2024北师大版八年级数学上册《一次函数》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第四章一次函数教案

本章教材分析

一、本章相关内容分析

（一）单元地位与作用

1.承上：衔接已学知识，深化数学理解

与代数知识的衔接：一次函数是在学生学习了有理数、整式、一元一次方程、二元一次

方程组、一元一次不等式等代数知识后的延伸。它将“数”的运算与“量”的变化结合，使

学生从“静态的等量关系”（方程）过渡到“动态的变化关系”（函数），是对代数知识的综合

应用与深化。

与几何知识的关联：一次函数的图象是一条直线，涉及点的坐标、直线的位置关系等，

是“数形结合”思想的重要载体。它将代数表达式与几何图形直接关联，为后续学习匚何中

的坐标法、函数与几何综合问题奠定基础。

2.启下：奠定函数体系与高中数学基础

构建函数知识框架：一次函数是初中阶段学习的第一个具体函数，学生通过它首次系统

接触“变量”“对应关系”“图象与性质”“实际应用”等函数核心要素，形成对函数概念的初

步认知。这为后续学习反比例函数、二次函数等打下方法论基础（如通过图象研究性质、用

待定系数法求表达式等）。

衔接高中数学内容：一次函数的斜率（k）本质是函数的平均变化率，其单调性、图象特

征等是高中阶段学习“函数的单调性”“导数的几何意义”“线性函数”等内容的雏形，对学

生从初中到高中的数学思维过渡具有重要铺垫作用。（二）知识结构

一次函数作为描述现实世界中线性变化关系的基本模型，在经济、科技、口常生活中应

用广泛（如匀速运动、线性增长的成本与利润、阶梯收费等）。学习这一单元能让学生感受到

数学与生活的密切联系，增强用数学解决实际问题的意识与能力。一次函数的表达式与图象

相互转化（如由表达式画图象、由图象分析表达式中参数的意义），是培养学生''以形助数、

以数解形”思维的典型素材，有助于提升几何直观与代数推理能力。一次函数广泛应用于实

际问题（如行程问题、利涧问题、方案优化等），学生通过建立函数模型解决实际问题，能体

会数学的实用性，培养从实际问题中抽象数学关系的建模能力。从具体实例中抽象出一次函

数的概念，通过图象观察归纳k、b对函数性质的影响，推理一次函数与方程、不等式的关系

等，能有效发展学生的抽象思维与逻辑推理能力。

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（四）教学建议

（-）立足单元整体，把握核心脉络

1.明确单元地位

本单元是函数学习的起始，承接七年级的代数式、方程知识，为后续反比例函数、二次

函数及高中函数学习奠定基础。核心是让学生理解“两个变量之间的对应关系”，掌握一次函

数的表达式、图像、性质及应用。

2.梳理知识逻辑

单元知识可分为三个层次：

概念建立：从实际问题中抽象出变量、函数的概念，理解一次函数（含正比例函数）的

定义；

数形结合：探究一次函数的图像（直线）与表达式中系数（k、b）的关系，掌握性质；

应用拓展：利用一次函数解决实际问颍（如行程、利润、方案诜择等），体会数学建模思

想。

（二）注重概念生成，从具体到抽象

1.情境驱动，感知变量关系

从学生熟悉的实例入手（如“汽车行驶的路程与时间”“电费与用电量”“弹簧长度与所

挂物体质量”），让学生观察变量之间的“依赖关系”，通过列表、画图、列式等方式描述关系，

初步感知“一个变量随另一个变量的变化而变化”，为函数概念的引入铺垫“

2.精准定义，辨析核心要素

函数概念的核心是“单值对应”：强调对于自变量的每一个确定值，因变量有唯一确定的

值与之对应，可通过反例（如“一个x对应两个y”的关系）加深理解；

一次函数的定义：结合表达式y=kx+b（kWO）,强调“kWO”的必要性（若k=0,则为常

