2025-2026学年河北省邢台市联考高二（上）开学数学试卷（含解析）

2025-2026学年河北省邢台市名校联考高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设工为实数,若向量瓶=（一2,3）为=（%-6）,且可/6,则x的值为（）

A.-9B.-4C.4D.9

2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）

A.电形的直观图是矩形B.三角形的直观图是三角形

C.相等的角在直观图中仍然相等D.长度相等的线段在直观图中仍然相等

3.若复数』=与尹，则z的虚部为（

)

L*I

A6464.c64.

Bnlc.竺

ATTL5D.--i

4.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底

心有一小乳突.器身旅白釉，以青麻为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口

沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹

饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状

可近似看作一个圆台，则该圆台的体积约为（）（单位：立方厘米）

A.317TB.327rC.337rD.347r

5.某汽车零件质检员对一批汽油机电火花零件进行质检，记录数据（单位：亳米）为3.56,3.58,3.59,3.95,

4.03,对于这五个数据，其上四分位数为（）

A.3.59B.3.77C.3.95D.3.99

6.用5、6、7这三个数字组成无重复数字的自然数M,记事件4="M能被5整除"，事件8="M为奇数”，

则事件人与事件B至少有一个发生的概率为（）

A2

A3D.1

7.在直角梯形48co中，已知/B//CO,/.DAB=90°,AB=2AD=2CD=6,点尸是BC边靠近B点的三等分

点，点E是CC边上一个动点.则瓦?•丽的取值范围是（)

A.[~1,0]

B.|0,3]

c.[-5，。]

D」一,6]

第1页，共17页

8.如图，AC为圆锥S。的底面圆。的直径，点B是圆。匕异于4C的动点，S0=^AC=2,则下列结论正确的

是（）

A.圆锥S。的侧面积为8\<2TT

B.三棱锥S-718c的体积的最大值为日

C/S4B的取值范围是（H）

D.若AB=BC,E为线段A8上的动点，则SE+CE的最小值为2/1+1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是（）

A.设Z1，Z2为复数，若区|=。|,则Z：=Z：

B.若一4+3i是关于%的方程%?+px+q=O（p,qGR）的根，则p=8

C.若|z|=l,zee,则|z-2]的最大伯为3

D.设Zi，Z2为复数，则“Z]<Z2”是“Z1―2VO”的充分不必要条件

10.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，记录每次朝上的点数，设事件力为“没有出现6点”，事件8为

“至少出现一次6”，事件C为“三个点数之和为9"，则（）

A.,4与8互斥B.P(8)=养C.P(AQ=D.P(C)=是

11.如图，连接一个棱长为5心佗正方体的六个面的中心形成正八面体48CDEF（由8个正三隹形面组成,

对角而为正方形），M为正八面体棱FC上一点，且CM=』CF,贝）（）

A.平面EDC〃平面F84

B.该正八面体外接球的表面积为507r

C.二面角E-AD-尸的余弦值为一^

D.异面直线4E与8M所成角的余弦值为母i

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若XWC,则工+因=2—32方程的解为.

13.张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得1000元奖金.

已知张华、李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知当张华连赢两局，李明一局未赢时，因某种特

殊情况需要终止比赛.现将1000元奖金按两人各自最终获胜的不能性的比例进行分配，则张华应该分得

______元.

第2页，共17页

D.Ci

14.若正叫棱柱48。。一公当。1。1的底面棱长为4,侧棱长为3,且M为棱/L4i上

靠近点力的三等分点，点P在正方形4BCO的边界及其内部运动，且满足MP与底

面48CD的所成角6=%则点P形成的轨迹长度为_____.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知△48C的内角48,C的对边为a,b,c,且

sinCsifnA+sinB

(1)求

(2)若Z?+c=半a=6,求△ABC的面积S.

16.(本小题15分)

已知平面向量回=/1,内|=2,且(2万一35)(2万+了)=4.求:

(1)向量近在向量石上的投影向量；

(2)|2五一目的值;

(3)向量H与方-2石夹角的余弦值.

17.(本小题15分)

为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的100只小白鼠随机均分为两组：对照组(不添加

药物)和实脸组(添加药物)，饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量(单位：9),这些小白鼠

的体重增加量都在(0,30］内，按照(0,5］,(5,101,(10,151,(15,201,(20,251,(25,30］分组,得到如下频率

分布直方图.

