2025年人教A版必修第一册《第五章 三角函数》单元测试卷（B卷）含解析

人教A版)必修第一册《第五章三角函数》2025年单元测试卷

(B卷)

一、单选题

1.已知cos(508。—a)=9则cos(212。+a)等于()

JLO

512512

AA-T3B-13C13Dn13

2.已知sEa4-cosa=则sin2a的值为()

8

-

A.9

3.已知角a是第四象限角，且满足sin噂+a)—3cos(a-TT)=1,则tan("a^()

A.73B.-y/lC.苧D.-?

4.已知Vasina=sin(a-则sin2a-2cos2a=()

A.7B.--C.-TD.-〈

4242

5.要得到函数y=g(x)的图象，只需先将函数y=/"(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的;(纵坐标不

4.

变)，再将所得图象上的所有点()

A.向左平移自个单位B.向右平移专个单位C.向左平移沙单位D.向右平旌

个单位

6.如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角》的始边为射线04终

边为射线。P，将△P0A的面积表示为％的函数/(%),则y=/(x)在［-兀,句上的图象大

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7.已知锐角a满足cos(a+9)=,，则sin(2a+g)=()

A12,12厂24p.,24

A-25BD±25C-25D±25

8.已知函数/(%)=cosxsin2x,下列结论错误的是()

A.函数y=f(x)的图象关于点(7r,0)中心对称

B.函数y=/(乃的图象关于直线X=涧•称

C.函数y=/(%)的最大值等于1

D.函数y=/(%)既是奇函数，又是周期函数

9.已知函数/a)=sin(s:+»其中3>0.若函数/(乃的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于会将函数

/Q)的图象向左平移m个单位后对应的函数是偶函数，则最小正实数m=()

A.yyB.C.-D.71

1.4OJL

10.已知函数/(%)=Asina)x(A>0,3>0)与g(x)=^coscox的部分图象如图所示，贝U()

BM=2,3*C,A=1,(^=1DM=2,34

二、多选题

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11.将函数y=4s段的图象向左平嘴个单位长度，再将横坐标缩短到原来的看得到函数y=世）的图象,

下列关于y=f（无）的说法正确的是（）

A.y=/（x）的最小正周期为47r

B.由/（勺）=/（不）=0可得/-4是汗的整数倍

C.y=/（%）的表达式可改写成/（x）的表达式可改成/（%）=4cos（2x-”

D.y=/（x）的图像关于（-90）中心对称

O

12.下列三角函数值的符号判断正确的是（）

A.cos(-280°)<0B.sin500°>0C.tan(一郊)>0D.tan誉>0

81L

13.下列各式中，值为的勺是（）

tan22.5°

A，l-tan222.5°B.tanl5°•cos215°

一2nV3.2nD•++号

C-TC0Sl2--S，n12

14.函数y=4sin（3X+>）（4>0,Q）>0,0<w<TT）在一个周期内的图象如图所示，则（）

B.该函数的对称中心为（k7r-?,0）,kez

C.咳函数的单调递增区间是［3时一受3Er+Jkez

D.把函数y=2sin（%+⑤的图象二所有点的横坐标变为原来的半纵坐标不变，可得到该函数

三、填空题

15.已知cosa=e(0,y),则cos(a-?)=______.

/4J

ioA

16,一&448c中，已知cosH=—,cosB=—,则cosC=____.

17.在△ABC中,tanA,tcm8是方程3炉+8%—1=0的两根，则tanC=

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四、解答题

18.已知函数/(x)=V_3cos2x+sinx-cosx—

⑴求函数/(x)的最小正周期T和函数/(x)的单调递增区间；

(U)若函数f(%)的对称中心为Q0),求［0,2力的所有x的和.

」,sin(7r-tr)cos(a—^cosfTr+cr)

19.已知/(a)=sinG+a)cos(/a)tan(37r+a)・

(1)化简/'(a);

(2)若a是第三象限角，且sin(7r+a)=：,求/(a)的值.

