2025年高一数学暑假作业15：摸拟自测题（北师大版）含解析

高一暑假作业15：开学前摸底考试（北师大版）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2025•广东省•月考试卷）复数z满足i/=7+,•,则|z|二（）

A.75B.y/2C.1D.2

2.（2025•四川省•模拟题）已知集合A={-1,0,1,2},集合B={y|y=|x|,xcA},则3=（）.

A.{-1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

3.Q025•湖北省黄冈市•月考试卷）已知命题p：rxeR,/+N-Q?。，若命题〃是假命题，则实数〃的取

值范围是（）

A.{aa4:}B,卜卜<[}

C.,aa<；或°>0）D.<aa<；或6》（）}

4.（2025•上海市•月考试卷）已知事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示“3粒种子都不发芽”，则

M和N（）

A.是对立事件B.不是互斥事件

C.互斥但不是对立事件D,是不可能事件

5.（2025•北京市•模拟题）在△ABC中，角A,B,5的对边分别为a,b,c,若

c-acosA=（2〃-Z?）cosA,则&ABC的形状为（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形

6.（2025•安徽省•期中考试）如图，矩形0"8'。'是用斜二测画法而出的水平放置的一个平面四边形OABC

的直观图，其中O'A'=4,O'C'=1,那么。。43C的周长为（）

A.10B.8C.14D.872

7.（2025•四川省绵阳市•模拟题）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率4约等于

希355，和乃相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知"的近似值还可以表示

7T\/16—7T2

成4sin52°，则~~~不二一5的值约为（）

cos13.5°+sin13.5°--

4

1

A.-32B.----C.32D

32

8.（2025•江西省南昌市・期中考试）已知平面向量N、6、?满足：少与的夹角为锐角.|才|=4,b=2,

同=1,且B+闻的最小值为5向量卜-扣）.（工-5）的最大值是（）.

A.1B-3+2夜C.3D.3+2百

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2025•广东省•月考试卷）下列关于儿何体的描述第像的有（）

A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

C.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形

10.（2025•广东省•单元测试）将函数/（x）=3sinx的图像先向右平移（个单位，再把所得各点的横坐标变为

原来的g倍（纵坐标不变）得到函数冢外的图像，则函数g（x）的（）

A.周期是万B.g。）在（。，巳）上单调递增

2

C.函数关于点（-£,0）对称D.图像关于直线工==对称

33

11.（2025•广西壮族自治区河池市•月考试卷）在△45C中，角A,B,C对边分别是小b,c,且

cos2B+cos2C-cos24=1—sinCsin13,则下列说法正确的有（）

A/427r

A”一

B.若一三=—J,则△ABC是等边三角形

cosBcosC

C.若AABC的面积为2g,则AABC的外接圆半径的最小值为2G

4

D.若△A3C是锐角三角形，则g的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2025•广东省・期中考试）已知向量2=（2,5）,白=（尢4）,若,贝.

13X2025•浙江省•单元测试）某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新

生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮

球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为〃?，g,〃，己知三个社团他都能进入的概率为至

324

少进入一个社团的概率为3,则加+”=.

14.（2025•广西壮族自治区•单元测试）已知定义域为［-5,5］的奇函数/（幻的图像是一条连续不断的曲线.对

Vx,々€（。，5］，当\</时，总有生”>生°，则满足⑵"1）/（2〃?—”,（/〃+4）/（〃?+4）的实数〃?的取

值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（2025•河北省•月考试卷）（本小题13分）

近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析，生产

手办全年需投入固定成本12万元，生产M千件）手办，需另投入成本C（x）（万元）.且

12+£,0V£<6

10（）’，由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销

10N+-------40,126

（工

售完.

⑴求出2024年的利润心。）（万元）关于年产量M千件）的表达式:

（2）2024年的年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？

18.(2025•山东省・期中考试)(本小题17分)

《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖躺”，这里所谓

的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P-ABC力为阳马，抬_1_底

面ABCD.AB=®，P4=4。=1,£F分别为AB,PC的中点.

⑴证明：EF〃平面PAD；

(2)证明：E/JL平面PCQ；

⑶求直线BF与平面A8C。所成角的大小.

19.(2025•全国・期末考试)(本小题17分)

对于两个平面向量不，〃，如果有力.了一NW〉0，则称向量3是向量方的“迷你向量”.

