，要求把根据写在每一

步推理后面的括号内.

续表

教学步骤师生活司设计意图

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1请运用内错角相等，两

直线平行这个定理完成以下证明：

已知：如图，N1=N2，巨BD平

分NABC.求证：AB〃CD.

/y

AB

证明：平分

・.・BDNABC，1.通过典型例题进一步让学生巩

・•・ZABD=N2（角平分线的定固新知，发展学生初步的演绎推理

义）.能力.

VZ1=Z2，2•通过变式训练加强学生对平行

・・・NABD=N1（等量代换）.线的判定的综合运用能力.

，AB〃CD（内错角相等，两直线

平行）.

例2请运用同旁内角互补，两

直线平行这个定理完成以下证明：

已知：如图，AD是一条直线，N

1=65°，N2=115°.求证:

BEZ/CF.

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第7页共21页

证明：(1)・・・AEJLCE，

・・・NAEC=90°.

・・・N2++3=90°且/1++4=

90°.

XVEC平分/DEF，

r.Z3=Z4.

Z1=N2.

AEA平分NBEF.

(2)VZ1=ZA，Z4=ZC，

.*.Z1+ZA+Z4+ZC=2(Z1

+N4)=180°.

・•・/R+/D=(1X。。-2/1)+

(180°—2/4)=360°—2(N1+

Z4)=180°.

・・・AB〃CD.

师生活动：学生分小组讨论后派学

生代表进行演板，教师做最后讲

解，并进一步规范证明过程.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.如图5直线a，b与直线c加深学生对所学知识的理解

相交，形成N1，/2，…，/运用，在问题的选择上以基础

8共八个角，填上适当的一个为主，引导学生灵活运用所学

第8页共21页

条件：答案不唯一，如：/I知识解决问题，并也固新知.

=N5或N4=N5或N3+

N5=180°，使a〃b.

尹£

/

2.如图，直线AB，CD与直

线EF分别相交于点M和N，

MP平分/AMF，NQ平分

ZEND，NAME=NDNF,求

证：MP〃NQ.

/N口

F

证明:VZAME=ZDNF»

ZAME+ZAMN=NDNF+

ZDNM=180°，

，NAMN=NDNM.

又「MP平分NAMF，NQ平

分NEND，

AZPMN=|ZAMN，Z

QNM=；NDNM.

.\ZPMN=ZQNM,

・・・MP〃NQ.

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

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1.课堂小结：

(1)本节课主要学习了哪些定

引导学生在反思中整理知识、

理？都是如何证明的？

梳理思维，获得成功的体验，

课堂小结(2)本节课还有哪些疑惑请

积累学习的经验，养成系统整

同学们说一说.

理所学知识的习惯.

2•布置作业：

教材第191页随堂练习.

第1课时平行线的判定

两直线平行的判定定理：

板书设计1•判定定理的证明.提纲挈领，重点突出.

2■判定定理的应用格式.

重点讲解采用多种方式，

学生初步掌握判定方法，但复

杂图形中角的识别训练不足；

教学反思难点推导中，学生对直观到逻反思，更进一步提升.

辑的过渡理解困难，推理证明

规范训练欠缺.

第10页共21页

第2课时平行线的性质

新课导入设计

_50^2：：〉〃

ZZZZZZZZZ^ZZZZZZ]

【情境导入】

看模型如图，将木条a，c成50°角固定在一起，转动b.可以看到，当b转动到不同位

置时，Na的大小也随着变化.当Na从小变大时，直线b便从原来在右边与直线a相交变

到在左边与直线c相交.在这个过程中，存在一个与a穴相交，即与a平行的位置.那么当

a〃b时，Na为多大呢？为什么？

教学设计

课题第2课时平行线的性质授课人

1.会根据“两直线平行，同位帝相等”证

明“两直线平行，内错角相等”和“两

直线平行，同旁内角互补”，并能简单

地应用这些结论.

素养目标

2•通过对平行线的性质的探究，把握几

何分析的方法，培养合作探究的学习态

度，体会互逆的思维过程和其在几何中

的应用价值.

教学重点理解和简单应用本节课中的三个定理.

运用公理、定理进行简单的推理，以及

教学难点

用几何语言进行表达.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

回顾1.要证明两条直线平行，有哪通过回顾旧知为学生学习新

第11页共21页

些方法？课做准备.

2•平行线的性质有哪些？

【课堂引入】

为了实施南水北调工程，国家

决定实施“引长江水进城

市”工程.在修建某引水渠

时，遇上A，B两地之间的一

座大山，经勘探表明，引水渠通过创设现实情境，让学生体

若从山中穿过，既安全又节省会到数学来源于生活，培养学

开支，于是决定开山引流，在生良好的教学应用意识，训练

A地沿北偏东66°28,的方向学生独立思考、分析和推理表

活动一：创设情境、导入新课

开凿，如图.如果A，B两地达的能力，同时将问题名化为

同时施工，那么B地按南偏已知两条直线平行，确定内错

西多少度施工，才能使引水渠角之间的关系问题，从而引出

在山脉中呈直线准确接通？本节课的课题.

学习了本节课以后，我们就可

以快速使问题得以解决了.

.匕

B

A

南

【探究新知】

1•利用“两直线平行，同位

角相等”这一定理证明“两

1.通过对平行线的性质定理

条平行线被第三条直线所截，

与判定定理进行比较，进而建

活动二：实践探究、交流新知内错角相等”.