・频率/组距

0.060^-------------

0.040^----------I—

0.030卜-------

0.020卜—

0.010—

O51015202530小白鼠体051015202530小白鼠体

对照组重增加量/g实验组重增加量值

(1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数(每组以该组所在区间的中点值为代表)及中位数；

(2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数；

(3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠,用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，

事件8表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g"，求P(A),P(8),并判断48是否相互独立.

第3页，共17页

18.(本小题17分)

已知沅=(Csin%-cos%),n=\cosx,cosx),/(x)=mn,设A/WC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,

c,且/⑷=：.

(1)若b=l,c=2,40为角力的平分线，且交8。于点D,求的长；

(2)若ZMBC的面积为2门，E为BC的中点，求4E长的最小值；

(3)若a=V3,求A48C周长的取值范围.

19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-力BCD中，平面户力81平面48C。，底面718CD是直角梯形，40//BC,Z.ABC=90°,且产力=

AD=2,AB=BC=1,PB=<5,E为尸。的中点.

(1)证明：CE〃平面PAB；

(2)求三棱锥P-4CE的体积；

(3)求二面角E-AC-D的余弦值.

第4页，共17页

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：因为引/b,所以(-2)x(-6)=3%,解得x=4.

故选：C.

由两向量共线的坐标公式列出方程，求解即得.

本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：斜二测画法中，平行性不变，即平行的线段在直观图中仍然平行；

对干线段长度，％轴方向线段长度不变，y轴方向线段长度减半，所以相等的线段在直观图中不一定相等；

原来垂直的线段，在直观图中不一定垂直，

对于4矩形的直观图为平行四边形，故力错误；

对于B,三角形的直观图是三角形，故8止确；

对于C,矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误；

对于D,正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故。错误.

故选：B.

由斜二测画法逐一判断即可.

本题主要考查斜二测画法，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解.2=1(1)呼=包=-32i(2-i)=_%—竺

'畔24-12+1(2+i)(2-t)55

所以2=—：+3人虚部为柒.

故选：A.

利用复数乘除法法则计算出5结合共挽复数和虚部概念得到答案.

本题考查复数的运算，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为元青花团菊花纹小盏口径8.4厘米，底径2.8厘米，高4厘米，它的形状可近似看作一个

圆台,

所以该圆台的体枳为*x[(4.2)2+(14)2+4.2x1,4]x4=至衅”«34兀立方厘米.

故选:D.

第5页，共17页

利用圆台体积公式直接求解即可.

本题考查圆台的体积的求解，属基础题.

5.【答案】C

【解析】解：上四分位数即第75百分位数，因为5x75%=3.75,

将数据从小到大排列后为第四个数3.95.

故选：C.

根据百分位数的定义，即可求解.

本题考查百分位数的计算，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由题意知，用5、6、7这三个数字组成无重复数字的自然数M,

则。={567,576,657,675,756,7651共有6种情况,

A={675,765}共有两种情况，B={567,657,675,765}共有四种情况，

所以P(4)=M9,P(B)=i=2,P(AB)=|=|,

所以P(AUB)=P(A)+P⑻-PQ4B)=|+!-1=i

oooo

故选:A.

列举所有情况，由古典概型的概率公式，结合并事件的性质即可求解.

本寇考查古典概型、和事件的概率公式等，属于基础题.

7.【答案】D

y

【解析】解：在直角梯形48CD中，已知48//CD，/-DAB=90°,pEC

如图，以点A为原点，分别以力B,AD所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，/'

A8=24)=2。。=6,点F是BC/靠近8点的三等分点，点E是CD边上一个动/一＜-

则4(0,0),。(3,3),8(6,0),F(5,l),

设E(x,3),则工€[0,3],且瓦5=(一—3)，加=(5—%—2)，

£\4-FF=(—x)(5—x)+6=x2-5x+6=(x—1)2—

因x£[0,3],当％=0时，EAEF=6,当x=£时，EA-EF=-\

故瓦•丽£[一?6].

故选:D.

