2025年新高考数学一轮复习（基础版）平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积

【课标要求】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与投影向

量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两

个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量的方法解决某些简单的

平面几何问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.向量的夹角

已知两个非零向量小b,。是平面上的任意一点，作为="，OB=b,则

叫做向量。与力的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量”与力，它们的夹角为0,我们把数量MIIMcos1叫做向量a与b的数量积，

记作ab.

3.平面向量数量积的几何意义

CAtB、D

设〃，〃是两个非零向量，它们的夹角是〃，e是与力方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,

过第3的起点4和终点8,分别作诙所在直线的垂线，垂足分别为A，/力，得到年后，我们

称上述变换为向量〃向向量b投影，乐后叫做向量a在向量b上的投影向量.记为⑷cos。e.

4.向量数量积的运算律

(l)ab=ba.

(2)。〃).力=，小力)=〃.(，/»).

(3)(a+Z0c=ac+方c

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=3，yi),6=(x2，＞,2)»。与力的夹角为。

-^―几何表示坐标表示

数量积。山=|a||b|cos0a'b=xiX2^-yiV2

模\a\=yfah|a|=d»+y?

aabx\x2+yiy2

夹角cos夕一|a网cos0i/一।)

a.Lb的充要条件ab=()工成2+)“'2=0

创与同步|的关系|Q创4⑷IM\x\X2+.yi”l忘勺(x?+.y彳)(.6+询

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

{\)(a-\-b)(a—b)=a2—b2x

(2)(a±b)2=ir+lab+b2.

2.有关向量夹角的两个结论

(1)若。与I的夹角为锐角,则G力＞0；

若〃力＞0,则。与b的夹隹为锐角或0.

(2)若〃与》的夹角为钝角，则a协＜0；

若“山＜0,则。与b的夹隹为钝角.或兀

3.向量。在向量力上的投影向量为需方

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)两个向量的夹角的范围是0,W.(X)

(2)若。，力共线，则。仍=⑷他|.(X)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(J)

(4)若ab=ac,则b=c.(X)

2.(必修第二册P60T8改编)已知向量机=(2x,1)与向量〃=&一;)垂直，则x等于()

答案C

解析•.,〃】=(2x,1)与〃=(,,一另垂直，

.\mn=(2x,1＞G，~2)=x~2=(),即

3.(2023•郑州模拟)已知向量a,8满足网=2⑷=2,且。与h的夹角为平，则(2a+b＞a等于()

A.12B.4C.3D.I

答案D

解析因为|力|=2|«|—2,

所以(2。+办〃=2屋+。力=2同2+M他.cosk=2+2XIX(一2=1.

4.(必修第二册P18例10改编)已知。=(1,^2),|力|=2小，。力=一3,则。与》的夹角为

答案120°

解析设。与方的夹角为氏

因为。=(1,j),|臼=2S，ab=-3,

所以8§。=丽=万不用=_亍

因为0OW6W180。,所以。=120。，

即。与b的夹角为120°.

■探究核心题型

题型一平面向量数量积的基本运算

例1(1)(2023・安康模拟)已知四边形ABCQ为平行四边形，丽|=小，应)|=2,DN=2NC,BM

=3MC,则病等于()

31

A.7B.1C.jD.w

答案D

解析如图，

BMC

/WWM=(AB+BM)(M?+CM)

常乙=卜3-得X4=/

(2)在梯形ABC。中，人B〃DC,AD1.DC,AD-AR-2DC~2,石为BC的中点，下为AE的

中点，则净•而等于(I

,31妨33_35、37

A正B.讳C.诺D.正

答案B

解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则40,0),仅2,0),C(l,2),

。(0,2),《|,

所以次=(廿，而=席

所以亦命=-我》(一|卜(一步得

思维升华计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：。•力=|a||A|cos〈*b〉.

(2)利用坐标运算，若4=。［,巾)，5=(X2,”)，

则ah=x\X2-\-y\yi.

(3)利用基底法求数量积.

