2025-2026年高考数学第一轮复习：集合与常用逻辑语言（解答题）专项练（含解析）

2025-2026年高考数学第一轮复习试卷：集合与常用逻辑语言解答

题专项练

一、集合的含义与表示(本大题共1小题)

1.已知数列也},bn€N*,记集合A={小=%,&<〃?}的元素个数为何.

⑴若也}为I,2,4,8,12,写出集合A,并求|4|的值；

(2)若他}为1,3,小b,且|人|=3,求他}和集合A；

(3)若数列出}项数为「，满足心|>"(/2=12…，-1),求证：“|川=一1"的充要条件是“{妇为等比数

列”.

二、集合间的基本关系(本大题共14小题)

X

2.设集合A={x|^-<0},8={i|2a-5<x<3a+2}.

x-3

⑴当a=l时，求集合BflN"的非空真子集的个数；

(2)若求整数”的所有可能取值.

3.已知集合A={Rf-9x+18W。},B={x|4<x<9}.

(1)分别求Ac4,A\JB.

(2)已知C={d〃?-2cx且CqB,求实数〈的取值范围.

4.已知集合A={x|2f+x=O,xwR},8={%,+2(a+l)x+/-2=O,xeR}.

⑴若。=T,试求4|J8；

(2)若BqA,求实数〃的取值范围.

5.已知非空集合A={x|/H+lSx<27w-l),^=k1<2¥'<8•.

o

⑴求B：

(2)若Aq8,求实数，〃的取值范围.

6.设集合A=r—^-vOsB={x|2«-5<x<3a+2}.

x3

⑴当4=1时，求集合AflN"的非空真子集的个数；

(2)若求整数。的所有可能取值.

7.设集合A=«x—―J>1,B={W〃-2Wx<〃?+3}.

⑴若m=4,求

(2)若Aq8,求小的取值范围.

8.己知全集〃=人集合人=/三1工2],集合4={小一1|<3}.

>人乙>

⑴求集合低A)r)8；

(2)设集合C=(QA)n8,若集合D={Havx〈4+l},且xe。是xeC的充分不必要条件，求实数〃的取

值范围.

9.已知集合A={#2+4工＞()},4={41＜x-加＜1}.

(1)当。=-2时,求Ac(48)；

(2)若8=A,求。的取值范围.

10.已知集合A={M(.r+4)(x-2)2()},4=3一1。43}.

(1)求4A,04)八8；

(2)若。=卜加-5«1£2〃?-1},且BUC=C,求实数〃?的取值范围.

11.已知集合A={x|/+2x4。},集合8={出-3WxW3a}.

(1)若a=O,求4U8，(条A)c6；

(2)若Ap|8=8,求实数〃的取值范围.

12.已知集合团={剧3—taviavza+i},[3={剧吓一向一2＞。}.

(】)当团=2时,求tan(Qia),团u(c出)；

(2)若囱八团=团，求实数团的取值范围.

13.已知集合A={X»L14工42〃?一1},集合8=卜卜一2乂X+3)＜。}.

(I)若相=2,求A|j8；

(2)若AqB,求实数的范围.

14.已知全集〃=乩集合人=卜,2-5X一640},集合4={可加工工工〃?+2}.

(1)若〃2=5,求(Q,A)cB；

(2)若“xeA”是“xe8”的必要不充分条件，求实数〃?的取值范囹.

15.在①814A=0；②&8UA=R；③疫R8这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解

答.

问题：已知集合4=,£叫(彳-1)(1+2)＞0},«={xeR|y=＞/7^,yeR).

(1)当a=l时,求ADQ8；

(2)若,求实数。的取值范围.

三、集合的基木运算(木大题共11小题)

16.设集合A={M(x-3)(x-a)=0,awR},B={x|(x-4)(x-l)=0},求A%Ac8.

17.己知集合人={耳壮2},8={中2-8x+15<。}.

(1)求才］他6)；

(2)定义"+汽={4+)，卜£知,)，€"},求A+8.

18.集合A={x|3Wx<10},4={x|l<3x-5<16}.

(I)求AU"

(2)求(44)c8.

19.设aeR,函数=a/_2x_2a,若/(幻>0的解集为43={x|1<工<3},4口8工0,求实数〃

的双值范围.

V.111

20.已知全集口=1<,集合-->18={x|"?+lvx<26一1}.

⑴若/〃=3,求Anai；

(2)若Ap|B=B,求实数〃?的取值范围.

21.己知集合A={Ha-lKxK2a+3},8={x|-lKxK4},全集U=R.

⑴当a=i时，求(Q/)r)B；

⑵若A=8,当月工0时・，求实数a的取值范围.

