2025年新高考数学一轮复习（基础版）球的切、接问题

§7.2球的切、接问题

【重点解读】与球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间

想象能力、计算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊

几何体来解决或转化为特殊几何体的切、接问题来解决.

■落实主干知识

一、正方体与球

1.内切球：内切球直径2R=正方体棱长a

2.棱切球：棱切球直径2/?=正方体的面对角线长出a

3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长小a

二'长方体与球

外接球：外接球直径2R=体对角线长痔声『3,b,c分别为长方体的长、宽、高）.

三、正棱锥与球

1.内切球：V正枝惟=：S表底力（等体积法），「是内切球半径，〃为正棱锥的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为凡半径为r,R2=（/LR）2

+户（正棱锥外接球半径为R,高为/?）.

四、正四面体的外接球、内切球

若正四面体的棱长为4,高为〃，正四面体的外接球半径为心内切球半径为八则力邛a,

球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.R2=

六、圆柱的外接球

阶+户（R是圆柱外接球的半径,力是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径）.

A

-

2

。

七、圆锥的外接球

R2=s—R）2+TR是圆锥外接球的半径，〃是圆锥的高，/•是圆锥底面圆的半径）.

■探究核心题型

题型一定义法

例I（1）（2023•南昌模拟）在四面体八ACO中，ZABC=ZBCD=90Q,AB=BC=CD=2,AD=

2小，则该四面体的外接球表面积为.

答案12兀

解析由题意得NA8C=N8CO=90。，AB=BC=CD=2,4。=2小，则从。=8。=2嫄，

所以4"+8。2=心，ABA.BD,

A.

O

BC

同理AC_LCO,

取AO的中点。，则O到八，B,C,。四点的距离相等，即。为四面体ABC。外接球的球心,

所以球。的半径尸怨=小,球。的表面积S=4nr=12n.

⑵（2023・貂关模拟）已知三棱柱A8C—4SG的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面

上，若4Ai=4C=2,AliA.BC,则此球的体积为.

答案叫

解析设△ABC的外接圆的圆心为。，半径为八球的半径为R,球心为。，

底面△A8C为直角三角形，故其外接圆圆心。在斜边中点处，则r=1,

又OQ=%4=1,在RtAOCD中，

R=、户+12=碑,V艰=pr/?3=8当儿

思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，喑助有特殊性底面的外接圆圆心，找

其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

跟踪训练1若一个长方体的长、宽、高分别为4,2,3,则这个长方体外接球的表面积为.

答案29兀

解析由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以（2/?尸=42+22+32=29,

29

所以7?2=彳,

所以外接球的表面积S=4JIR2=29兀.

题型二补形法

例2在三棱锥A-8CO中，侧棱AB,AC,4。两两垂直，△ABC,△ACO,△4。8的面积

分别为孚，孚，由，则三棱锥A—8C。的外接球的体积为（）

A.#兀B.2#兀C.3\6冗D.4水冗

答案A

解析在三棱锥A-8CO中，侧棱A8,AC,AO两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球

是同一个，长方体的体对角线就是球的直径.

设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a,b,<?,由题意得面=加，ac=小，bc=y[2,

根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，

可得（2/?尸=22+12+（小尸，

解得R2=2,

所以该四面体的外接球的表面积为S=4JIR2=8TL

题型三截面法

例3（1）（2022・新高考全国II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3小和4#,其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTIB.128兀

C.144兀D.192兀

答案A

解析由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为|义坐X3小=3,打冬＜4小

=4.

设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为。，。2,连接。1。2,则0。2=1，其外接球的

球心O在直线。|。2上.

设球。的半径为凡当球心O在线段0。2上时，/?2=3：+0。¥=42+（1—001）2,

解得。0|=4（舍去）；

当球心。不在线段01。2上时,R2=42+OO?=32+（I+002）2,解得0。2=3,

所以R2=25,

所以该球的表面积为4TC/?2=10071.