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

跟踪训练1(1)己知向量“=(1,⑼,b=(m,2),若。。=4,则实数〃［等于()

A.一也B.0C.ID.1

答案D

4

-

解析向量。=(1,M，b=(m,2),则。力=〃?+2加=3附=4,解得3

(2)(2023・唐山模拟)如图，在平行四边形A8C。中，AB=2,ZBAD=yE是边8C的中点,

产是C。上靠近。的三等分点，若能•诉=8,则丽|等于()

A.4B.4^2C.4小D.8

答案A

解析iC\AD\=m,

因为A4=2,且四边形A6c。为平行四边形,

所以病•泳=(彳h+而•(近+小

=筋.筋—：丽2+肯衲2一拗.俞

=亨丽丽IcosNBAO-痂F+；|Ab|2

2m8,nr

3312=8,

解得机=一学舍）或〃?=4.

即应）|=4.

题型二平面向量数量积的应用

命题点I向量的模

例2（2023・新高考全国H）已知向量a,力满足。一切=小,|a+b|=|2a一例，则步|=

答案小

解析方法一因为|。+6|=|2〃一力|,

即（。+））2=（2。一力产，

贝a2+2ab+b2=4a2—4ab+b2,

整理得。2—2°心=0,

又因为|Q一"=小,

即3—））2=3,

贝功+/=/=3,

所以步|=小.

方法二设c=a—b,

则同=巾，a+b=c+2b,2a—力=2c+力,

由题意可得，（c+2b）2=（2c+勿2,

贝ijc2+4c-^+4Z>2=4c2+4cZ>+£>2,

整理得。2=〃，即步|=|c|=，l

命题点2向量的夹角

例3（2023•深圳模拟）已知©b为单位向量，且|3°—5切=7,则0与0一6的夹角为（

♦兀c27t入7T〜5冗

A3BTC6DV

答案C

解析因为以力为单位向量,

由|3。一5切=7,

所以（3。-56）2=4909/—30。功+25从=49,

即9—3（）。•力+25=49=06=-],

设。与a—b的夹角为。，

rm八"("一))。2-。力__________]Y0_____亚

2

32罚T两曰飞_2：(0+「,

又问0,兀],所以

命题点3向量的垂直

例4(2023・新高考全国I)已知向量。=(1,1),b=(l,-1),若3+劝)_1_(。+独),则()

A.2+〃=1B.4+"=—1

C.川=1D."=—1

答案D

解析因为。=(1,1),b=i\,—1),

所以。+劝=(1+21—z),a+"b=(l+〃,1—"),

由(。+劝)_1_(。+〃力)，

可得(“+动〉(“+〃〃)=(),

即(1+4)(1+〃)+(1—4)(1一")=0,

整理得”=一1.

命题点4向量的投影

冗

例5(1)已知向量4与5的夹角为3，⑷=2,步1=1,则向量4在力上的投影向量为()

A.bB.5C.aD.；a

答案A

解析由题意知，间=2,且向量。与力的夹角为三，

所以向量。在”上的投影向量为同cos〈a,b)1=尻

(2)已知。=(2,-1),力=(6,2),则，在。方向上的投影向量的坐标为.

答案(4,-2)

..a-ba2X6+(—1)X2

解析而.而=2?+(-1-R—1)=(4,-2).

思维升华(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=，^及(4±/>)2=同2±2“仍+协|2：

②几何法：利用向量的几何意义.

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：85夕=尚杰

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

a_Lb<=>〃》=0台I“一方|=|。+。|(其中QRO,力WO).

跟踪训练2(1)(2024•桂林模拟)若非零向量m力满足同=3|臼，(2a+3»_L5,则a与力的夹角

为()

.71c7T-2兀r57r

A6B-3CTDT

答案C

解析根据题意，设。与b的夹角为仇

因为(2a+3»_LA,

所以(2a+3b)功=0,

即2a必+3固2=0,

即2同步|cos夕+3|那=0,

又⑷=3血，

结合已知条件可知cos0=一3，〃£[0,兀],

故苴.