数函数，非一次函数），并明确正比例函数是b=0时的特殊情况，通过对比辨析二者关系。

（三）强化数形结合，突破图像与性质难点

1.动手操作，探究图像特征

让学生经历“列表一描点一连线”的过程，自主画出正比例函数和一次函数的图像，发

现“一次函数图像是一条直线”，且正比例函数图像过原点；

通过对比不同k值（正、负、绝对值大小）和b值（正、负、零）的图像，引导学生总

结规律：

k决定直线的倾斜方向和陡峭程度（k〉0时上升，时下降；|k越大，直线越陡）：

第2页共86页

b决定直线与y轴的交点（（0,b）,b>（）时交y轴正半轴，b<0时交负半轴）。

2.数形互洋，深化性质理解

从“形”到“数”：给出直线图像，让学生判断k、b的符号，或根据图像变化趋势（上

升/下降）判断函数值随自变量的增减性：

从“数”到“形”：根据表达式y=kx+b,快速确定图像的大致位置（如y=-2x+3的图像

过第一、二、四象限），培养空间想象能力。

四、突出应用建模，联系实际问题

1.分步拆解，降低建模难度

实际问题往往涉及多个量，教学中可引导学生：

第•步：确定问题中的自变量和因变量（如“利润与销售量”中，销售量为自变量，利

润为因变量）；

第二步：根据数后关系列出函数表送•式（如利润=单价X销华景-成本）：

第三步：结合函数性质解决问题（如求最大利润、确定取值范围等）。

2.典型问题，强化应用意识

行程问题：利用一次函数图像表示路程与时间的关系，分析相遇、追及等情境；

方案选择问题：通过建立不同方案的函数表达式，对比图像或计算交点，选择最优方案

（如“两种通讯套餐的费用对比”）：

跨学科问题：结合物理（如匀速直线运动、欧姆定律）、经济等领域的实例，体现函数的

工具性。

1函数

新课导入设计

【复习导入】

活动内容：我们生活在•个变化的世界中，很多东西都在悄悄地发生着变化.我们在七

年级已经学习了变量及自变量和因变量你还记得它们的概念吗？让我们一起来【可顾一下吧!

课件展示：

在一个变化过程中可以取不同数值的量叫作变量；如果一个量随着另外一个量的变化而

变化，那么把这个量叫作因变量，另一个量叫作且变量；在一个变化过程中数值始终不变的

量叫作常量.

函数是刻画变量之间关系的常用模型，了解变量之间的关系可以帮助我们更好地认识世

第3页共86页

界，服务于我们的生活.因此，让我们一起走进函数的天地吧!

教学设计

课题1函数授课人

1.了解函数产生的背景和函数的概念，能

判断两个变量间的关系是否可看成函

数.

素养目标

2•会用函数的观点认识现实世界.

3♦会建立函数模型来解决生活实际中的

问题.

1.掌握函数的概念.

2•判断两个变量之间的关系是否可看成

教学重点

函数.

3•能把实际问题抽象概括为函数.

1.理解函数的概念.

教学难点

2•能把实际问题抽象概括为函数问题.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

因变量和自变量的概念是什学生回忆并回答，为本课的学

回顾

么？习提供知识基础.

【课堂引入】

用课件显示游乐园里摩天轮

游戏场景，让学生想一想：如

通过生活中游乐园里摩天轮

活动一：创设情境、导入新课果你坐在摩天轮上，随着时间

游戏场景，引入新课.

的变化，你离开地面的高度是

如何变化的？

学生思考分析后举手回答.

第4页共86页

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】

1■由【课堂引入】中的问题，

课件显示教材第75页图4—1

及图下表格，要求学生完成表

格.让学生观察图形，分组讨

论完成.

提出问题：对于给定的时间t，

相应的高度h确定吗？

师生活动：学生讨论后给予肯

定的答复.引导学生分析这个

问题中的两个变量.