⑴若虎=(l,x),才=(2,1-工)，玩是万的“迷你向量”，求实数x的取值范围；

(2)一只蚂蚁从坐标原点0(0,0)沿最短路径爬行到点N(〃E)处S£N且〃..2).蚂蚁每次只能沿平行或垂

直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为R(1(i<2n),设MM—1,0).记事

件7=“蚂蚁经过的路径中至少有〃个4使得0M.是的迷你向量”•（假设蚂蚁选择每条路径都是等可

能的）

①当〃=3时，求/T）；

②证明：口

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查复数的四则运算，考查复数的模，考查简单的运算能力，属于基础题.

由题复数Z满足＞2=-1+"可得Z=±二=1+"计算求解即可得到|Z|.

I

【解答】

解：由题更数Z满足i・z=—l+"

可得z=±二=l+i,

i

...|Z|=«+12=夜,

故选B.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查元素与集合的关系，属「基础题.

根据集合8={y|y=|x|/eA},求解B中的元素，可得集合B.

【解答】

解：集合A={-l,04,2},集合8={y|y=|x|,xeA},

因为丁=|x|,所以当％=—1、1时，5=1；当x=0时，y=0；当x=2时，y=2.

故集合5={0,1,2}.

故选：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了含有量词的命题的否定，一元二次方程有解的条件，属于中档题.

将全称量词命题转化为存在量词命题，根据为真命题可得△=1-4〃.0,解出即可.

【解答】

解：命题〃：VXG/?,/+①+仅/）为假命题，

则T7：W/?.«+/+。=。为真命题，

所以只需△=1-44.0,解得

故选：A.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查互斥事件与对立事件，属于基础题.

利用互斥事件和对立事件的定义求解即可.

【解答】

解：事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示“3粒种子都不发芽”，

所以事件M和事件N不会同时发生，是互斥事件，

因为3粒种子可能只发芽1粒，

所以事件M和事件N可以都不发生.，则M和N不是对立事件.

故选：C.

5.【答案】D

【解析】解；由正弦定理一--=—--=--—得sinC—sin/AccsZ?—2sinAssA-sinZ?cosA,

sinAsinBsinC

所以sin(A+B)-sinAcosB=2sin4cosA-sinBcosA,

故cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinA=sinB，

即A='或A=8,

2

故AA3C为直角三角形或等腰三角形.

6.【答案】C

【解析】解：依题意，还原得到原图，如图，

设直观图中BC,与轴交于D，

则。力'=瓜6d=x/2，C'D=o'c'=b

则。0=2后，CD=1,

则。。=«£>2+。。2=3,

又。4=0/=4，

所以口。48c的周长为14.

故选：C

7.【答案】C

7V\/16—7T2

【脩析】解：将7r=4sin52^RAcos435o+sin435o3,

4

7FV16—7T2

可得13

cos*43.5°4-sin13.5°--

4

4sin52°•4cos52。_______

22

/I+cos7°\/I-cos7°）V-43

8sin1040

1COS27°-7

24

8sin104。

7（1+cos14。）一；

44

=4=32.

-cos14°

故选：c.

8.【答案】。

【解析】解：由题|了+汨=|甫+2W7+产同2,

因为1引=4,出|=2,所以|了+㈤2=2?+2胃•了t+产x42=16产+2才•了t+4，

因B+M最小值为G，且由二次函数分析可知，当:一笠‘=_工话工时，|了+£才『取得最小值,

所以I了+加2”血=16(-可：+2K.1(-可)+4=-叵*+4=(4)2,解得不％=±4，

161616

乂因为力与归的夹角为锐角，所以不.石=4,&r=--=--，

164

因为(W-ia*)-(c*-*?)=c*2-T-c*-1a*-c*+1a*•T=c*2+•T-+了).7*,

又有I；下+了|=+了)=yjfl>2+fl*-T4-T"=J；x4・2+4+22=2小，

1^i-i

将模长代入(c一一d)(c-b)=c~-^-db-(-d+b)c

222f

设e=〈、+了,工〉，

即原式=~^2+1才-T—|ia*+Tll'c*!cos0=I24-^x4—2v3x1cos0=3—2\/3cos9,

因为cosOeLTJ,所以(下一；下).(下_了)e卜_2遮,3+2通］,

因此年一；乃•(”■)的最大值为3+26.

故选：D.

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查棱柱、棱台、棱锥的结构特征，属于基础题.

根据题意，结合棱柱、棱锥和楂台的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解.

【解答】

解：对于A,有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的两个扣在一起的斜棱柱组成的多面体就不是棱

柱，所以A错误；

对于&有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体，只有各个梯形的腰延长交于一点时，该多面体才

是棱台，所以B错误：

对干C,长方体是四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体，所以C错误；

对「。，根据正楂锥的定义，可得正楂锥的侧面是全等的等腰三角形，所以。正确.

故选：ABC.

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用，也考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属

于基础题.