(2)(多选)已知向量。=(/",—1),8=(-2,1),则下列说法正确的是()

A.若m=1,则|。一例=*7?§

B.若。工b,则加=2

C."〃?<—，'是“。与6的夹角为锐角”的充要条件

D.若加=-1,则力在。上的投影向量的坐标为(一今一;)

答案ACD

解析对于选项A,因为加=1,所以。=(1,—1),又力=(-2,1),所以a—)=(3,—2),故

|«-Z>|=^32+(-2)2=<13,所以选项A正确；

对于选项B,因为a_LA,所以一2〃[-1=0,解得〃?=-所以选项B错误；

对于选项C,当。与〃的夹角为锐角时，由cos〈a,h)=j^i>0,得”•〃>(),

即—2m—1>0,得m<一'

当〃?v—3时，可得cos〈。：b)=j^|>0,而<mb}£[0,71],

又当。〃》时，，〃-2=0得m=2,此时。=(2,-1),

〃=(-2,1),a,6反向共线，

所以Q,b＞w(0,9,即“〃?＜一手’可以得出“。与力为夹角为锐角”，所以选项C正确；

b21

对于选项D,当〃?=一1时，＜7=(-1,-1),〃=(-2,1),力在。上的投影向量为黄看=、一

X(—1,-1)=(一1―1)，所以选项D正确.

题型三平面向量的实际应用

例6(多选)(2023•东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设

行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为尸”尸2,若向1=1尸小且人与尸2的夹角为

优则以下结论正确的是()

A.国的最小值为

B.6的范围为[0,B

C.当0=^时，|人|=乎|G|

D.当。=守时，|Fi|=|G|

答案ACD

解析由题意知，尸1+/2+G=0,

可得尸|十尸2=-G,两边同时平方得

|G|2=EF+IMF+2历||P21cos夕

=2|FI|2+2|FI|2COS仇

所以如尸=元悬而

当。=0时，|P||min='G|；

当。=冷时，尸4=堂|GI；

当。=当时，IB|二|G|,故A,C,D正确；

当。=兀时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，

所以0£[0,71),故B错误.

思维升华用向量方法解决实际问题的步骤

跟踪训练3长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度刃的大小|川二

10km/h,水流的速度丫2的大小Ml=6km/h,如图,设力和艺所成的角为。(0〈天江)，若游船

从A航行到正北方向上位于北岸的码头8处，则cos0等于()

北

-J~"东

河流两岸示意图

2344

----C--D-

A.5B.555

答案B

解析由题意知（也+畛>也=（）,

贝IvrV2+v2=|vi||v2|-cos夕+£=60cos<9+36=0,

3

所以cose=­g.

课时精练

知识过关

一、单项选择题

1.(2023・潍坊模拟)已知平面向量。与》的夹角是60。，且同=2,b=(l,2),则。(2。一份等于

()

A.8+2小B.4一小

C.8-小D.4+2小

答案C

解析由6=(1,2)可得固=小，

因为平面向量。与。的夹角是60。，且同=2,

所以a(2a—b)=2lal2—ab

=2|GF一|G||NCOS60°=8-A/5.

2.(2022•新高考全国H)已知向量。=(3,4),6=(1,0),c=a+th,若〈“，c)=(b,c〉，则r

等于()

A.-6B.—5C.5D.6

答案C

解析由题意，得。=。+活=(3+/,4),

所以®c=3X(3+/)+4X4=25+3h

"c=1X(3+/)+0X4=3+，.

因为〈a,c)=",c〉，

所以cos(,a,c)=cos(b,c〉,

^\a\\c\-\h\\cV

即W=3+,，解得，=5.

3.如图，/XABC,/XBO七都是边长为1的等边三角形，A,B,D三点共线,则疝•屈等于()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析根据题意可知，在△A8E中，计算得|丽=小，NE47)=30。，由数量积定义可得而•危

=丽|.|而cos30o=2X5X坐=3.

4.(2023•大同模拟)平面向量。与方相互垂直,4知。=(6,-8),|臼=5,且b与向量(1,0)的

夹角是钝角，则〃等于()

A.(—3,—4)B.(4,3)

C.(—4,3)D.(~4,—3)

答案D

解析设b=(xfy),

•・Z_Lb,.・・。6=61-8)，=0,①

•・》与向量(1,0)夹角为钝角，・・・K0,②

又仍+y=5,③

x=—4

由①②③解得c••”=(-4,-3).

产一3,

5.(2023•泰州模拟)已知平面单位向量a,b,c满足(a,b}=(b,c)=(c,a)=与，则

|3。+2力+c|等于()

A.0B.1C.y/3D.乖

答案C

解析•・•|3。+20+cF=(3a+20+4=9/+4从++12。仍+6a-c+4》c=3,工|3Q+2b+c|=

小.