2•课件显示教材第75页“操学生通过分析探究活动中例

作•思考”第1题，提出问题：子的共同特点，用自己的语言

活动二：实践探究、交流新知

这个问题中的变量有几个？概括函数的概1念，加深对函数

分别是什么？概念本质特征的理解.

师生活动：让学生讨论后答出

变量有2个，分别是层数与物

体总数.

引导学生得出：只要给定层

数，就能求出物体总数.

3•课件显示教材笫76页“操

作•思考”第2题，要求学生

直接计算并回答.

师生活动：让学生第(1)向直

接回答出结果，第⑵问小组

讨论得出答案.引导学生比较

第5页共86页

以上三个问题的异同点.

总结：指出以上三个问题分别

用图象、表格和关系式的形式

表达了生活化的场景，并给出

函数的定义.

说明：表格、关系式、图象是

函数的三种表示方式.

想一想：上述问题中，自变量

能取哪些值？(指出要根据实

际问题确定自变量的取值范

围.)

让学生思考后问答.

【典型例题】

活动三：开放训练,体现应用

例蛇的体温随夕卜部环

阴；温度的变化而变化.一F图表

力六一条蛇在两昼夜之恬］的体

温变化情况.

体温c

・・)・・4・..卜・4・.：一•卜・+・・4・.・1・4一%・

41•T…<…)?卜y…卜fT…少+^j..1

39

37

35■•・・・・・•・・•・・・•♦・・・•・・・••・・・•・・•・・••・・

V

O4812162024^3236404448肘间生

(1)第一天，蛇的体温的变化

范围是什么？它的体温从最

低上升到最高需要多长时

间？

(2)若用x(Zt)表示时间，y(C)

表示蛇的体温，将相应数据填

第6页共86页

入下表：

4122028324048

35393935374036

(3)y是x的函数吗？并说

说你的理由.

解：(1)观察图象可得，第一

天，蛇的体温的变化范围是

35〜40℃，它的体温从最低

上升到最高需要16-4=

12(/0.

(3)y是x的函数.理由如下；

因为对于X的每一个确定的

值V都有唯一的值与其对应，

所以y是x的函数.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【变式训练】

一水池的容积是90小，现蓄

水10旭3,用水管以5机加的

速度向水池注水，直到注满为

止.

让学生对函数的概,念进行应

活动三：开放训练、体现应用(1)写出蓄水量V(/%3)与注水

用，促进学生巩固知识.

时间t(/i)之间的表达式.

(2)当t=10%时，丫是多少？

(3)要注满水池容积80%的水，

需要多少小时？

解：(l)V=10+5t(0WtW16).

第7页共86页

(2)当t=10万时，V=10+50

=60(/n3).

(3)由题意，得

10+51=90X80%，

解得t=12.4.

答：要注满水池容枳80%的

水，需要12.4h.

师生活动：给予学生一定的时

间去思考，充分讨论，争取让

学牛自己得到正确答案，并对

学习有困难的学生适当引导、

点拨.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.小明骑自行车上学，开始以

正常速度匀速行驶，但行至中

途自行车出了故障，只好停下

来修车，车修好后，因怕耽误

上课，他比修车前加快了骑车

速度匀速行驶.下面是行驶路

程S(米)关于时间1(分)的函数

图象，那么符合小明行驶情况

的图象大致是(8)

第8页共86页

。J,分O2，分

AB

。〃分。〃分

CD

2.在函数y—x1i中，自变

量X的取值范围是正1.

3•根据图中的程序，当输入

x=2时，输出结果y=2.

•j=x+4(xWl)—1

1海zl

一•产一xX(.o1)——1

续表

教学步骤师生活动设计意图

4.一名老师带领x名学生到动

物园参观，已知成人票每张

30元，学生票每张10元，设

门票的总费用为y元，则y与

x的函数表达式为y=30+

10x.针对本课时的主要问题，分层

活动四：课堂检测5•某地区现有果树24000棵，次进行检测，达到学有所成、

计划今后每年栽果树3()00了解课堂学习效果的目的.

棵.