第6页，共17页

以点力为原点，分别以48,力。所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系，设E(%3),则工£[0,3],且瓦5=(—

x,-3),EF=(5-x,-2)，从而得到瓦5•前=(%—|)2结合二次函数的性质即可求解.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算和二次函数的性质，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：在Rt/kSOC中，因为SO=^4C=2,

所以SC=VSO24-OC2=2/1，

则圆锥的母线长1=2/2,半径r=0C=2,

对于4圆锥SO的侧面积=汗仪=471次，故选项力错误；

三棱锥S-的体积为：SA"C-0C=|x-h-0C=|x|x4x2/i=/I,其中九为点8到AC的距离，

故当。BJ."时，九最大，且最大匿为2,三棱锥S—4BC的体积最大，此时Vj18c=gX2=方故选项A

错误；

在AS力8中，SA=SB,又5弟+5。2=AC2,则44SC=1

当点8与点A重合时，/-ASB=0为最小角，

当点8与点C重合时达到最大值，

又B与4。不重合，则心458£(0片)，

又2乙"8+\S8=〃，得有力8£咛《)，故选项C正确；

由48=8C,^.ABC=y,AC=4,得=BC=2M，又SA=SB=2口

则ASAB为等边三角形，贝比SBA=S

将4S/1B以48为轴旋转到与△/1BC共面，得到△SMB,

则公S】AB为等边三角形，4=?,如图知(SE+CE)mfn=S】C,

J

rtis*=BC=2<2，乙S1BC=^SyBA+/-ABC=号+?=称,

OLaO

得SC=s/2+BC2-2xS1BxFCxcos号=(2/3+2)2,

第7页，共17页

所以(SE+CE)min=S1C=2(C+1)，故选项。错误.

故选：c.

根据圆锥的侧面积公式即可求解4根据体枳公式即可求解8；根据三角形的边角关系；即可求解C；利用两

，点:间距离最小，由余弦定理即可求解D.

本题考查立体几何综合问题，属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：若区|=|z2|»比如Z[=1+i,Z2=1—i,满足区|=\z2\=7-2»

但2：=(14-炉=2KZ2=(1-i)2=-2i,此时zjH董，故4借误；

若一4+3i是关于x的方程必+p%+q=O(p,qGR)的根,

由实系数一元二次方程虚根成对出现，可知该方程另一根为一4-3i,

因此(-4+3i)+(-4-3i)=-p=-8,解得p=8,故8正确；

若复数z满足|z|=l,则笈数z在组平面内的对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，

而|z-2|是该圆上的点与点(2,0)的距离，

结合点(2,0)到原点的距离为2,可得忆-2|的最大值为1+2=3,故C正确；

若Z[<Z2，则Z[、Z2都是实数，且Zi-Z2<0，即充分性成立；

若2]-z2<0,例如Z]=1+i,22=2+i,

此时Z]-Z2=-1V0，但Zi、Z2不是实数，不能比较大小，故必要性不成立.

综上所述“Z]<Zz"是“Z]-Zz<0”的充分不必要条件，故。正确.

故选：BCD.

通过举例说明，判断出4项的正误；根据共枕复数的性质与韦达定理判断出B项的正误；根据复数的几何意

义判断出。项的正误；由复数的基本概念与充要条件的定义，对。项作出判断，进而可得本题答案.

本题主要考查复数的基本概念、韦达定理、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属

于中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：根据题意，将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，所有可能结果有63=216个，

依次分析选项：

对于44为“没有出现6点”，8为“至少出现一次6”,易得事件4、8互为对立事件，故力与8互斥，A

正确；

对干B,没有出现6点共有53=125种结果，而事件4、8互为对立事件，

第8页，共17页

所以2(8)=1-。(/!)=1一票二?，〃正确；

对于C，事件。为“三个点数之和为9"，则按第一次掷出的点数分别为1,2,3,4,5,6分类计数:

第一次掷出的点数123456

第二、三掷出的点数之和876543

三个点数和为9的结果数565432

所以九(。)=25.由古典概型概率计算公式，得P(C)=芫，。正确；

Lt

对干。，没有出现6点的有19种，故P(AC)=黑，C错误.

Z1O

故选：ABD.

利用对立事件、互斥事件的定义可判定4利用古典概型可计算B、0,利用列举法可判定C.

本题考查古典概型的计算，涉及对立事件的性质，属于基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：依题意可知正八面体的棱长为5,CM=|CF=1,现把正八面体从正方体里隔离出来.