22.已知集合A=<X，K2'K32,,8={乂x2-4.r+4-/n2<0,/H>0}.

(1)若“2=2,求Afi(第8)；

(2)若“xwA”是“xwB”成立的充分不必要条件，求”的取值范围.

23.已知集合八=«人1'土W。},6={{1人:一(，〃-1)八十，〃一2S。}.

(I)若45。向=[-1,4],求实数m〃满足的条件；

(2)若AUB=A,求实数机的取值范围.

24.设集合4={x|x+lW0或1-420},8={x[2a<x«a+2}.

(1)若入口^工0,求实数。的取值范围；

(2)若AU5=A，求实数"的取值范围.

25.已知集合A={d2a4x<l-叫,8={x|xW-2或423}.

(1)当〃=一1时，求ACB：

(2)若人。4=0,求实数。的取值范围.

26.已知集合S={x|m-l<x<2/n+l},T={x|x2<4).

(1)若Sa7,求实数用的取值范围；

(2)若Sc7、=0,求实数小的取值范围.

四、集合的综合应用(本大题共11小题)

27.对于集合A,B,定义运算“▽"：=xeb西式恰有一式成立}，同表示集合A中元素

的个数.

AB

图1

33.若非空实数集4中存在最大元素用和最小元素机，则记&A)=M一集,d)(A)=Mm.

(1)已知A={目_2WxWl},求A(4)和①(A)；

出已知4={才/3*("/目0可},小明同学认为“仅4)=1”是“对任意”《0』，都有/(£|Wg(x)”的

充要条件.你认为小明同学的判断是否正确？请说明理由；

⑶己知C"M，s，z为正整数，/)=^y|y=^(x-i)\xGc|,若①(D)=(A(C))4,求证：1为奇数.

34.已知集合Mn={(芭，芍)kG{0,1}#=1,2,3,…,2〃T,2"}GGN),对于

X=(N，X2「)，丫=(乂，丫2,…，)"，为)£%,定义d(x,y)=£k-x|.

;=1

⑴已知x=(i,o,i,o)eM，求所有的yw%,使得d(x,y)=3：

(2)已知X,y,ZeM“，求证：d(x,y)+d(匕Z)-d(Z,X)为偶数;

⑶已知A={x”2,…,XJ土(,对任意IKiv/KE,均有d(Xj,X,”32,求左的最大值.

35.已知集合S为平面中点的集合，〃为正整数，若对任意的AwN•.且14&4〃，总存在平面中的一条宜

线恰通过S中的k个不同的点，称集合S为〃连续共线点集.

⑴若5={(书)1人总。，1,2}»£{0,123,4}},判断$是否为3连续共线点集?是否为4连续共线点集？

(2)已知集合S为〃连续共线点集，记集合S的元素个数为|5|.

(i)若|S|=6,求〃的最大值；

(ii)对给定的正整数〃，求同的最小值.

36.设正整数〃22,q，4,4={，#=4+仅-1)4，攵=1,2,…},这里1=1,2,若

4=…uA“=N",且4ca=0(lWi</"〃)，则称A，A?,…,A”具有性质P.

(1)当〃=3时，若4*2,4具有性质P，且q=i，，=2,%=3,令m=44&,写出w的所有可能值；

(2)若44,…，4具有性质P：

①求证：4<4(/=1,2,...,n)•

②求之，的值.

37.已知集合4={1,2,3,…,2〃}(“eN”)，S是集合A的子集，若存在不大于〃的正整数〃?，使集合S

中的任意一对元素4，与，都有则称集合S具有性质P.

⑴当〃=10时，试判断集合8=k”|"9}和。=卜“卜=3左-1,“1<}是否具有性质「？并说明理

由；

(2)当〃=100时，若集合S具有性质P,那么集合r={201-MxeS}是否具有性质尸？并说明理由；

⑶当〃=3%,AeN时，若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值/(〃).

五、充分条件与必要条件(本大题共11小题)

38.设。=1,已知集合A={x|-2WxW5},B={x\m+\<x<2m-\\.

⑴若3=0,求实数〃?的取值范围；

(2)若8不是空集，设〃:xeA；若P是4的必要不充分条件，求实数〃?的范围.

39,已知集合4=卜,2-4工+34。},集合8=卜,2-3.工+2〃?2+〃7-1«0}.

(1添在/eR,使£-27)+2川-1=0(加€1<)成立，求集合8：

(2)若xw8是xwA的必要不充分条件，求实数机的取值范围；

(3)命题P：HrwA,有d+Zax+l^O，命题夕：3丫£R,使得V-2%-2〃+1W成立.若命题〃为假命

题，F为真命题，求实数。的取值范围.