综上，该球的表面积为100兀

（2）在平面四边形44co中，AB=AD=CD=l,BD=®8O_LCD将其沿对角线8。折成四

面体A'BCD,使平面A'BO平面BCD若四面体A'BCO的顶点在同一球面上，则该球

的体积为（）

B.37tC~^~^D.2兀

JJ

答案A

解析如困，设BD,8c的中点分别为E,F.

因为点尸为底面的外心，则三棱锥4'—BCO的外接球球心必在过点尸且与平面

BCD垂直的直线八上.又点E为底面RtZ\A'8。的外心，则外接球球心必在过点E且与平

面A'8。垂直的直线/2上.所以球心为/|与12的交点.又正〃CD,co_L8D,平面A'BDL

平面8CO,平面A'BDC平面BCQ=BQ,所以/E_L平面A'8D所以球心为点F.又A'B

—A'。=1,所以又CD=I,所以球半径R=3-=^^.

故v与停卜季

思维升华与球截面有关的解题策略

(1)定球心：如果超内切珠，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的

距离相等且为半径.

(2)作截面：选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目的.

跟踪训练3⑴已知圆柱。。2的轴截面是边长为4的正方形，底面圆。2的圆周在球。的表面

上，球O被底面圆。।所在平面截得的是半径为2小的圆面，若点。在圆柱。iQ内，则球O

的表面积与圆柱。|。2的表面积之比为()

cc13-13-13

A.2B.-^-C.不D.五

答案C

解析由题意知圆柱。|。2的底面半径为2,高为4,

圆柱和球的轴截面如图所示，

02P=2,0笈=2小，

设球。的半径为R,

则0|。2=0］。+001=q0Q2—OIG+'OP?一=7R2—(2木)2+7R2-22=%

解得R=5,

2=

则球。的表面积与圆柱。。2的表面积之比为27tX2X4+2nX2^

(2)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为苧，两个圆锥的

高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为()

A.3兀B.4兀C.9冗D.12兀

答案B

解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，设圆锥A。和圆锥8。的高之比为3：1,

即AD=3BDt

设球的半径为R,

所以A8=AQ+4O=45O=4,

所以BD=1,40=3,

因为CQ_LA8,A3为球的直径，

所以△ACOS/\CB。，

所以卷色=5^，所以CD=«AD.BD=y[^,

因此这两个圆锥的体积之和为

；兀XCD2(AD+BD)=|nX3X4=4兀

课时精练

一、单项选择题

1.若正方体人8CQ-A用iGOi的棱长为2,",N,P,Q分别为棱8波，BC,C|D|,0Ml

的中点，则四面体MNPQ的外接球的半径为()

A.^2B.2C.1D小

答案A

解析设正方体4BCO—力阳GD的中心为0.

/).PC.

则易得()M=ON=OP=0Q=巾.即四面体MNPQ外接球的半径为，5.

2.已知在三棱锥尸一中，AC=巾,BC=1,AC_L3C且%=2PB,PB_L平面ABC,则

其外接球体积为()

A.当B.4兀D.4小尤

答案A

解析AB=yjAC2+BC2=\[3,

设P8=/?,则由%=2PB,

可得勺3+3=24,解得〃=1,

可将三棱锥「一48c还原成如图所示的长方体，

则三棱锥P-4BC的外接球即为长方体的外接球，

设外接球的半径为七

则2/?=、|2+（6）2+]2=2,R=I,

所以其外接球的体积1/=强3=与.

3.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1,则圆锥的体积为（）

A.7tB.27rC.3nD.47r

答案C

解析过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆和外接圆。。2,且两圆同圆心，

即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，

由题意得。a的半径为r=l,

」.△ABC的边长为2小,

工圆锥的底面半径为小，高为3,

:.V=1x7iX3X3=37t.