20.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四

周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,设置有48个座舱，开启时按逆

时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30771出.

(1)游客甲坐上摩天轮的库船，开始转动tmM后距离地面的高度为"m,己知”关千t的函数解析式满足

H(f)=Asin(a)t+(P)+8(其中力>0,(J>0),求摩天轮转动一周的函数解析式，(七)；

(2)若甲、乙两人分别坐1号和9号座舱(即甲乙中间间隔7个座舱)，在运行一周的过程中，求两人距离地

面的高度差八(单位：m)关于t的函数解析式，并求高度差的最大值.

21.已知某地一天从4〜16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin(1x-y)+20,xG[4,16].

(I)求该地区这一段时间内温度的最大温差；

(II)若有一-种细菌在15久到25久之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？

22.已知函数f(x)=sin3%+9)(0<cp<等的最小正周期为兀.

(1)求当/(%)为偶函数时"的值：

(2)当a>0时，若/(无)的图象过点(也苧)，求/1)的单调递增区间.

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23.已知cosa=2cos(a+/?)=Ra,/?均为锐角.

(1)求sin2a的值；

(2)求成印的值.

24.如图，在平面直角坐标系％0y中，弁ja的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于力(1,0)点，它的终

边与单位圆相交于X轴上方一点8,始边不动，终边在运动.

⑴若点B的横坐标为-右求sina的值：

(2)若△AOB为等边三角形，写出与角a终边相同的角。的集合；

(3)若aw(0,副，请写出弓形718的面积S与a的函数关系式(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图

形).

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】因为cos(508°-a)=cos(360°+180°-32°-a)=cos[180°-(32°+a)]=-cos(320+a)=合

JLO

所以cos(212°+a)=cos(180°+32°+a)=—cos(32°4-a)=y|.

故选：0.

2.【答案】B

【解析】vsina+cosa=

:.(sina+cosa)2=

•••14-2sinacosa=

sin2a=—8

9

故选:B.

3.【答案】A

【解析】由sin(丁+a)-3cos(a-TT)=1,

得-COSQ+3cosa=1,即cosa=

•••角a是第四象限角，

:.sina=—V1—sin2a=—等.

tan(7r-a)=—tana=—=s/-3.

'7cosa

故选:A.

4.【答案】D

【解析】因为Ylsina=sin(a—

所以Vasina=^sina-乎cosa,

所以tana=-1,

222

所r.-以以九?2a—2ccos2a=-sin7a-^2c7os7a=tana-2=-T1

故选：D.

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5.【答案】D

【解析】由题图知：/(x)=2sinx,g(x)=2stn(a)x+@)且3>0,

对于g(x)：7=包=?一(一晟)=4，故3=2，则g(x)=2sE〔2x+9)，

(JL)33

又=2sin(?+邛)=0,则)+W=2TT,kEZ,故<p=lor-与kEZ,

由图知：合是%轴正半轴上第一个零点且在增区间内，不妨令w=-基故g(x)=2s出(2%

所以，y=/(%)所有点的横坐标缩短到原来的则y=2s»2x,

再将y=2sin2%右移汐单位,y=2sin2(x一*)=2sin(2x-j)=g(x).

故选:D.

6.【答案】A

【解析】在直角三角形OMP中，0P=0A=l,^POA=x,

:.S&POA=1x1xIsinx=1\sinx\,

.•./-(x)=||sinx|,其周期为丁=冗，最大值为今最小值为0，

故选：A.

7.【答案】C

【解析】

a+G(^,^)»

•••sin(a+^)=J1-cos2(a+

则sin(2a+g)=2sin(a+1)cos(a+1)=21-|=||,

故选C.