40.已知〃：3MWR,x2+6x+a=0(a>。).

(1)若〃是真命题，求实数”的取值集合A；

(2)在(1)的条件下，集合B={.M3切-1vxv35+3},若“xw夕是“xw4”的充分条件，求实数〃，的取值

范围.

41.已知非空集合4={“〃-1<工<"『+1},B={x|-2<x<2}.

(1)当〃7=2时，求A|JB,Ar\B\

(2)若“xe4”是“xe4”成立的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

42.设全集的U=R,已知集合A={x|加+l«x«3加-1),B={x\\<2^<S}.

(1)当〃7=2时，求

(2)若“xwA”是“xw8”的充分条件，求实数m的取值范围.

43.(1)设。也ceR,证明：〃+〃+°2="+〃+权•的充要条件是a=b=c.

(2)已知都是正实数，且"试比较与力的大小，并证明.

3x-\>5

44.已知〃：15>21>0应:323/"+1或xW3〃7—3.

(I)若〃是9的充分条件，求实数小的取值范围；

(2)若〃是F的必要不充分条，牛，求实数〃?的取值范围.

45.设命题P：实数“满足(〃-a)(x-3a)M0,其中。>0,命题设实数x满足(〃-3)@-2)«0.

(1)若4=1,且〃和都是真命题，求实数X的取值范围；

(2)若夕是P的充分不必要条件，求实数a的取佰范围.

46.设HWR,已知集合A=(一/1),8={乂2/+(〃?-2)工一〃?<0}.

⑴当〃?=1时，求A|JB；

(2)若“xe8”是A”的必要不充分条件，求〃?的取值范围.

47.已知集合A={M-3VXV4},6={H1—〃ZWXW3"L2},是否存在实数小，使得xeA是xeB成立的

?

(1那充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数机存在，求出用的取值范围，若问

题中的机不存在，请说明理由；

(2那必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数机存在，求出〃，的取值范围，若问

题中的“不存在，请说明理由.

48.已知集合A=«-,B=1x|x2-/nr-2/n2<0,m>o|.

(1)当m=2时，求AcB和4B；

(2)若是xcA成立的充分不必要条件，这样的实数，〃是否存在？若存在，求出，〃的取值范围；若不

存在，说明理由.

六、全称量词、存在量词(本大题共3小题)

2

49.已知命题〃:AeR,x+(67-l)x+l<0；命题“：Vxe[2,4],^log2x-a>0.

(I)若命题〃为假命题，求实数。的取值范围；

(2)若〃为真命题，〃人"为假命题，求实数。的取值范围.

50.设命题〃：对任意0W1,不等式2x-3之〃"4〃?恒成立，命题9：存在-IKxKl,使得不等式

x2-2%+/??-1<0成立.

(1)若〃为真命题，求实数”的取值范围；

(2)若〃国有且只有一个为真，求实数机的取值范围.

51.已知命题P：“DxeR，使得为^+方+1>0”.

(1)写出命题〃的否定形式~/2；

(2)若命题是一个假命题，求实数〃的取值范围.

七、与基本不等式有关的恒成立与能成立问题(本大题共1小题)

52.己知关于x的不等式――3x+2WO的解集为人=卜|1«工“},集合8={乂〃L1<x<2/〃+3}.

(1)若“xe/T是“xeB”的充分不必要条件，求〃?的取值范围；

y1.

⑵当"+冲=2时，Dx>O,y>O,2+-N2A2+2&+1恒成立，求々的取值范围.

4y

参考答案

1.【答案】（1）A={g,2,3,4,6,8,12},同=7；

（2）（={3,9,27}；

（3）见详解.

【详解】（1）集合A=g,2,3,4,6,8,12},|4|=7,

(2)由也}为I,3,a,b,当。，〃之一为2时，不妨令〃=2,则]=2彳=34=8互不相等,

2,3,6是集合A中元素，乂|川=3,则8>3,：4=〃解得〃=9：名1^,不符合题意,

ND/

则必有3<"〃，得：=3,；=*〃互不相等,

则3,4,。都是集合A中的元素，又|川=3,则?=2=3,解得。=9,/?=27,

3a

因此{仇}为1,3,9,27,所以"={3,9,27}.

(3)充分性:若{,}是递增的等比数列,设也}的公比为9(31),

b.

当时，T~=q尸，

4

所以A={4/，d，…，/1,且同=--1，故充分性成立；

必要性：若他}是递增数列，旦同=1，则彳</广…</，

b、b、h.b①…』＜2,

于是百百不丁A且功不相等,

b2b2b2b2瓦

Abk…组—日Ab匕…丝%万不相等

贝hl%，2,4，且％，4互不相等'

因"色=久4=2…%=%…旦=%

口儿从b,''b、瓦，b,b「氏b「'b-b.

b.b,b,、

从而彳=；■=••二广r，所以{2}为等比数列，故必要性成立,

综上，“国三一1”的充要条件是“{〃”}为等比数列”.