直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的图象和性质的应

用求出结果.

【解答】

解：函数/(©=3sinx的图像先向右平移(个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的g倍！纵坐标不变

),得到函数g(x)=3sin(2x-g)的图象.

27r

所以函数的最小正周期为——二万，故A正确；

2

令：一2+2人西必x—匹2k7r+—(kGZ),

232

解得心)单调递增区间是伙乃一专,氏+甘伏£Z),故B错吴

令：X=-军时,可得gT)=3sgr)=0,故C正确；

33

令：x=—,可得g(曰)=3sin(2xW^-g)=3sin;r=()w±3,故。错误.

故选：AC.

11.【答案】BD

【解析】解：由cos2B+cos2C-cos2A=\-sinCsinB，

可得1一sin2B+1-sin2C-1+sin2A=1-sinCsinB=>sin2B+sin2C-sin2A=sinCsinB，

则由正弦定理边角互化可得。2+c^a2=hct

b2+c2-a2_1

对于A,由余弦定理可得cosA

~lbc~~2

又,4W(0,7T),则N4=2,故A错误:

J

h

对于以因

cosBcosC

则bcosC=ccosB,

由正弦定理得sin3cos。-sinCcos8=0=>sin(B-C)=0,

则/8=NC,结合N4=J可得△ASC是等边三角形，故E正确;

tj

对干C,因“1BC的面积为为§,结合=

43

则*sin4=

I)c

由正弦定理得，^—=^—=2n,R为外接圆半径,

sin13smC

be_9

则4H2=

sinDsinCsinBsinC

对于sinBsinC,

i1「113

由枳化和差公式得sinOsin。=-[cos(B-C)-cos(Z?+C)]=-cos(Z?-C)+-W二，

222J4

当且仅当3=C时取等号，

则4咫=.故C错误；

sm13smC3

对于。，由正弦定理边角互化可得:

b_sinB_4丁-.)_苧cosC+；si】】C_迎

11,

------十—

csinCsinCsinC2tanC2

因.AAC是锐角三角形，则＜

故。正确.

故选：BD.

12.【答案】-

5

【解析】【分析】

本题考查向量平行关系的坐标表示，属于基础题.

根据向量平行关系的坐标表示可得关于2的方程，再求出2即可.

【解答】

解：因为日=(2,5),6=(九,4),a//b,

Q

所以8-54=0,解得几=W.

Q

故答案为：

J

13.【答案】-

4

【解析】【分析】

本题考查的是互斥事件与对立事件，相互独立事件同时发生的概率等知识.

已知三个社团都能进入的概率为，”X：X〃=三，至少进入一个衽团的概率为一，所以一个社团都没能进入

3244

312

的概率为1一二HTKi-Mx,xa-m,由此求解即可.

443

【解答】

解：由题知三个社团都能进入的概率为

24

BPx-x//=—=>mn=-,①

3248

又因为至少进入一个社团的概率为3,

4

所以一个社团都没能进入的概率为13二1:，

44

213

H|J(I-〃?)x-x(1-〃)=—=1-一〃+mn=—,②

348

3

由①②可得〃z+〃=一.

4

故答案为三3.

4

14.【答案】［TJ

【解析】【分析】

本题主要考查函数单调性、奇偶性的综合应用，利用函数的单调性解不等式，属于较难题.

结合已知不等式考虑构造函数8(幻=犷"),然后判断双外的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可

求解不等式.

【解答】

解：定义域为15,5］的奇函数/(<)的图像是一条连续不断的曲线，

对y*,X,G(0,5］,

、匕.《、.肚M右/G)

当占〈占时，总有----->-----,

所以&f*2)>玉/(为)，

令g(x)=MXx)，

则g^Aga),

即g(x)在(0,5］上单调递增,

因为/(一幻=一/(幻，

所以g(-x)=-xf{-x)=xf{x}=g(x),

即g(x)为偶函数,

因为(2〃L1)/'(2〃L1),,(〃?+4)/(o+4),

所以g(m+4),

-5碗m-15

所以--5轰柄+45,

|2m-l|„|m+4|

w7/zN3

w7/2N1

5

47/z2

解得一啜场1,

故m的范围为［TJ.

故答案为：「1,1〕.

15.【答案】解：⑴当。vxv6时，L(x)=9x-(x2+x)-12=-x2+8x-12；

当工..6时，£@)一9z-(1()工十学-40)-12——(工十当)十28,

一/+8工-12,0<1<6

所以利润〃x)关于年产量x的解析式为L(z)=

—(14----)+28,x26

(2)若0vxv6,则L(N)=-x2+8x-12=-(x-4)2+4,

所以当x=4时，利润的最大值为〃吐归=4万元；

若X..6,则L(x)=—(ar+竺+28W—2^x•4-28=8»

当且仅当％=些时，即1=10时，利润取得最大值为〃叫的=8万元，

X

因为8>4,

所以2024年的年产量为10千件时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.