立二者之间的联系，让学生初

已知：如图，直线a〃b，Z1

步感受互逆的思考过程.

和N2是直线a，b被直线c

截出的内错角.

第12页共21页

续表

教学步骤师生活动设计意图

求证：Z1=Z2.

工

证明：・・・a〃b（已知），

••・/1=/3（两直线平行，同

位角相等）.

•••/2=/3（对顶角相等），

・・・N1=N2（等量代换）.

师生活动：在两直线平行，同

位角相等的基础上，通过学生

的观察、分析、讨论，此时学

2.让学生进一步理解证明的

生已能够进行推理，在这里教

活动二：实践探究、交流新知步骤、格式和方法，发展学生

师不必包办代替，应充分调动

的演绎推理能力.

学生的主动性和积极竹:•，让学

生自主讨论并作答.

2•利用相关定理和所得定理，

证明“两条平行线被第三条

直线所截，同旁内角互补”.

已知：如图，直线a〃b，Z1

和22是直线a，b被直线c

截出的同旁内角.求证：ZI

+/2=180°.

第13页共21页

证明：•；a〃b（已知）»

・・・N3=N2（两直线平行，内

错角相等）.

•・・N1+N3=18O°（平角的

定义），

・・・N1+N2=18O0（等量代

换）.

师生活动：学生独立完成，把

理由写成推理格式.对于学习

困难一点的同学允许他们相

互之间讨论后，再试着在练习

本卜写出解题过程.教师对学

生中出现的不同解法给予肯

定和鼓励.

总结：证明文字叙述类命题的

一般步骤：

第一步：先根据命题的条件即

已知事项，画出图形，再把命

题的结论即求证的内容在图

上标出符号，还要根据证明的

需要在图上标出必要的字母

或符号，以便于叙述或推理过

程的表达.

第二步：根据条件、结论，结

合图形，写出已知、求证.

把命题的条件化为几何符号

语言写在已知中，命题的结论

转化为几何符号语言写在求

证中.

第14页共21页

第三步：经过分析，找出由已

知推出求证的途径，写出证明

过程.

问题：平行线的性质定理与判

定定理在条件和结论方面有

什么关系？

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1已知：如图，AD

是NBAC的平分线，点E在

BC上，点F在CA的延长线

上，EF〃AD，EF交AB于点1.通过典型例题的学习，使学

G.生对证明的认识有了更高的

求证：ZAGF=ZF.提升，让学生更加深刻地认识

请你根据已知条件补充推理到数学的严谨性与证明的必

过程，并在相应括号内注明理要性，做到每一步都有根有

山.据.

REDC

续表

教学步骤师生活动设计意图

证明：:AD是/BAC的

平分线（已知），

2.变式训练能够提高学生对

活动三：开放训练、体现应用:.ZBAD=NCAD（角平分线

所学知识的综合运用能力.

的定义）.

•・・EF〃AD（已知），

第15页共21页

•••ZAGF=NBAD（两直线平

行，内错角相等），

ZF=NCAD（两直线平行，同

位角相等）.

・・・NAGF=NF（等量代换）.

例2（教材第193页例）已知:

如图，b〃a，c〃a»Z1»Z2»

Z3是直线a，b，c被直线d

截出的同位角.求证：b〃c.

证明：•.•b〃a（已知），

，N2=N1（两直线平行，同

位角相等）.

•；c〃a（已知），

•••N3=N1（两直线平行，同

位角相等）.

・・・N2=N3（等量代换）.

・・・b〃c（同位角相等，两直线

平行）.

伊J3如图，已知AB_LBF，

CD_LBF，N1=N2.求证：Z3

=NE.

第16页共21页

证明:VAB1BFCD_LBF（已

知），

••・NABD=NCDF=90°（垂

宜的定义）.

・・・AB〃CD（同位角相等，两直

线平行）.

•・・N1=N2（已知），

・・・AB〃EF（内错角相等，两直

线平行）.

・・・CD〃EF（平行于同一条直

线的两条直线平行）.

••・/3=/E（两自线平行，同

位角相等）.

【变式训练】

1•如图，将长方形ABCD沿

GH折叠枚点C落在点Q处，

点D落在边AB上的点E

处.若NAGE=36°•则

ZGHC=108°.

=180°，/3=NB，试判断

NAED与NC的大小关系，

第17页共21页

解：ZAED=ZC.

理由：・・・/1+/2=180°（已

知），

N1=NDFH（对顶角相等），

/.Z24-ZDFH=180°.

・・・EH〃AB（同旁内角互补，两

直线平行）.

，N3=NADE（两直线平行，

内错角相等）.

VZ3=ZB，

・・・/B=NADE（等量代换）.

:.DEZ/RC.

・・・NAED=NC（两直线平行，

同位角相等）.

师生活动：学生独立思考，分

小组讨论后进行解答，教师对

于学习有困难的学生及时指

导和帮助.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

L如图所示，直线AB，CD相通过设置当堂检测，及时获知

交于点E，DF〃AB.若NAEC学生对所学知识的掌握情况，

=100°，则/D=（B）明确哪些学生需要在课后加

第18页共21页

4强辅导，达到全面提高的目

的.

DF

A•70°

B-80。

C-90°

D-100°

2•如图，已知AB/7DE，ZB

=60"，且CM平分NDCB，

CM1CN，垂足为C，求

ZNCE的度数.

.1B

「

DC.F.

解：・；AB〃DE，NB=60°，