8.【答案】C

【解析】对于力，/(X)+/(2TT-x)=cosxsin2x+COS(2TT-x)sin2(2n-x)=cosxsin2x-cosxsin2x=0,

••./(%)的图象关于点(TT,O)对称,即A正确;

对于B,v/(7T-x)=cos(?r—x')sin2(n—x)=­cosx•(—sin2j)=/(x)»

：•/(%)的图象关于直线》=］对称，即B正确；

对于C,|cosx|工1,\sin2x\<1,二者不能同时取到等号，

无论"取什么值，/(%)=cosxs012%均取不到值1,故C错误：

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对于D,•••/(x)=cosxsinlx,/(-x)=cos(—x)sin2(—x)=-cosxsinlx=—/(%),

/(x)是奇函数；

又/(%+2TT)=cos(x+2n)sin2(x+2n)=cosxsin2x=/(x),

是周期函数；

.•./(x)既是奇函数又是周期函数，即。正确.

综上所述，结论中错误的是C

故选：C.

9.【答案】A

【解析】依题意函数/(支)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于g可得，y=p

根据周期公式7=型可得3=3,

0)

••./(%)=sin(3%+今).

函数/(%)的图象向左平移m个单位后所对应的函数g(x)=sin[3(x+m)+*]=sin(3x+3m+；).

当且仅当3m+?=k7r+5(kWZ),即m=等+工(k£Z)时，g(x)是偶函数，从而，最小正实数m=工.

故选：A.

10.【答案】B

【解析】由图象可知，=；=1.5,

二/=2,7=6,

又6=T=2，

(0

1

；•0)=-7T>

故选：B.

11.【答案】CD

【脩析】由函数y=4s》x的图象向左平移2个单位长度，再将横坐标缩短到原来的与可得函数y=/(%)=

4sm(2%+

可得函数的最小正周期7=半=7T，所以A不正确；

8中，/(/)=/(%2)=0,可得4sin(2%+弓)=0,可得2x+^=kn,BPx=一，+所以小一次=吗”几,

当A1，七都是偶数或都是奇数时，/-42为7T的整数倍，当自，B一个偶数一个奇数时，石一功不是〃的整

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数倍，所以/?不正确;

C中，/(x)=4sin(2x+?)=4cos(2x+=4cos(2x—?)♦所以C正确：

。中，函数的对称中心满足2x+£=kn，/cEZ,可得％=-%+1，k6Z,显然当k=0时，对称中心为(—5,0),

所以。正确；

故选：CD.

12.【答案】BD

[解析]cos(—280°)=cos(-360°+80°)=cos80°＞0,故/错误；

sin500°=sin(360°+140°)=SIE140°,140。是第二象限角,则s出140。＞0,故8正确;

tan(—=—tan^»0V萼■＜，=[,”是第一象限角，则tan得＞0,则tan(—1)VO,C错误;

ooooZooo

也需=tan(4?r+招)=tan招＞0,故。正确.

故选：BD.

13.【答案】AC

【解析】对于4罂焉=9部券斗加45。］故/正确,

tanl52

对于B：°,cos215°=需-COS150=SM15%OS15。=封n30。=；,故8错误;

■cos?.一苧sir^a=?xcos.=2，故C1E确;

对于C：

J1Z31ZDOL

_(如50。+4SE50。)_25皿50。+30。)_1痂八姚•皇

对于D：4缶二16sin500cos50°--8stnl00°一—敢〃干曰庆;

故选:AC.

14.【答案】ACD

1712{2]

4x7r--\=37ry=2sin—x+(p

0)=——=—13J,代入

【解析】由图可知力=2,函数的周期为4，故3兀3.即

色，212=2sin(2xZ+e]=sin(卫+。

\

346

最高点(4)有V7V

271

—+(p=—=(p=—y=2s\n(33

因为623.故.故A正确.

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对B,y=2sin-x+—的对称中心：一x+2=4乃=＞工=二2乃一生.故该函数的对称中心为

(33J3322

ATE——GZ.故B错误.

对C,单调递增区间为2劝r-工＜2x+±42kr+£,解得xe3布1一芈,3也+与，2£〃故c正确.