【解析】本题考查了利用分段函数模型解决实际问题，二次函数的最值，由基本不等式求最值或取值范

围，属于中档题.

(1)分0vxv6和X..6两种情况，得到函数解析式；

(2)当()vx<6时，利用函数单调性得到当x=4时，乙(乃“皿二4万元，当X..6时，利用基本不等式求出

L(i)nmx=8万元，，比较后得到结论・

16.【答案】解：⑴因为/(z)=logjl-x)-logfZ(6+a:)+m(a>0且awl),

'1_>()

所以<T可得：

0+rr>U

因为了。)为奇函数，

所以―/?+1=0,即〃=1,

所以/3)的定义域为(T,D,

由f(0)=。可得：帆=0,

所以f(x)=loga(l-x)-logfl(l+x),

此时/(一①)=log„(l+/)-1%(1-X)=一/(£),/(-V)是奇函数,符合题意.

I—x2

(2)/3)=log„(l-X)-logjl+2T)=log”――=log(-l+■——),

1+Xf|N+1

①当。＞1时，函数y=/(幻单调递减，

131

所以/(叽蚁=/(-9)=1呜弓一嗨弓=嗨3,

4N4

11Q1

〃叽m=Zb)=log”,Tog”,=嗨干

ZZZO

所以-/(N)min=心为3-log”:=log„9=2,

解得a=3.

②当Ovavl时，函数y=/@)单调递增，

1131

所以〃l)max=/(p)=-啮5=loga«»

zzzo

131

/(^)nnn=/(R)=嗨］-嗨厂嗨3,

所以八叽ax-f(X),nin=l°Sag一嗨3=反=2»

解得a

3

综上，a=，或a=3.

3

【解析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，对数函数的单调性与最值，对数函数的定义域、值域、复

合函数的单调性，是中档题.

⑴直接根据奇函数的定义域关于原点对称求得江再由/(。)=。求得〃7,再验证即可；

(2)对。进行分类讨论，结合函数的单调性以及最值求得几

17.【答案】解:⑴向量丽=3,®),"(cosAsinB),

因为加//万，所以QsinB—\/3bcosA=0»

由正弦定理，得sin4sinB—后sinAcosA=0，

•.♦Be(O,7),/.sinB>0»

/.sinA=GcosA»/.tanA=75»

VAG(O,TT),A为△AAC的内角，

所以A=J

3

(2)由余弦定理,得az=b~+c~-2/?ccosA,

己知a—\[\3yb=3,

：.c2-3c-4=0，

(c-4)(c+1)=0,

因为c>0,.\c=4,

则S=-Z?esinA=3V3；

2

222

(3)a=b+c-2〃ccosA，

Ir+c2=Z?c+4，(b+c)2=3bc+4,

S+c)2

♦・•be,,---,

4

，i2&R+4，

4

(b+c)2„16,

,./+c>0,/.〃+G,4,当且仅当力=c=2时，等号成立，

+c的最大值为4.

【蟀析】详细解答和解析过程见【答案】

18.【答案】解：⑴证明：作PO的中点连接AM、M厂,

由M、F得分别为PD、PC的中点,

所以用产〃。C且用b二二。c,

2

又因为A石〃。。且所以M产〃AE且叱=AE，

2

所以四边形AMFE为平行四边形，所以£尸〃4W,

因为AMu平面PAD.EF，平面PAD,所以EF〃平面PAD

(2)证明：囚为4?=入，所以40_1_产7),

因为P4_L底面44co，而COu底面A8CO,所以Q4_LCC>,

又因为CO_L4DP4AOU平面PAO,且Q4cAT)=A,

所以CD_L平面PAD,而AMu平面PA。，

所以C7)_LAM,

因为所〃AM,AMLPD,所以。£>_1_七尸，EF±PD,

又因为尸DeCO=。,PRC£>u平面PCD,

所以石尸_1平面PCD；

⑶连接AC,8。交于点O,连接OR

C

因为点。F分别为AC,PC的中点，

所以OF〃PA,

所以.平面A3CD,

所以40为BF在平面ABCD中的射影,

所以与平面ABCD所成角为ZFBO,

由己知得BO=]-BD=\\/AB24-AD2=卫.OF=1

2222

所以tan/F3O=容，

J

因为NF3O为锐角，所以