2.【答案】⑴14

(2)1和2

【详解】(1)当々=1时，B=M-3<x<5},则区口河={1,2,3,4},

所以AflN*非空真子集的个数为24-2=14.

2〃-5<3。+2

(2)依题意，A={x[0vx<3},由得上a—5Ko,解得

-c、<*>32

所以整数a的所有可能取值为1和2.

3.【答案】(1)AC3={K|4VXK6},AuB={x|3<x<9}

(2){w|6<///<8}

【详解】(1)*X2-9X+18<0,解得34X46,所以醒={加丁461

所以An8={X3<x<6}nM4vxv9}={x|4vx<6},

A|JB={x|3<x<6}U(A|4<X<9)={X|3<X<9).

(2)因为C={x|+,CqB,

『［77/-2>4，一

所以<i/c，解得

/zz+l<9

求实数川的取值范围为{/〃16W〃旧8}.

4.【答案】（1）[。，一1,一；■

⑵（十1）

【详解】（1）因为人=k疝2+/=（）/£虱={_3,0,,

当a=-1时，8={工卜2T=（）,xeR}={_[,]},

所以4U3=«0』,-1,一g，.

（2）由BqA,

因为方程x2+2（a+l）x+/-2=0的判别式△=4（。+1『-4（/-2）=8。+12,

3

所以当△＜（）,即"-耳时，B=0,符合题意;

,不符合题意:

a2-2=0

即4＞一?时，有B=

当△>(),则《I无解，不符合题意.

一(«+l)+d2-2=0

3

综上所述，实数。的取值范围为7.

5.【答案】⑴8={x|-23«4}

⑵2,|

【详解】(1)由：421£8,得2-3工21W23,

O

所以-3Wx-1+3,解得-2WxW4,

所以B={x|-2WxK4}.

(2)因为4G8,A=|A-|/zz+1<x<2m-1},

m+\<2m

且人工0,则|〃?+12-2,解得2W〃7«3；

2

2m-1<4

所以小的取值范围是2,1.

6.【答案】(1)14

(2)1和2.

【详解】⑴当〃=1时，3=何-3Vx<5},

故8nN={l,2,3,4},其中含有4个元素，

故其非空真子集的个数为2』-2=14.

(2)由题意可得A={x|0<x<3},

由AqB,

3a+2>2a-5,

可得，2«-5<0,

3〃+223,

解得！54&2，

32

故整数〃的所有可能取值为1和2.

7.【答案】⑴{x|4Wx<7}

(2)l</n<3

【详解】(1)—>1«>--->0<^^^<0<^(2x-8)(x-l)<0,

X—1X—1X—1X—1

所以A={x|lvx<4},44={幻工41或不24},

若6=4,«={x|2<x<7},

所以低力cA={x|4£x<7}.

_f/??-2<1

(2)因为AqB,所以〈,、，，解得1K〃?W3.

/??+3>4

8.【答案】⑴{乂2"<4}

(2)2<«<3

x+1—x+1c.八X+2+4«0=々<0

【详解】(1)------<2=>-----2<0=>

A—2,x—2x—2人一2

等价于解得心5或xv2,

工一2工0

故人={#之5或x<2},^A={A|2<X<5},

而8=|x||x-l|<3}={x卜3<x-l<3}=1x|-2vxv4},

所以&A)c8={乂2Wxv5}c[x\-2<x<4}={x|2Wxv4}.

(2)由(1)知，C={x|2<x<4},

由xwO是xwC的充分不必要条件，故。为C的真子集，

又O=何4VX<4+l}W0,

ft?>2

故{“，解得2MaW3,

a+\<4

故实数〃的取值范围是2Ma43.

9.【答案】⑴AcW为W-^-SlDe，”)

【详解】(1)由题意知4={X,+4X>0}=(TC,-4)5°，+8)，

8={x|-1vx-2a<1}={x|2a_l<xv2a+l},

当a=—2时，8=(-5,—3),所以"8=(—3,+功，

所以An(^B)=(-oo,-5]u(0,-H»).

(2)A=(-<»,T)50,+8),8=32〃-1<x<2a+l},

若BqA,显然8#0,

则〃+lK-4或2/7-120,

解得a4或a2彳，

22

即〃的取值范围是18,-gU/+8），

10.【答案】（l）QA={x|-4vx<2},（QA）c8={x|-l«xv2}

⑵[2,4].