(1)试写出果树棵数y与年数x

之间的函数表达式；

(2)求当x=5时，y的值.

解：(l)y=24000+3OOOx.

第9页共86页

(2)39()(X).

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

L课堂小结：

⑴你在本节课中有哪些收

获？哪些进步？

(2)学习本节课后，还存在哪小结环节的设直能够让学生

课堂小结些困惑？养成自主归纳课堂重点的习

2♦布置作业：惯，提高学生的学习能力.

教材第77页随堂练习，第

77〜78页习题4.1笫1，2，3，

4题.

1函数

1.函数的概念.

板书设计提纲挈领，重点突出.

2­函数的表示方法.

3-自变量的取值范围.

第10页共86页

课堂导入引用了具体生

活实例，让学生感受到变量之

间的关系是通过多种形式表

教学反思现出来的，感受研究函数的必反思，更进一步提升.

要性，通过生活实例，激发学

生的研究热情.

第11页共86页

2认识一次函数

第1课时认识生活中的“均匀”变化的现象

新课导入设计

【情境导入】

为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1，，而测量一次香可燃

烧部分的长度，数据如下：

燃烧时间t/min12345•••

香可燃烧部分的长度22.421.921.420.920.4•••

(1)根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t，1)对应的点.

(2)估计燃烧10〃?％后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由.

(3)估计这根香可.燃烧的时间，并说明理由.

(4)试写出这根香可燃烧部分的尺度1与燃烧时间t之间的关系式.

教学设计

第1课时认识生活中的“均匀”变化

课题授课人

的现象

1.能识别生活中“均匀”变化的现象.

2•描述具体是如何“均匀”变化，并写

素养目标出关系式.

3•会用数学知识表达生活中的“均匀”

变化的现象.

教学重点根据“均匀”变化现象写出关系式.

教学难点建立数学模型解决实际问题.

授课类型新授课课时

教学设计

教学步骤师生活动设计意图

回顾1.在函数关系中，一个量随着学生回忆并回答，温故知新.

第12页共86页

另一个量的变化均匀吗？

2，函数有哪些表达方式？

【课堂引入】

一个滴漏的水龙头一年的漏

为了激发学生的兴趣，采用生

水量大约有多少？够一个人

活中熟悉的情境，让学生感受

活动一：创设情境、导入新课一年使用吗？先猜一猜，再设

到生活中的教学，又能引出新

计一个方案具体估算一下，并

知识.

与同伴进行交流.

续表

教学步骤师生活司设计意图

【探究新知】

(1)将水龙头拧到适当位置，造成

滴漏现象，在水龙头下方放一个量

杯.每隔1，记录一下量杯中

的水量，并将数据填入下表.在坐

活动二：实践探究、交洸新知

标纸上描出(1，V)对应的点.你认

为漏水量的变化具有什么规律？

请你估计:这个水龙头一天的漏水

量是多少？

时间t/rnin2345678910•••

j水量NhnL

(2)下表是小明通过实验得到

的数据.请你根据小明得到的数

据，在坐标纸上描出(t，V)对应的

点，并据此估计：小明实验用的这

个水龙头一天的漏水量有多少？

第13页共86页

一年呢？够一个人一年使用吗？

12345678910•••

.511.()16.522.027.533.()38.544.049.555.()•••

(3)分析小明的实验数据，你

能帮他写出漏水量V与时间t之间

的关系式吗？

(4)你的实验结果与小明的实验结

果有何异同？

学生活动：学生思考，讨论并回答

上述问题.

进一步探究：

学生分享各组的实验数据和结果，

并交流以下问题：

(1)比较各组的实验数据与结果，

有什么共同之处，又有什么不同之

处？

(2)引起各组数据不一致的因素有

哪些？这些因素的差别对表格、图

象和关系式的影响分别体现在哪

些方面？

(3)假如水龙头漏水严重一些，表

格、图象和关系式可能会发生什么

变化？

根据小明的实验数据，教师引导学

生作出总结:时间每增加1加加，

第14页共86页

漏水量增加5.5〃也.也就是说，随

着时间的增加，水龙头漏水量在

“均匀”地增加.