2332L44J

对。，把函数y=2sin[x+^]的图象上所有点的横坐标变为原来的?，纵坐标不变，可得到

、3J2

(27T\

y=2s\n一1+―.故。正确.

(33；

故选ACD.

15.【答案】

【解析】解已知cosa=W(0《)，

所以：sina=V1-cos2a=弓之

则：cos(a-^)=cosacosJ+sinasin[=圣

故答案为：M

16.【答案】一扇

【解析】△4BC中，A+B+C=n,故力，B,Ce(O,zr),

因为cosA=cosB=与所以sin/l=V1-cos2/l=-^-,sinB=V1-cos2B=鸟

…515128

所以cos。=cos(zr-A-B)=-cos(4+8)=sinAsinB-cosAcosB=x77-7^x77=-21

221

故答案为：

17.【答案】2

【解析】△48C中，•••£a+4tanB是方程3x24-8%-1=0的两根,

81

tanA+tanBtanA•tanB=-

8

,..tanA+tanB

•••加6+Bnx)=-=—2,

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:.tanC=-tan(/l+B)=2,

故答案为：2.

18.【解析】(/)••,由题得：f(x)=V3COS2%+sinx-cosx—=V-3•1+c^2x4-1sin2x=cos2x+

^sin2x=sin(2x+g).

•••f(x)=sin(2x+g),

T27r

•••T=-=7T>

令一J+2kn<2x+3WJ+2/CTT,kEZ,

可得:递增区间为[—瑞+kn'塔+k?r],kEZ；

JL4JI4

(〃)令2%+《=k7r,kWZ,

可得：x=—%+1，kWZ,

oZ

vxe[0,2zr)/.k可取1,2,3,4.

••.所有满足条件版的和沏野守壮等二子.

19•【解析】(1)由题意，/(a)=s'.nasina(-cosa')=cosa：

C3sa(-sina)tana

(2)由sin(7T+a)=得sina=一;，

乂己知a是第三象限角，

•••f(a)=cosa=-J1-(1)2=-噤.

20.【解析】(1)设库舱距离地面最近的位置为点P,

以轴心。为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐

标系，如图所示：

设，=0〃山,时，游客甲位于P(0,-55),得至IJ以OP为

终边的角为一%

根据摩天轮转一周需要30小加，可知座舱转动的速度

约为2rad/nu%,

由题意可得,H=55s讥(at-4)+65,(0<t<30),

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(2)甲、乙两人的位置分别用点48表示，则乙408=翥x8=?

经过tmin后，甲距离地面的高度为%=55sin(总一])+65,

点B相对于A始终落后grad,

此时乙距离地面的高度为“2=55s皿左£一^一力+65,

XO4«3

则甲、乙高度差为九=阳1-H2\=55|sin(^t-^)-sin(^t-^-^)|

=55|cos(y^t-j)-cos(^t)|=55|icos^t+^sin-^t-cos^t|

=55|^sin-^t-|cos-^t|=55|sin(-^t-0<t<30,

4JO/>JLOXOO

所以当(或写)时，九的最大值为55,

所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为55米

21.【解析】(I)•・•)=lOsin(如-竽)+20,XG[4,16],

3n,n57r.37r

•,---<-zx--<—,

4844

即X=6时函数取最小值，此时最低温度为10久：

o4Z

当弓“一1=$即％=14时函数取最大值，此时最高温度为3(TC；

oq/

，最大温差为30℃-10℃一20℃.

(II)令10s出守一争+20=15.得sin学-为=-1而%E[4,16],<^,

TC5nn

A8x-T=-r

解得：工二尊

令10s讥(袅一巧+20=25,得sin(袅一当=】而xW[4,16],

Hqo4-Z

同理可得X=

故该细菌能存活的最长时间为苧-?"(小时).

OOO

22•【解析】(1)：7=4，

2n

；•3=y=2o，

•••f(x)=sin(2x+(p),