【详解】（1）因为A=*|x«T或x22},

所以aA={x[T<x<2}

所以低A）C8={M_1WXV2}

（2）因。=卜卜〃-54不£2〃?一|}

由BUC=C,可得BqC,则Cw0

〃?一5W—1

所以r1、.，解得2W/〃W4

2m-\>3

则实数用的取值范围为⑵4].

11.【答案】（1）-卜|一3VxWO},（\A）c〃={M-3,x<-2}

⑵d）

【分析】（1）借助一元二次不等式的解法得到集合4,再利用题意所给条件得到集合8,即可结合并集

定义得到AU"结合交集与补集定义得到（QA）C8；

（2）由4^4=8可得BqA,再分8=0及8工0进行讨论并计算即可得.

【详解】（1）/1={X|X2+2X<0}={X|-2<X<0},

^A={x|x>0或x<—2},

={M-3<x<()},

(^A)n5={x|-3<jr<-2};

(2)•.•AC|8=8,...BuA,

若3=0,则〃-3>3〃，可得ad

2

a-3<3a

若Bw0,则有<。-32-2,无解，

3〃KO

••.实数〃的取值范围为{8，-|1

12.【答案】见详解

【详解】(1)当团=2时，0={0|1<0<5),

0={划辞-0-2>0}={团|(团+1)(0-2)>0]={0|0<T或13>2},

所以团n(叫团)={固]<0<2},0U(陋={0|-1<0<5}

(2)由同门团=团得.团之团，

当3—团220+3即团时，0=0,满足OG团，则因

当13>9寸，0*0,由⑶仁团，得3—©<213+1工一1或2工3—团<20+1,

解3-团V20+】W-1,得无解；

解233一0V2(3+1,得：<团£，贝咛<屈工1,

所以实数0的取值范围是团工1

13.【答案】(1)AkjZ?={x|-3<x<3}

3

⑵(-CO,-)

【详解】(1)

由/〃=2时，集合A={x|US3},

B=1x|(x-2)(x+3)<0|=1X|-3<X<2},

所以AI」2=1.r|l<x<3卜」|.r|-3<x<2j=1x|-3vxV3},

(2)

当〃7—1>2加一1,即〃7Vo时，集合4=0，符合

w>0

3

当4工0时，由4u8,有〈加-1>一3,解得0«m<一,

2

2m-\<2

综上可知，若AqB,则俄的范围是(一83).

14.【答案】(1)(4八)口3=(6,7]

(2)-1</??<4.

【详解】(1)由工2一5工一6工0得(x-6)a+l)W0,即

所以集合A=[T6].

又全集U=R，所以。,，A=(T»,T)D(6,+8),

当机=5时，集合8=[5,7],

所以£,A)C4=(6,7].

<2)若'"eA"是。eB”的必要不充分条件，则5勺人且

,、fw>-l

研2“6或16+2<6,解得TW/n44.

故实数机的取值范围为-

15.【答案】(1)1门)5={上<_2}

【详解】(1)由不等式(x—l)(x+2)>0,解得x<-2或K>1,可得A={x|x<-2或x>l},

当a=l时，可得8=1eR卜=«+1,ywR)={中2一】}，则々8={%卜<一1},

所以/^々8={小<一2}.

(2)由集合A={x[x<-2或工>1}和4=卜k之一〃},

若选择①：由4={工,<—2或x>1},可得々A={x|-2Wx《l},

要使得81aA=0,则-。>1,解得av-1,所以实数。的取值范围为

若选择②：由«8UA=R,即BqA,可得—々>1,解得。<一1,所以实数。的取值范围为(田,-1)：

若选择③：由疫Aq津,可得8qA,可得一〃>1,解得〃<一1,

所以实数。的取值范围为1).

16.【答案】答案见解析

【分析】首先化简集合&然后根据集合A、3分类讨论。的取值，再根据交集和并集的定义求得答案.

【详解】解：因为8=卜|。一4)(工一1)=0}

所以6={1,4}

又因为A={H(x-3)(x—a)=QaeR}.

当〃=3时4={3},所以AU8={1,3,4},AnB=0

当〃=1时4={1,3},所以A|J8={1,3,4},AcB={l}

当a=4时4={4,3},所以4J3={1，3,4},AC8={4}

当“1且。/3且a/4时A={a,3},所以4|J8={l，3,4,a},Ar>8=0

17.【答案】(1)[2,3]U[5,M)

(2)(5,+8)

【详解】(1)因为3={小2-8/+15<0}=(3,5),

所以QB=(YO,3]U[5,+8),

所以4n(4B)=[2,3]U[5,y).