通过具体的实脸操作，把整个探索

所谓“均匀变化”是指：一个变量过程交给学生完成，教师只作为一

增加固定的数值时，另一个变量的个协助者，让学生思考、讨论，从

改变量是相同的.而感受什么是“均匀”变化，以及

均匀变化用表格、图象、关系式分

别怎么体现.

活动三：开放训练、体现应用【典型例题】

例一蓄水池中装有40加水，按

一定的速度放水，水池里的水量

y(〃，)与放水时间1(加〃)满足如下

关系：

放水H(■间t/min1231•♦•

水池中E勺水量y/m33836342•♦•

(1)在平面直角坐标系中描出(t，y)

对应的点.

(2)估计8min后水池内的水量，并

说明理由.

(3)试着写出水池里的水量y与放

水时间t之间的关系式.

(4)估计多长时间水池中的水全部

放完.

解：⑴图略.

(2)由表中数据可知，时间每增加1

min»水池中的水量减少2m3»所

以8min后水池内的水量为24m3.

(3)y与t之间的关系式为y=40—

第15页共86页

2t.

(4)20min.

续表

教学步骤师生活幻设计意图

【变式训练】

一个水库的水位在最近5。内持续

上涨.下表记录了这5人内6个时

活动三：开放训练、体现应用

间点的水位高度，其中1表示时间，

y表示水位高度.

vh012345

y/in33.33.63.94.24.5

(1)在平面直角坐标系中描出表中

数据对应的点，由此你能发现水位

变化有什么规律吗？

(2)据估计这种上涨规律还会持续

2〃，预测再过2h水位高度将达到

多少米.

(3)试写出水位高度y与时间1之间

的关系式.

解：(1)在平面直角坐标系中描出

表中数据对应的点，如图.

•••1

:::♦

!

….mi

iiii.

O2345/

由此可知，这些点在同一条直线

第16页共86页

上.

水位变化的规律：每经过1〃，水

位上涨0.3m.

(2)若这种上涨规律还会持续2h，

则t=7，

当t=7时，y=0.3X7+3=5.1，

，再过2力水位高度将达到5.1m.

(3)水位高度y与时间1之间的关系

式为y=0.3t+3.

师生活动：学生独立思考，举手回通过例题和变式训练，让学生巩固

答，师生交流心得和方法.知识，加强对“均匀”变化现象的

理解.

活动四：课堂检测【课堂检测】

1.下列变化过程属于均匀变化的

是(C)

A.春天到了，竹笋的生长过程

B.百米赛跑时，运动员从起点到终

点的速度随时间的变化

C.车辆以恒定的速度从甲地行驶

到乙地时，油箱中剩余油量的变化

第17页共86页

D体育课上，投掷出的铅球飞行高

度的变化

2.某科研小组在网上获取了声音

在空气中传播的速度与空气温度

关系的一些数据如下：

温度T/t-20-100102030

声速v/(m,s~)318324330336342348

根据表格所得到的信息，下列说法

正确的是(C)

A.声速v不是温度T的函数

注温度越低，声速越快

C当温度每升高10℃时，声速增

加6mis

D声速v与温度T之间的关系式

为T=0.6v

续表

教学步骤师生活动设计意图

3•一蓄水池中最多可以容纳

40清水,配有两根相同的进

水管道，设水池中的水量为

活动四：课堂检测y(m3)，进水时间为x(〃”〃)，若

打开一根进水管道进水，则它

们的变化情况如下表：

进水时间〉/min123z5•••

水池中的水:ry/m31.534.5£a•••

回答下列问题:

第18页共86页

(1)当X每增加1，y增加的值

为/，表格中a=Zl.

(2)在如图所示的平面直角坐

标系中描出(x，y)对应的点，

并写出此时y与x之间的关系

式.