6.(202?.佛山模拟浒/XA"。中，设|/12—屈*2=2痂.(充一京)，那么动点M的轨迹必通过

△ABC的（）

A.垂心B.内心C.重心D.外心

答案D

解析设线段8c的中点为。，则靠+危=2病，

因为|AC|2-\AB\2=2AM\AC-AB）,

所以（公+嬴）•（启一Q）=2病正，

即2Ab辰=2病•&?,

即正（Q/-病）=&;而=o,

即OM_L8C,

所以。M垂直且平分线段3C,

因此动点M的轨迹是的垂直平分线，必通过△ABC的外心.

二、多项选择题

7.已知向量。=（1,2）,6=（—3,⑼，则下列结论正确的是（）

A.若（1〃b,则〃?=6

3

--

B.若a_Lb,2

C.若|。一切=5,则加=一1

D.若〃i=—1,则向量a,b的夹角是普

答案BD

解析A选项，由。〃瓦得〃?一2乂（-3）=0,解得加=一6,则A错误；B选项，由a_L〃，

3

得lX（—3）+2〃?=0,解得阳=],则B正确；C选项，。一力=（1,2）一（—3,，"）=（4,2—“力

因为|。一力|=5,所以16+（2—〃。2=25,解得加=-1或/〃=5,则C错误；D选项，由〃?=

—1,得。2=（1,2>（—3,-1）=—3—2=—5,⑷g|=小><^/1^=56，则cos〈〃，力〉=j^|

=耒=一率因为3b>£[（）,nJ,所以<％b>=竽，从而向量明〃的夹角是苧，则

D正确.

8.（2024•亳州模拟）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则力•赢的可能取值

是（）

A.-2B.2C.4D.8

答案BC

解析如图，取A为坐标原点，48所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

易知正六边形的每个内角为120。,

所以NCAt=60。，

则A(0,0),5(2,0),C(3,巾),F(-l,®

设尸(x,y),则Q=(x,y),油=(2,0),

且一1<A<3.

所以/脑=(x,y)・(2,0)=2x=(-2,6).

三、填空题

9.(2024・曲靖质检)已知平面向量。=(一2,；.),万=(1,1),且Q_LZ>,则。一〃在》方向上的投

影向量的坐标为.

答案(-1,-1)

解析已知。=(一2,z),5=(1,1),

由于a_L。，所以°力=(-2)乂1+/1><1=0,

解得2=2,

所以。=(一2,2),得。一〃=(一3,1),

则Q—协力=(-3)X1+1义1=-2,

固=仃乔=啦，

故。一》在》方向上的投影向量为

(a-b)bb

\h\X(fT)・

10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤

盘中放入重量为60N的物品，在另一个秤盘中放入重量60N的砧码，天平平衡.3根组绳通

过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为尸I，尸2,尸3)，若3根细绳两两之间的夹角均为多不考

虑秤盘和细绳本身的重量，则人的大小为N.

答案1即

解析依题意，|尸1|=|尸2尸|户3|且附+乃+尸31=60,

所以|尸1+尸2+方3|2=|尸1|2+|「2|2+|正3|2+2尸|"+2尸2・尸3+2?3・尸1=3600,

即3|尸IF+3X2|BF><T=36OO,

解得|尸I|=10、R.

四、解答题

11.（2023・白银模拟）如图，在等腰梯形ABCO中，AB//CD,\AB\=2\DC\=2,/84。二1，E

是8。边的中点.

⑴试用赢，Q）表示泰，证;

(2)求加•恁的值.

解⑴/=Ab+5t=Ab+3k

~A]-►-►氐八十启+；制

AE=^(AB-\~AC)=

病,

^=AC-AB=AD^AB-Ah=Ab-^Ah.

一|(|/B|-|DC|)\___

(2)由题意可知，\AD\=----------=y=l,DB=AB-AD.

cos12

一一一一(3-1、

所以。BAE=(4B—AO)|JA8+5AOJ

3c1­►31->―►

=/A用2一引八。|2一4AzM。

=||Afi|2-1|Ab|2-1|AB||Ab|-cos|

31119

=-X4-^X\-^X2X\X-=-

12.（2023•青岛模拟）如图，正方形A8C。的边长为6,E是4B的中点，尸是BC边上靠近点

8的三等分点，AF与DE交于点M.

⑴求NEV"的余弦值;

(2)设赢/=济，求2的值及点M的坐标.

解(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系,

则。(()