(2)因为M+N={x+)，|xeM,)，cN},且4={乂.丫22},8=[3,5),

所以A+4=卜+计xeAye邛=[5,+8).

18.【答案】(1)AuB={x|2<x<10}

(2)(4A)cA={x[2vx<3}

【详解】(1)由Iv3x—5vl6得2vxv7,所以8={x[2<x<7},

因为A={x|3«x<10},所以AuB={x|2vx<10}.

(2)因为JA={x|xv3或〈210},

所以&A)c8={x|2vxv3}.

19.【答案】aV—2或a>亍

【详解】•.・aeR,/a)>。的解集为A,

当a=()时，/(.¥)=-lx,所以A={A|_2X>0}={x|xvO},

此时AD8=0,不满足题；

当。工0时，令/（x）=0,解得其两根为.J—'"?。，"I+J1+2/

a

当。>0时，3<0,二>0,则4={x|x<*i或工>占），

因为APIA工0,所以修<3,即1+]+2L<3,

a

化询得JIT宏<3a—1，解得。>g，

当a<()时，%>0,A-2<0,贝IjA={x|w<%<xJ，

因为所以%>1,即>1，

a

化笥得1一av\]l+2a’,解得av-2,

综上，使AfW。成立的。的取值范围为aV—2或〃>号.

20.【答案】（1）（-2,4]U[5,7）

（2）{帅1«4}

【分析】（1）解分式方程可得集合A，由用=3可得集合B,再利用补集与交集定义计算即可得解;

（2）由题意可得8=A,再分3=0及3工0计算即可得.

【详解】（1）爱?知等价于芋^>0,所以（、+2乂7-五）>0,

得-2vxv7,则A={R-2cx<7},

若利=3,则4=E4Vx<5},B=（-00,4]|J[5,+00）,

所以A「d3=(_2,4]U[5,7)；

(2)若4n3=8,则

当4=0时，有m+122〃7-1,则/〃K2,

m+\>-2

当时，则，2〃?一1工7,解得2vmK4,

m+\<2m-1

综上，机的取值范围为{〃小〃44}.

21.【答案】(l)U|-l<x<0}

⑵叫

【分析】（1）求出集合A的补集，根据交集运算可得答案；

（2）根据AqB,Aw0,列出相应不等式组，即可求得答案.

【详解】（1）当4=1时，A={A|0<X<5}.B={X|-1<X<4},

则44={x|x<0或x>5）,

故（Q,4）nb={x|-lVx<。}；

a-\<2a+3

（2）若Aq",当4/0时，需满足，。一1之一1,

2«+3<4

解得即实数"的取值范围为

22

22.【答案】⑴Ac瓜8)3-26<0或4c5}

⑵[4,+cc)

【详解】(1)-A=x^<2x<32>={JA-2<X<5},

«={X|X2-4X<0}={X|0<X<4}.

=x<0或x>4},

Ac4={x|-2Kxv()或4<xV5}.

(2)“xwA”是“xw8”成立的充分不必要条件，「.A是8的桌子集.

又丁4={dx2-4x+4-m2<0,nz>0}={^2-m<x<2+m,m>0；­.

rm>0tn>0

.•.二2-机K-2等号不同时成立，Bp-m>4,解得〃叱4,经检验“=”满足题意.

L2+in>5m>3

••・〃?的取值范围是[4,xo).

23.【答案】(1)b=4,-1<«<3;(2)\<m<5.

【详解】解：(1)VA=P^<OU{A­|-1<A:<3};Au[a,b]=[-\A],

,\b=4,—1<«<3;

(2),/B=^v|x2-(in-1)x+-2<()|={x|(x-l)(x-(tn-2))<0}.AU

BqA

f77/—2>—1

・,・分情况讨论①〃，一2v1,即〃?<3时{c.得1工机<3；

②若,〃-2=1,即〃?=3,8中只有一个元素1符合题意；

…[m-2<3

③若〃?一2>1,即6>3时《八得3<"?<5,3<m<5

tn-2>l

工综上

24.【答案】（1）｛。|。=2或

（2）｛d。4-3或〃42）.

【详解】（1）由题意，得4=｛削1«-1或124｝.

又八｛x|勿WxKa+2｝,4口爪0,则8工0.

2a<a+2,、2a<a+2,

结合数轴，可得nVV

2a<-\«+2>4,

解得。£-3或々=2.

1

则实数〃的取值范围是忖。=2或a<——

2

2aa+2-1

(1)(2)

-12a4a+2x-1

(3)(4)

(2)由4|J4=A，得

当8=0时，2。>。+2,即a>2,满足A.