由正八面体的性质，ED/IBF，EDC平面/祝4,平面/BA,ED〃平面F84

XvDC/]AB，DCA,ABu平面F84，故OC//平面FB力，

又EDCDC=D,ED,DCu平面EDC,故平面EOC〃平面F8A,故《正确；

连接EF,AC,设£尸04。=。，

则4。长即该正八面体的外接球的半径，长度为正方体棱长的一半，即苧，

则该正八面体的外接球的表面积为47rx(苧＞=50兀，故B正确;

取4。中点N,连接EN,FN,

•••△4ED,△力产。均为正三角形，：.£WJ.A。，FNLAD,

则，ENF即为二面角E-AD-尸的平面角，

•••正八面体及48CDF的棱长为5,则£7V=FN=5x^=浮，EF=5，1，

第9页，共17页

在八ENr中由余弦定理，可得COS乙ENF=(—+与二5、'ay=_J故。正确；

2x^x^3

•••FC//AE,故48MF为异面直线4E与BM所成的角，

乂•；CM=1,BC=S,/.BCM=p

J

在ABCM中由余弦定理，BM=J52+l2-2x5x1xcos^=721,

在ZiBFM中，FM=4,BF=5,

则COSNBMF=生曳零E=d,故。错误.

2x4x/2114

故选：ABC.

A利用面面平行的判定定理即可求证；B根据正八面体的性质及球的定义即可找出球心为线段EF的中点，即

可求表面枳；C取4。中点N,结合二面角的平面角的定义以及余弦定理即可求出cos乙ENF；0将问题转化为

求cos乙在△中应用余弦定理即可.

本题主要考查面面平行的判定，异面直线所成的角与二面角的求法，多面体外接球问题，考查运算求解能

力，属于中档题.

12.【答案】一\一31

【脩析】解：设复数¥=Q+bi(Q,b€R),

x4-|x|=2-3i；

则a+bi+Va2+Z?2=2-3i,

由复数相等的条件得，卜+，凉+按=2,所以卜二一工

3=-3U=-3

故x+因=2-3i方程的解为一1-3i.

故答案为：—J—3i.

4

设复数x=Q+bi(a,bGR),代入工+|x|=2-3K结合复数模的运算及复数相等的条件列出方程求解即可.

本题主要考查复数相等的定义，属于基础题.

13.【答案】875

【解析】解：张华和李明二人进行一场游戏比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，

如果比赛继续，李明需要连撤三局才能获胜，

因张华和李明二人在每局比赛中获胜的可能性均相同，

则李明连赢三局获胜的概率为］xlx|=1,张华获胜的概率为1-1=1

ZZZooo

第10页，共17页

所以张华应分得奖金的】李明应分得奖金的卷即张华应该分得(X1000=875元.

oOO

故答案为：875.

利用独立事件的乘法公式计算李明连赢三局获胜的概率，再用对立事件的概率公式即可求出张华获胜的概

率，即可求出张华应该分得奖金.

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.

14.【答案】替

O

【解析】解：由44i1平面力BCD,则/MPA即为MP与底面4BCD的所成角,

所以NMPA=0=g且MA==1,

因为tanz.MPA=黑,

Ar

即nr..„"=际MA丽F1F6

故点P形成的轨迹是以A为圆心，浮为半径的四分之一圆,

所以轨迹长度为32兀＞4=骨,

故答案为:/3

根据线面角的定义得NMPA即为MP与底面48CD的所成角，再由已知确定点P形成的轨迹是以力为圆心，?

为半径的四分之一圆，即可得.

本题考查线面所成的角的求法及点的轨迹长度的求法，属于中档题.

15.【答案】

s、石

3(a-b)_3c-4b

【解析】(1)因为

sinCsinA+sinB

所以由正弦定理得：吟包=霍，即〃+cZ—aZ=Jbc,

ca+b3

由余弦定理得：co余==寿=',

又因为力G(0,7T),所以=V1-cos2i4=J1~

(2)因为按+c2-a2=|be,所以Q+c)2-当be=36,

即詈-与be=36,解得儿=,,

第11页，共17页

所以△ABC的面积为S=|bcsinA=1xx=今善.

乙403lO

(1)由正弦定理边角互化和余弦定理可得cos4的值，再由同角三角函数的关系可得si/M的值;

(2)将已知条件代入匕2+c2-Q2=2C可得加然后由三角形的面积公式可得结果.

DO

本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.