(3)若同时打开两根进水管，

请在平面直角坐标系中描出

此时(x，y)对应的点，并写出

此时y与x之间的关系式.

(4)观察发现，打开一根进水

管与同时打开两根进水管，对

于图象有什么影响？

•••••,

：!：:f：：：

e1•i>aa>

(iaiaaaa

1：2345678.v

4津(2)y=1.5x.

(3)y=3x.

(4)同时打开两根进水管时，

图象更陡一些(言之有理即

可).

第19页共86页

通过设置课堂检测，及时获知

师生活动：学生进行课堂检

学生对所学知识的掌握情况，

测，完成后，教师进行批阅、

明确哪些学生需要在课后加

点评、讲解.

强辅导，达到全面提高的目

的，

课堂小结1.课堂小结：

(1)你在本节课中有哪些收

获？哪些进步？

(2)学习本节课后，还存在哪

些困惑？

2.布置作业：

教材第80页随堂练习.巩固提高，形成体系.

第1课时认识生活中的

板书设计

“均匀”变化的现象

所谓“均匀变化”是指：一个

变量增加固定的数值时，另一

提纲挈领，重点突出

个变量的改变量是相同的.

本节课通过具体的实验

数据，让学生感受生活中的均

匀变化的现象，引导学生用数

教学反思学的眼光观察世界，用数学的反思，更进一步提升.

思维理解世界，用数学的咨言

表达世界.

第20页共86页

第2课时在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数

新课导入设计

【复习导入】

活动内容：复习前面学习的内容，教师提出问题：

问题1：什么是函数？

问题2：函数有哪些表示方式？

问题3：假设你在从家去学校的过程中，以20km/h的速度行驶，随着行驶时间t的增加，

行驶的路程s的增加是“均匀”的吗？你能写出s与t之间的关系式吗？你能不能再举出类

似的例子？

教学设计

第2课时在简单实际问题中认识一次

课题授课人

函数与正比例函数

1.理解一次函数和正比例函数的概念，以

及它们之间的关系，利用一次函数和正

素养目标

比例函数解决实际问题.

2•会建立一次函数模型解决实际问题.

1.一次函数、正比例函数的概念.

2•一次函数、正比例函数的关系.

教学重点

3•会根据已知信息写出一次函数的关系

式.

教学难点一次函数知识的运用.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.什么是函数？

回顾学生回忆并回答，温故知新.

2­函数有哪些表示方式？

活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】

第21页共86页

在弹性限度内，某弹簧的长度

y(单位：的)与所挂物体的质

量x(单位：依)的关系如下表

所示：

012345

3.03.54.04.55.)5.5

(1)随着所挂物体质量X

的增加，弹簧长度y的变化是

“均匀”的吗？

为了激发学生的求知欲望，吸

(2)写出y与x之间的函数关引同学们的注意力•这里采用

系式，并说明理由.了学生熟悉的情境，既能让学

生感受生活中的数学，又能,引

出新知识.

活动二：实践探究'交流新知【探究新知】

1.小组讨论【课堂引入】中教

师提出的弹簧问题.

教师可做如下分析：当不挂物

体时，弹簧长度为3cm，当

挂|kg物体时，弹簧长度增

加0.5，总长度为3.5cm；

增加1依物体，即所挂物体

为2依时，弹簧长度又增加

0.5，总共增加1c/n.由此可

见，随着所挂物体质量x的增

加，弹簧长度y的变化是“均

匀”的，所挂物体为xkg时，，

弹簧长度就增加0.5x“〃，则

第22页共86页

弹簧总长为原长加增加的长

度，即y=3+O.5x.

续表

教学步骤师生活动设计意图

2.某辆汽车油箱中原有汽油

40L，汽车每行驶50km耗油4L.

活动二：实践探究、交流新知

(1)完成下表：

汽车行驶路程x〃m0501001502(0250300

耗油量y/L

(2)你能写出耗油量y9)与汽

车行驶路程x(h〃)之间的函数关系

式吗？

(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与