2a<a+2,2a<a+2,

当3工0时，结合数轴，如图（1）（4）,可得〈成4

a+2<-\2«>4,

解得aW-3或。=2.

则实数。的取值范围是M3或心2｝.

25.【答案】(l)Ac6={x|-30工0-2}

⑵(-1收)

35

【详解】(1)当4=二时，A=\x-3<x<-\,

22

乂因为4={x|."-2或"3},所以Ac8={x|-3<x<-2}；

(2)若ADB=0,

当1一”2〃，即时，A=0,满足川口4=0；

当1一〃22。，即aS]时，人工0,

1—a<3

要满足An8=。，只需..

解得。>一1,又因为所以

综上可知，实数。的取值范围为

26.【答案】⑴{5<-2或一14叫卜

3

⑵同〃]>3或〃?<一5•

【详解】（1）T={x\-2<x<2}.

当S=0时，m-\>2A??+1,解得〃?<：一2,

/??-1<2m4-1

当Sw0时，〃-12-2,解得一Y利

2m+l<2

综上，实数机的取值范围为或-1工/”工3卜

(2)ScT=0,当S=0时，ni-\>2m+\,解得〃?<一2,

m-\<2〃i+1(/«-!<2m+1

当Sw0时,或，

2m+1<-2〃:一1>2

3

解得-2<m<一一或>3,

2

3

故实数”的取值范围为或加<-不­.

27.【答案】（1）韦恩图见解析，AV3={3,4,5,6}；

⑵|打回=51；

（3）证明见解析，集合B的数量为那罔个.

【详解】（1）如图1.

|AVB|=|^+|B|-2|AnB|=50+33-32=51.

（3）画出韦恩图，如图2,将AIJ8UC划分成7个集合S，S〉…,邑,

A

图2

则不则=图+图+国|+国，

|皿。=闻+阳+园+|跖|,

|双〈=国|+国+国|+图,

故AV^+|BVC|-|/\VCl=2|S4|+2|S5|>0不等式成立，

当且仅当§4=其=0时，上式取等号.

邑=0等价于(Ace)口8,55=0等价于8口AuC),

故当且仅当(ACC)C4G(ADC)取等号.

故比时，如图3,集合区=SUS,US6,其中53丁人0。是确定的集合,

邑U§6是AVC的子集，所以满足要求的集合B的数量为少图个.

图3

28.【答案】(1)若Q=2,b=4，则axb=8C4,故集合A不具有性质P；

集合B中元素均为整数，满足①，且0x1=068,0x5=065，1x5=568，满

足②,

故集合B具有性质P.

(2)证明：①V/c£N,3"£Z:

②"自,七€N且自H七，3的x3k2=3%+We/,则集合S具有性质P.

(3)T=[0,1,a},aGZ.

证明：对于三元素集7={a,b,c},不妨设|a|>|b|》|c|,

若|c|)2,则|axb\>\a\,与三元素集矛盾，所以|c|41.

若⑸》2,则|axb|>|a|,与三元素集矛盾，所以向41.

所以b,c只能取0,-1,1中的两个不同数.

不妨设7;={0,1,即}，T2={0,-l,cz2},T3=[1,-1,a3]：

对于7i={0,1,aj，集合中元素均为整数，满足①，

0X1=0GTi,0X«1=0G/,1X6/，满足②，

故集合T]={0,1,%}满足性质P.

对于T2={01-1,a2)，若l&l》2，

则当a2=2时，-2C。；当的=-2时，2c叫，即%=1•

对于73={1，-1，的}，若同>2，

则当«3=2时，-2C73；当。3=—2时，2£73，即。3=0-

综上，满足性质P的所有三元素集7={0,1,Q},QWZ.

29.【答案】⑴|A*B|=1O

(2)(i)5；(ii)4050

【详解】(1)若A={1,2,3,4},则8={4,5,6,7,8,9,10』1},此时Au8={l,2,3,4,5,6,7,8,9,10,l1},

AcA={4},

A*8={l,2,3,5,6,7,8,9,10,ll},所以|A*8|=10.

(2)(i)解法一：设A=M，q+d，4+24},则有4+24=3q+2d,《+2/=3«+4d,

a2+2q=3q+d,a2+2ay=3q+5d,a3+2q=34+2d,%+2a2=34+4d,

所以4={34+4初1+2”,34+4434+54，为使|A*8|最小，应尽量使A,8中相同元素最多，

而％+2d<3q+2d,故A,4中最多一个相同元素，令q+24=3q+d,即"=2%时，|A*B|最小，

4={4,34,54},8={5474,114,1%)}»此时A*B={q,3a],74，114，13q},|A*B|min=5.