16.【答案】一"反

2V亏；

13

【解析】(1)由同=|瓦=2,(2a-3b)•(2a+b)=4a2-4a-b-3片=4,

得8—43.石-12=4,即小了=一2,

则向量N在向量b上的投影向量是鬻•石=^71b=-

(2)由12M-b\=J(2方一「)2=J4五2一府・石+了,=(4x2-4x(-2)+4=2/5,

则12a-向的值为2店；

(3)a•0—2石)=/一2五i=2-2x(-2)=6,

|a-2b|=J0-21)2=Ja2-4a-S+4b2=J2-4x(-2)+4x4=/26,

所以cos(a,a-2b)=箫翳=汽%=喈，

则向量五与五一2万夹角的余弦值为誓.

(1)由已知及数量积的运算律得益7=-2,再由投影向量的定义求向量五在向量石上的投影向量;

(2)应用向量数量积的运算律求向量的模长；

(3)应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量N与益-2方夹角的余弦值.

本题考杳了平面向量数量积的运算，属于中档题.

17.【答案】平均数为19,中位数为20；

a=0.035,30；

P(A)=0.2,P(B)=0.36,A,B不相互独立

【解析】(1)对照组小白鼠体重增加量的平均数估计值为

(2.5x0.010+7.5x0.020+12.5X0.030+17.5x0.040+22.5x0.040+27.5x0.060)x5=19,

又5x(0.010+0.020+0.030+0.040)=0.5,

第12页，共17页

所以对照组小向鼠体重增加量的中位数估计值为20；

(2)(0.015+0.025+a+0.045+0.050+0.030)x5=1,得。=0.035,

故所求为(0.0154-0.025+0.035+0.045)x5x50=30：

(3)由题意知:

从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量大于20g的概率为0.5,大于25g的概率为0.3,

从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量大于20g的概率为04,大于25g的概率为0.15,

所以P(4)=0.5x04=0.2,

P(B)=0.3x(1-0.15)+(1-03)x0.15=0.36,

PQ4)P(B)=0.2X0.36=0.072,

PQ4B)=0.3x(0.4-0.15)+(0.5-0.3)x0.15=0.105,

因为尸(8),所以4B不相互独立.

(1)应用频率分布百方图平均数及中位数公式计算求解：

(2)先应用频率和为1得出参数Q,再结合频率计算求解只数；

(3)应用独立事件概率乘积公式判断即可.

本题考查频率直方图的应该，事件相互独立性的判断方法，属于中档题.

18.【答案】学；

•/6：

(2/3,3^］

［解析］(1)已知沆=(\T3sinx,—cosx)»n=(cosx,cosx),

21+cs2x

根据平面向量数量积的坐标运算可得/(%)=m-n=\/~3sinxcosx—cosx=^-sin2x-^sin(2x

6)2

由/(4)=g=sin(24-*)_；=!=sin(2/l-^)=1,

由4W(0,TT)n2/1—E(—

因此有24-2=多=3=g，

OZD

由已知得N84c=?,

且为角的平分线，所以=

4DAo

第13页，共17页

B

因为Sf8c=^hBAD+S.o

所以根据三角形的面积公式可得:bcsinziBAC=•ADsinz.BAD4--ADsinz.CAD,

匕乙乙

1二11b

XX2X

Bn2-2=2-2-3

(2)由已知sE4=分，又△ABC的面积为

则根据三角形的面积公式可得gbcsizM=273,解得儿=8,

又一一(胡十元〉

则恁2=；(而2+照，+2希.硝=](c2+川+2bccosA)=1(c2+b2+be)

>；(2bc+be)=；x3be=6,

当且仅当b=c时，等号取到，所以|荏「二6=|荏|二/S,

则4E长的最小值为/不

acb\T3-

(3)由正弦定理可知：,=赤=右=逅=2,

T

因此有a+b+c=C+2sinB+2sinC=<3+2sinB+2sin(y-B)

f—27r27r

=\3+2sinB+2sin-^-cosB—2cos-^-sinB

L<31

=y3+2sinB+2x-^-cosB4-2x-^sinB

=V3+3sinB+>/3cosB=2V3sin(B+，)+71,

因为力=?»所以8W(0，¥)=B+*W(，,即)=sin(B+*)€(；,1],

。0OO0oz

2^sin(F+5)G(/3,2/3]=>2/3sin(F+J)+736(24,3门],

oo

因此△力8。周长的取值范围为(2门,3门卜

(1)利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算4再根据三角形面积公式、等面积法计算即可;

(2)利用三角形面积公式确定儿=8,再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可；

第14页，共17页

(3)利用正弦定理化边为角，再由前助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可.

本题考查了平面