4.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧楂与底面垂直，一个体积为47节r的球体与棱柱

的所有面均相切，那么这个三楂柱的表面积是（）

A.6小B.12小C.18小D.24小

答案C

解析根据已知可得球的半径等于1,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆的半径等于1,

即底面三角形的高等于3,边长等于26，所以这个三棱柱的表面积等于3X2小X2+2><T

X273X3=1873.

5.（2024・晋城模拟）如图，已知长方体ABCD-Ai8cid的体积为16,AB=2AA}=2BC,ADi

与AiD相交于点E,则三棱锥E-ACD的外接球的表面枳为（）

A.12兀B.167rC.20兀D.36兀

答案C

解析方法一设A8=2A4=28C=2x,

则由长方体的体积公式.

得2AWK=I6,解得x=2,

所以A8=2/Ui=2BC=4,

由题可知，四边形AOQiA为正方形，

所以AE工DE,

所以△E4。外接圆的圆心为4。的中点，记为点M,如图,

又△ACO是直角三角形，同理△ACO外接圆的圆心为人C的中点，记为点N,过点M,N分

别作平面AOE与平面48的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N,所以三棱雉E—4CQ

的外接球的球心是AC的中点N.

又AC=2小，

所以外接球半径R=^AC=y[5,

所以外接球的表面积为4TCR2=20H.

方法二设4B=2AA|=2BC=2t,

则由长方体的体积公式，

得2x,x・x=16,解得x=2,

所以AC=2小.

由题意得，四边形ADGAi为正方形，

所以AE=DE,

如图，将三棱锥七一4。。补充为正四棱柱EAFD-EMC,

则三棱锥E-ACO的外接球，即为正四棱柱EAFQ-EBRC的外接球，AC为外接球的直径.

所以外接球的半径R=%C=小,

所以外接球的表面积为4nR2=20n.

6.（2022•全国乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的

球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

1厂亚c巫

AA.§B，2C.D.2

答案C

解析该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最大.

设圆锥的高为〃（0。＜1）,底面半径为广，

则圆锥的体积V=^nrh=^Ti（I—h2）h,

则9=1n（l-3A2）,

令V'=%（1—3序）=0,得力=坐，

所以V=%（1-/«）/?在（0,坐）上单调递增，

在（乎，I）上单调递减，

所以当〃=卓时，四棱锥的体积最大.

二、多项选择题

7.（2023•全国甲卷改编）在正方体ABC'O-A]81Goi中，A8=4,7为AC'i的中点,若该正方

体的枝与球O的球面有公共点，则球。的半径可以是（）

A.2B.2^2C.3D.3小

答案BC

解析如图，设球。的半径为R.

当球。是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球O的半径最大，若半径

变得更大，球。会包含正方体，球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径2g为体对角线长

AC\=W+42+42=4小,

即2R'=4小，R1=2小，

故Rmax=2小；

分别取侧棱AAi,BBi,CCi,QQi的中点M,H,G,N,连接MH,HG,NG,MN,MG,

显然四边形MNGH是道长为4的正方形，且O为正方形MNG”的对角线MG的中点，

则MG=4，5,当球。的一个大圆恰好是四边形MNG〃的外接圆时，球。的半径达到最小,

即小加=2也.

综上，R口2®2731.

8.已知三棱锥。一44。的四个顶点都在球。的表面上，出_L平面A8C,必=6,ABLAC,

A4=2,4c=2小，点。为A3的中点，过点。作球。的截面，则截面的面积可以是（）

A.］B.7TC.9兀D.137r

答案BCD

解析三棱锥P—A8C的外接球即为以A8,AC,4尸为邻边的长方体的外接球，

:.2R=q0+2’十（2小）’=2仃,・・・R=5,

取3C的中点。|,

••・0i为△ABC的外接圆圆心，

・・・00i_L平面A8C,如图.

当。。_1_截面时，截面的面积最小，

•・・o£）=g。。彳+01》