解法二：由4,生，%构成严格递增的等差数列可知，2%+%<2%+%<2%+勾<2%+生，则必有|8巨4

又8中最小元素为生+2%,则“，生史8,则有|Ac5H,所以

\A*B\=\A\+\B\-2\AnB\>3+4-2x\=5,

另一方面,当从={1,3,5}时,3={5,7,1113},此时A*8={L3,7』1』3},|A*3|=5,

综上，〃=3时，|A*B|的最小值为5.

(ii)引理：当〃24时，集合A中的元素构成公差为d>0的等差数列，则

8={+以1WkW3〃-4,〃wZ}

引理的证明：对任意1j&〃,i/j,4+2^=4+(i-l)d+2[q+(/—l)d]=34+(i+2)—3W

当i=2,j=l时，。+2/-3濡=1,当i==〃时，(W=3”4,

因比有+kd\\W&W3〃-4,keZ}；

另一方面,再证明人可以取到满足l<Z：<3/?-4的所有整数，

①取)=〃,当i依次取12…,〃一1时，(=\+2/-3可取至IJ满足2〃一2次43,一4的所有整数;

②取i=l,当/依次取幺3,…,〃时,k=『+2]-3可取至IJ满足2My2〃一2的所有偶数;

③取i=2,当/依次取1,3,4,…,〃时,k=i+2j-3可取至IJ满足&=1或5KZK2〃一1的所有奇数；

④取i=4,/=l,此时左=3,

由上述讨论可知，4可以取到满足14攵<3〃-4的所有整数，此时有83{34+h/|lWAW3〃-4,k£Z}

综上，引理得证.

故当〃24时，B={3al+kd\\<k<3n-^keZ},忸|=3〃-4,

又01V3q+",。2=%+d<34+d,即q金民生比B,则有|AcS区〃一2,

所以|A*8HA+|B|-2|ACB|N〃+(3〃-4)-2(〃-2)=2〃；

另一方面,当4={1,3,51.,2〃—1}时，8={5,7,9,…,6九一5},AuB={l,3,5,…,6〃-5},

Ac8={5,7,9-..,2〃-1},

此时|A|二〃,|3|=3〃—4JACA|=/L2,|A*4|=|A|+|4|-2|AC3|二In,

综上，当〃24时，珠*用的最小值为2小所以，当“=2025时，IA*网的最小值为4050.

30.【答案】见详解

【详解】(1)依题意得，4=衣2(/。)+皿2(冷。)=.2净皿2需=二

222

⑵当集合0={弓片，几}时，

集合n相对于常数6>0的“余弦方差”

2222222

cos(-0o)+cos(^-0o)+cos(w-0o)&os00+等Sind。)+信必6()+学sin%)+cosO0i<?os0o+|sin0o+cos0,)1

r3332

.・.此时“余弦方差”是一个常数，且常数为|；

l+cos2d

(3)cos2c-8。)+cos2(a-拆)+cos?(夕一期)=f^+一。式:")+"丁。)=2+1sin20o+

^cos2acos260+^sin2asin2Oo+|cos2/?cos20o+^sin2Psin20o='+^sin20•(14-sin2a+sin2/?)+

^cos2O•(cos2a+cos20).

要使，是一个与然无关的定值，则h煞£：°渣屋’0,

因为cos2a=—cos2^,

所以2a与20的终边关于)，轴对称或关于原点对称，

sin2a=sin2p=

所以

、cos2a=一cos20,

又a€[-]。)/GX，)

则当2a=-整时，26=?TT;

oo

当2a=-?时，26=1.

b6

故。=-工，/?=£兀或。=-看，6=工时，集合A相对任何常数M的“余弦方差”是一个与

拆无关的定值.

31.【答案】(1)集合A是“坏集”，集合8是“好集”：理由见解析

(2)证明见解析

(3)S={l,a}(a>0且a*l)

【详解】⑴对于集合A,当,：=：时，。"=3睡4，b“=97A;所以集合A是“坏集”；

对于集合“，不妨令a>b,

当a=l时，a"=TwB,b°=bsB;

21

当。=孑,==7时，八己丫史B，/=\T」eB；

24⑶⑷2

当“=1‘b=2时,ah161)

ba--eZ?»

2lo16>4

对于任意a于b，若/和〃“中至少有一个属于3,则真合8是“好集”.

（2）假设有限集合S中的大于1的最小元素为方，最小元素为。，则人>1,a<\,

因为lvZ/）v〃"vZ?,af，=a，所以c/定S，〃"任S，所以有限集合S是“坏集”.

（3）当5={1,〃},>（）且时，|"=lcS，3=aeS，所以S是“超级好集”；

下面证明：